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Le vecteur vitesse et la hauteur au-dessus du niveau du sol, ℎ zéro, d’un objet sont représentées à différents moments de la figure suivante. La figure n’est pas à l’échelle. L’énergie mécanique de l’objet est constante. Parmi les choix suivants, lequel a la plus grande valeur ? (A) ℎ indice un moins ℎ indice zéro. (B) ℎ indice deux moins ℎ indice un. (C) ℎ indice trois moins ℎ indice deux. (D) ℎ indice quatre moins ℎ indice un.
Dans cette question, on nous donne une figure montrant le mouvement d’un objet lorsqu’il se déplace le long d’une courbe. On nous donne le vecteur vitesse de l’objet en différents points de son parcours. Et nous voulons trouver la hauteur de l’objet à chaque intervalle pour lequel son vecteur vitesse a été mesuré afin de déterminer laquelle des options de réponse a la plus grande valeur. Avant de commencer à résoudre ce problème, nous devons rappeler quelques informations sur l’énergie mécanique et comment nous pouvons l’utiliser pour calculer les valeurs que nous voulons.
Nous pouvons rappeler que l’énergie mécanique, EM, d’un objet est définie comme la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle. L’énergie cinétique, EC, est égale à un demi multipliée par la masse, 𝑚, multiplié par le vecteur vitesse, 𝑣, au carré. Nous avons également l’énergie potentielle de pesanteur, EPP, dans ce problème qui est égale à la masse, 𝑚, multipliée par l’accélération due à la gravité, 𝑔, multipliée par la hauteur de l’objet, ℎ. Par conséquent, l’énergie mécanique de l’objet est égale à un demi 𝑚𝑣 au carré plus 𝑚𝑔ℎ.
Parce qu’on nous dit que l’énergie mécanique de l’objet est constante tout au long de sa trajectoire, nous pouvons établir que l’énergie mécanique en chacun de ces points reste la même pour trouver la différence de hauteur. Donc, pour le cas général de deux points différents, que nous appellerons point A et point B, nous aurons l’équation un demi de 𝑚 𝑣 indice A au carré plus 𝑚𝑔 ℎ indice A est égal à un demi 𝑚 𝑣 indice B au carré plus 𝑚𝑔 ℎ indice B. Nous voulons maintenant réorganiser cela pour que nous ayons une équation pour la différence de hauteurs ℎ indice B et ℎ indice A.
Nous pouvons le faire en soustrayant 𝑚𝑔 ℎ indice A des deux côtés et en soustrayant un demi 𝑚 𝑣 indice B au carré des deux côtés pour nous donner un demi 𝑚 𝑣 indice A au carré moins un demi 𝑚 𝑣 indice B au carré égale 𝑚𝑔 ℎ indice B moins 𝑚𝑔 ℎ indice A. Si nous factorisons maintenant les deux côtés, cela nous donnera un demi de 𝑚 multiplié par 𝑣 indice A au carré moins 𝑣 indice B au carré égal 𝑚𝑔 multiplié par ℎ indice B moins ℎ indice A. Nous pouvons maintenant diviser les deux côtés par 𝑚𝑔 pour obtenir ℎ indice B moins ℎ indice A égal à 𝑣 indice A au carré moins 𝑣 indice B au carré sur deux 𝑔.
Nous avons donc maintenant une équation générale pour calculer la différence de hauteur de cet objet. Commençons par l’option (A), ℎ indice un moins ℎ indice zéro. ℎ indice un moins ℎ indice zéro sera égal à 𝑣 indice zéro au carré moins 𝑣 indice un au carré sur deux 𝑔. Sur la figure, nous pouvons voir que 𝑣 indice zéro est égal à 20 mètres par seconde, et 𝑣 indice un est égal à 12 mètres par seconde. On peut également rappeler que l’accélération due à la gravité 𝑔 est égale à 9,8 mètres par seconde au carré. En utilisant ces valeurs dans notre équation, nous constatons que ℎ indice un moins ℎ indice zéro est égal à 20 mètres par seconde au carré moins 12 mètres par seconde au carré sur deux multiplié par 9,8 mètres par seconde au carré, ce qui équivaut à 13,1 mètres.
Maintenant, nous pouvons répéter cette méthode pour les trois autres options. Pour l’option (B), ℎ indice deux moins ℎ indice un sera égal à 𝑣 indice un au carré moins 𝑣 indice deux au carré sur deux 𝑔. Sur la figure, nous pouvons voir que 𝑣 indice un est égal à 12 mètres par seconde, et 𝑣 indice deux est égal à 5,6 mètres par seconde. En utilisant ces valeurs dans notre équation, nous constatons que ℎ indice deux moins ℎ indice un est égal à 12 mètres par seconde au carré moins 5,6 mètres par seconde au carré sur deux multiplié par 9,8 mètres par seconde au carré, ce qui équivaut à 5,7 mètres. Nous pouvons voir que cette valeur est plus petite que l’option (A), nous pouvons donc éliminer l’option (B).
Pour l’option (C), ℎ indice trois moins ℎ indice deux sera égal à 𝑣 indice deux au carré moins 𝑣 indice trois au carré sur deux 𝑔. Sur la figure, nous pouvons voir que 𝑣 indice deux est égal à 5,6 mètres par seconde, et 𝑣 indice trois est égal à 1,5 mètre par seconde. En utilisant ces valeurs dans notre équation, nous constatons que ℎ indice trois moins ℎ indice deux est égal à 5,6 mètres par seconde au carré moins 1,5 mètres par seconde au carré sur deux multiplié par 9,8 mètres par seconde au carré, ce qui équivaut à 1,5 mètres. Nous pouvons voir que cette valeur est plus petite que l’option (A), nous pouvons donc éliminer l’option (C).
Pour l’option (D), ℎ indice quatre moins ℎ indice un sera égal à 𝑣 indice un au carré moins 𝑣 indice quatre au carré sur deux 𝑔. Sur la figure, nous pouvons voir que 𝑣 indice un est égal à 12 mètres par seconde, et 𝑣 indice quatre est égal à 3,1 mètres par seconde. En utilisant ces valeurs dans notre équation, nous constatons que ℎ indice quatre moins ℎ indice un est égal à 12 mètres par seconde au carré moins 3,1 mètres par seconde au carré sur deux multiplié par 9,8 mètres par seconde au carré, ce qui équivaut à 6,9 mètres. Nous pouvons voir que cette valeur est plus petite que l’option (A), nous pouvons donc éliminer l’option (D).
Et par conséquent, l’option (A) doit être la bonne réponse. ℎ indice un moins ℎ indice zéro a la plus grande valeur.
