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Déterminez l’ensemble solution de l’inéquation valeur absolue de 𝑥 plus quatre est inférieure à neuf.
Pour résoudre cette inéquation, nous devons la décomposer en deux parties. Nous devons considérer le cas où 𝑥 plus quatre est inférieur à neuf, le cas positif. Mais nous devons également prendre en compte le cas où moins 𝑥 plus quatre est inférieur à neuf.
Nous pouvons commencer à résoudre l’inéquation de gauche en distribuant le signe moins. Et on a maintenant moins 𝑥 moins quatre est inférieur à neuf. Nous allons ensuite résoudre cela comme n’importe quelle inéquation. C’est-à-dire en isolant 𝑥. Je peux le faire en ajoutant quatre aux deux membres de l’inéquation. Moins 𝑥 moins quatre plus quatre devient moins 𝑥. Et neuf plus quatre égale 13.
Mais nous avons maintenant moins 𝑥 alors que nous recherchons plus 𝑥. Nous allons donc multiplier la totalité de l’inéquation par moins un. Moins un fois moins 𝑥 égale 𝑥. Et lorsque l’on multiplie une inéquation par moins un, il faut inverser le signe de l’inéquation, ce qui donne le signe « supérieur à ». En multipliant 13 par moins un, on obtient 𝑥 est supérieur à moins 13.
Passons maintenant à la deuxième inéquation, 𝑥 plus quatre est inférieur à neuf. On peut soustraire quatre aux deux membres de l’inéquation, et on obtient 𝑥 est inférieur à cinq.
Nous avons donc montré que 𝑥 est supérieur à moins 13 et que 𝑥 est inférieur à cinq, ce qui signifie que la valeur de 𝑥 est comprise entre moins 13 et cinq. On peut l’écrire en une seule inéquation comme ceci : 𝑥 est supérieur à moins 13 et inférieur à cinq. Une autre façon de le noter pourrait être avec des crochets ouverts. Mais cela indique la même chose : 𝑥 est compris entre moins 13 et cinq.
Ces trois notations représentent la même solution à cette inéquation. Nous pouvons donc conclure que 𝑥 appartient à l’intervalle ouvert entre moins 13 et cinq.
