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Un gaz s’écoule en douceur dans un tuyau. L’aire de la section transversale du tuyau se contracte de 0,075 mètre carré à 0,025 mètre carré. Le gaz entre dans le tuyau à une vitesse de 1,8 mètre par seconde et en sort à une vitesse de 2,0 mètres par seconde. La masse volumique du gaz à l'entrée du tuyau est de 1,4 kilogramme par mètre cube. Quel est le rapport entre la masse volumique du gaz à son entrée dans le tuyau et sa masse volumique à sa sortie du tuyau ? Donnez votre réponse au dixième près.
Commençons par tracer un schéma de ce scénario. Nous avons un tuyau dont l’aire de la section transversale que nous appellerons 𝐴 un se contracte en une aire de section transversale que nous appellerons 𝐴 deux. Le gaz circule en douceur à travers ce tuyau et entre dans le tuyau à une vitesse que nous appellerons 𝑣 un. Le gaz sort du tuyau à une vitesse que nous appellerons 𝑣 deux. Avant la contraction, le gaz a une masse volumique que nous appellerons 𝜌 un. Après la contraction, le gaz a une masse volumique que nous appellerons 𝜌 deux.
La question nous demande de déterminer le rapport entre la masse volumique du gaz à l’entrée du tuyau et sa masse volumique à la sortie du tuyau. Donc on nous demande de calculer 𝜌 un divisé par 𝜌 deux. Dans la question, on nous dit que l’aire de la section transversale du tuyau se contracte de 0,075 mètre carré à 0,025 mètre carré. Cela signifie que 𝐴 un est de 0,075 mètre carré et 𝐴 deux est de 0,025 mètre carré.
La question nous dit également que le gaz entre dans le tuyau à une vitesse de 1,8 mètre par seconde et sort du tuyau à une vitesse de 2,0 mètres par seconde. Ainsi, 𝑣 un est 1,8 mètre par seconde et 𝑣 deux est 2,0 mètres par seconde. Enfin, la question nous dit que la masse volumique du gaz lors de son entrée dans le tuyau est de 1,4 kilogramme par mètre cube. Donc 𝜌 un égale 1,4 kilogramme par mètre cube.
Avant de poursuivre, il est important de noter que toutes les valeurs qui nous sont données sont en unités SI. Cela signifie que nous n’avons pas à les convertir avant de les introduire dans les équations ou de les utiliser pour faire nos calculs. Pour répondre à cette question, nous allons utiliser l’équation de continuité pour les fluides, qui indique que la masse volumique d’un fluide multipliée par l’aire de la section transversale du tuyau à travers lequel il coule multipliée par la vitesse du fluide est constante. Cela signifie que nous pouvons écrire que la masse volumique multipliée par l’aire de la section transversale multipliée par la vitesse avant la contraction est égale à la masse volumique multipliée par l’aire de la section transversale multipliée par la vitesse après la contraction. Et nous allons réorganiser cela pour obtenir une expression pour 𝜌 un divisé par 𝜌 deux.
Nous commencerons par diviser les deux membres de l’équation par 𝜌 deux. Et nous voyons que ces 𝜌 deux à droite s’annulent. Nous allons ensuite diviser les deux membres de l’équation par 𝐴 un fois 𝑣 un. Et nous voyons que ces 𝐴 un s’annulent. Et aussi ces 𝑣 un s’annulent à gauche. Et cela nous donne notre expression pour 𝜌 un divisé par 𝜌 deux, qui est égal à 𝐴 deux fois 𝑣 deux divisé par 𝐴 un fois 𝑣 un. Et nous voyons en fait que nous n’avons pas besoin de la valeur de 𝜌 un pour calculer 𝜌 un divisé par 𝜌 deux.
Libérons de l’espace et continuons en remplaçant nos valeurs par 𝐴 un, 𝑣 un, 𝐴 deux et 𝑣 deux dans cette équation, ce qui nous donne 𝜌 un divisé par 𝜌 deux égale 0,025 mètre carré fois 2,0 mètres par seconde divisé par 0,075 mètre carré fois 1,8 mètre par seconde. En faisant le calcul et en arrondissant au dixième près, nous obtenons 𝜌 un divisé par 𝜌 deux égale 0,4. Notez que c’est un nombre pur, c’est-à-dire sans unités. Le rapport entre la masse volumique du gaz à l’entrée du tuyau et sa masse volumique à la sortie du tuyau est de 0,4.
