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Soit 𝐴 le point de coordonnées un, un et 𝐵 le point de coordonnées un, trois. Quelle est la représentation paramétrique du segment de droite 𝐴𝐵 pour 0 inférieur ou égal à 𝑘 inférieur ou égal à 1 qui démarre en 𝐴 et qui finit en 𝐵 ? Est-ce (A), 𝑥 est égal à un, 𝑦 est égal à 𝑘 plus un ? Est-ce (B), 𝑥 égale un, 𝑦 égale deux 𝑘 plus un ? Est-ce (C), 𝑥 est égal à un, 𝑦 est égal à deux multiplié par 𝑘 plus un ? Est-ce (D), 𝑥 est égal à 𝑘 plus un, 𝑦 est égal à un ? Est-ce (E), 𝑥 égale deux 𝑘 plus un, 𝑦 égale un ?
Nous commençons par rappeler que lorsque les coordonnées cartésiennes d’une courbe sont représentées par une fonction de la même variable, généralement 𝑡, elles sont appelées équations paramétriques. Cela signifie que les équations paramétriques dans le plan 𝑥𝑦 : 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑡 et 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑡, indiquent les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du graphique d’une courbe dans le plan. Dans notre cas, les points 𝐴 et 𝐵 sont comme indiqué. 𝐴 a pour coordonnées un, un et 𝐵 a pour coordonnées un, trois. Nous voulons les équations paramétriques du segment de droite 𝐴𝐵.
Nous commencerons par rappeler comment trouver l’équation vectorielle d’une droite. L’équation vectorielle d’une droite qui passe par le point de vecteur position 𝐫 indice zéro et de vecteur directeur 𝐝 est 𝐫 est égal à 𝐫 indice zéro plus 𝑡 multiplié par 𝐝, où 𝑡, parfois écrit 𝑘 ou 𝜇, est un scalaire. Nous pouvons choisir n’importe quel point situé sur la droite pour nous aider à trouver le vecteur position. Dans ce cas, nous choisirons le point 𝐴 de coordonnées un, un. Nous avons donc le vecteur position un, un et est donc la valeur de 𝐫 indice zéro.
Le vecteur directeur 𝐝 est égal au vecteur 𝐀𝐁. Il équivaut au vecteur 𝐎𝐁 moins le vecteur 𝐎𝐀. En soustrayant le vecteur position du point 𝐴 du vecteur position du point 𝐵, nous avons un, trois moins le vecteur un, un. Pour soustraire des vecteurs, nous soustrayons simplement les composantes correspondantes. Cela signifie que le vecteur directeur 𝐀𝐁 est égal à zéro, deux.
Puisque les options de cette question ont utilisé 𝑘 au lieu de 𝑡, nous avons l’équation vectorielle de la droite égale à un, un plus 𝑘 multiplié par zéro, deux. Cela peut être simplifié en un, un plus zéro, deux 𝑘. En ajoutant nos deux vecteurs, nous avons 𝐫 est égal à un, deux 𝑘 plus un.
Ensuite, nous réécrivons le côté gauche comme étant le vecteur de coordonnées (𝑥;𝑦). Puisque le vecteur à gauche de notre équation doit être égal au vecteur à droite, les composantes individuelles doivent être égales. Par conséquent, 𝑥 est égal à un et 𝑦 est égal à deux 𝑘 plus un. Il s’agit de la forme paramétrique de l’équation du segment de droite 𝐴𝐵. La bonne réponse est l’option (B) : 𝑥 est égale à un et 𝑦 est égale à deux 𝑘 plus un.
