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Vrai ou Faux : Le produit mixte des vecteurs est égal au déterminant de la matrice formée à partir de ces vecteurs.
Rappelons la définition du produit mixte. Le produit mixte de trois vecteurs 𝐴, 𝐵 et 𝐶 est le produit scalaire du vecteur 𝐴 avec le produit vectoriel des vecteurs 𝐵 et 𝐶. Afin de déterminer à quoi cela est égal, commençons par écrire le produit vectoriel de deux vecteurs tridimensionnels 𝐵 et 𝐶.
Supposons que les vecteurs 𝐵 et 𝐶 aient respectivement des composantes 𝐵 indice 𝑥, 𝐵 indice 𝑦, 𝐵 indice 𝑧 et 𝐶 indice 𝑥, 𝐶 indice 𝑦, 𝐶 indice 𝑧. Ensuite, leur produit vectoriel est donné par le vecteur dont la composante 𝑖 est 𝐵 indice 𝑦 𝐶 indice 𝑧 moins 𝐵 indice 𝑧 𝐶 indice 𝑦, dont la composante 𝑗 est moins 𝐵 indice 𝑥 𝐶 indice 𝑧 moins 𝐵 indice 𝑧 𝐶 indice 𝑥 et dont la composante 𝑘 est 𝐵 indice 𝑥 𝐶 indice 𝑦 moins 𝐵 indice 𝑦 𝐶 indice 𝑥.
Ensuite, si nous définissons de manière similaire le vecteur 𝐴 ayant pour composantes 𝐴 indice 𝑥, 𝐴 indice 𝑦 et 𝐴 indice 𝑧, alors le produit scalaire de 𝐴 avec le produit vectoriel de 𝐵 et 𝐶 donne un scalaire. Cela donne 𝐴 indice 𝑥 fois 𝐵 indice 𝑦 𝐶 indice 𝑧 moins 𝐵 indice 𝑧 𝐶 indice 𝑦 moins 𝐴 indice 𝑦 fois 𝐵 indice 𝑥 𝐶 indice 𝑧 moins 𝐵 indice 𝑧 𝐶 indice 𝑧 plus 𝐴 indice 𝑧 fois 𝐵 indice 𝑥 𝐶 indice 𝑦 moins 𝐵 indice 𝑦 fois 𝐶 indice 𝑥. Maintenant, réfléchissons à la manière de trouver le déterminant d’une matrice trois trois.
Nous trouverions le déterminant d’une matrice trois trois en multipliant chaque composante de la ligne supérieure par le déterminant de la matrice deux deux qui reste lorsque nous éliminons cette ligne et cette colonne. Ainsi, par exemple, nous multiplions 𝐴 indice 𝑥 par le déterminant de la matrice 𝐵 indice 𝑦, 𝐵 indice 𝑧, 𝐶 indice 𝑦, 𝐶 indice 𝑧. Cela nous donne le premier terme du produit mixte.
En fait, si nous continuons, nous constatons en effet que le produit mixte est égal au déterminant de cette matrice trois trois. Cette matrice trois trois est composée de lignes qui contiennent les éléments de nos vecteurs 𝐴, 𝐵 et 𝐶, respectivement. L’affirmation est donc vraie. Le produit mixte des vecteurs est égal au déterminant de la matrice formée à partir de ces vecteurs.
