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Déterminez les équations paramétriques de la droite qui fait un angle de 135 degrés avec l’axe des 𝑥 positifs et qui passe par le point un, moins 15.
La droite fait un angle de 135 degrés avec l’axe des 𝑥 positifs, dessinons donc l’axe des 𝑥 positifs. La droite en question passe probablement par l’axe des 𝑥 en un point donné, et on nous dit qu’elle le fait en formant un angle de 135 degrés, qui par convention est mesuré dans le sens antihoraire. Et bien sûr, cette droite continue à l’infini dans les deux sens. Cet angle nous indique le coefficient directeur de cette droite, mais bien sûr, il y a une infinité de droites qui ont ce coefficient directeur, nous allons donc avoir besoin de plus d’informations pour déterminer exactement avec quelle droite nous travaillons.
Et cette information se présente sous la forme d’un point par lequel passe la droite, marquons donc ce point avec les coordonnées un et moins 15. Et ayant choisi ce point, nous pouvons également dessiner notre axe 𝑦. Nous devons trouver les équations paramétriques de cette droite, ce qui implique d’écrire les coordonnées des points de cette droite, 𝑥 et 𝑦, en fonction d’un paramètre 𝑘. Nous pouvons choisir que lorsque le 𝑘 est nul, nous sommes sur ce point spécial qui nous a été donné, un, moins 15. Et comme 𝑘 varie de moins l’infini à plus l’infini, il trace la droite passant par ce point lorsque 𝑘 atteint zéro.
Lorsque 𝑘 est nul, 𝑥 est un et 𝑦 est moins 15. Donc, 𝑓 de zéro est un et 𝑔 de zéro est moins 15. Nous avons maintenant plusieurs choix à faire au sujet de 𝑘. Nous savons que comme 𝑘 varie de moins l’infini à plus l’infini, cette droite doit être tracée, et nous pouvons faire le choix de tracer la droite de gauche à droite, donc avec 𝑥 croissant. Donc 𝑘 est égal à un correspond à un point un peu plus loin sur la droite, et disons que 𝑘 est égal à moins neuf correspond à un point plus haut sur la droite.
La façon la plus simple de le faire, et encore une fois et c’est un choix, est que la valeur de 𝑘 est la variation de 𝑥 entre le point spécial, un et moins 15, et le point en question. Donc 𝑘 égale un signifie que la variation de 𝑥 du point un et du moins 15 est un, et donc l’abscisse 𝑥 à ce point est deux. Et de même, lorsque 𝑘 est moins neuf, la variation de 𝑥 du point de un, moins 15 est moins neuf, et donc l’abscisse 𝑥 de ce point est moins huit.
En général alors, 𝑥 est un plus 𝑘. Pour trouver l’équation équivalente à 𝑦, on peut soit faire de la trigonométrie. Nous pouvons remarquer qu’un angle de 135 degrés par rapport à l’axe des 𝑥 positifs signifie un angle de 45 degrés par rapport à l’axe des 𝑥 négatifs, et nous pouvons donc reconnaître que cette droite a un coefficient directeur de moins un. Qu’est-ce que cela signifie ? Eh bien, cela signifie que la variation de 𝑦 par rapport sur la variation de 𝑥 est moins un, et comme la variation de 𝑥 est 𝑘, nous pouvons voir que la variation en 𝑦 doit être moins 𝑘.
Comme nous l’avons déjà vu lorsque 𝑘 est zéro, 𝑦 est moins 15. Et comme 𝑘 varie à partir de cette valeur, la variation de 𝑦 est égale à moins 𝑘. Et nous obtenons donc les équations paramétriques 𝑥 est égal à un plus 𝑘 et 𝑦 est égal à moins 15 moins 𝑘. Une chose importante à réaliser ici est qu’il y avait beaucoup de choix pour trouver ces équations paramétriques. Et par conséquent, il y a beaucoup d’équations paramétriques différentes qui représentent la même droite.
