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Utilisez la formule 𝑟 indice 𝑛 est égal à quatre 𝜋𝜀 zéro ℎ barre au carré 𝑛 carré divisé par 𝑚 indice 𝑒 𝑞 indice 𝑒 au carré, où 𝑟 indice 𝑛 est le rayon orbital d’un électron au niveau d’énergie 𝑛 d’un atome d’hydrogène, 𝜀 zéro est la permittivité du vide, ℎ barre est la constante de Planck réduite, 𝑚 indice 𝑒 est la masse d’un électron, et 𝑞 indice 𝑒 est la charge d’un électron pour calculer le rayon orbital d’un électron qui est au niveau d’énergie 𝑛 égal à quatre d’un atome d’hydrogène. Utilisez une valeur de 8,85 fois 10 puissance moins 12 farads par mètre pour la permittivité du vide, 1,05 fois 10 puissance moins 34 joule secondes pour la constante de Planck réduite, 9,11 fois 10 puissance moins 31 kilogrammes pour la masse au repos d’un électron, et 1,60 fois 10 puissance moins 19 coulombs pour la charge d’un électron. Donnez votre réponse arrondie à deux décimales près.
Donc, on nous donne ici une formule qui nous dit comment calculer le rayon orbital 𝑟 indice 𝑛 d’un électron au niveau énergétique 𝑛 d’un atome d’hydrogène. On nous demande d’utiliser cette formule pour trouver la valeur de 𝑟 indice 𝑛 pour un électron qui est dans le niveau d’énergie 𝑛 est égal à quatre. Dans la deuxième moitié du texte de la question, on nous donne les valeurs de toutes les différentes constantes sur le côté droit de l’équation. Pour répondre à cette question, nous devons libérer de l’espace à l’écran. Alors que nous faisons cela, notons toutes ces valeurs qui nous sont données.
Voici la formule de la question. Dans cette équation, on nous dit que 𝜀 zéro, c’est-à-dire la permittivité du vide, a une valeur de 8,85 fois 10 puissance moins 12 farads par mètre. On nous dit également d’utiliser une valeur pour la constante de Planck réduite ℎ barre de 1,05 fois 10 puissance moins 34 joule secondes. Petit rappel, la constante de Planck réduite ℎ barre est simplement égale à la constante de Planck ℎ divisée par deux 𝜋.
Les autres valeurs qu’on nous a données sont pour la masse et la charge d’un électron. On nous dit que la masse au repos d’un électron 𝑚 indice 𝑒 est égale à 9,11 fois 10 puissance moins 31 kilogrammes. Et la charge d’un électron 𝑞 indice 𝑒 est de 1,60 fois 10 puissance moins 19 coulombs. La dernière chose à retenir de la question est qu’on nous demande de trouver la valeur de 𝑟 indice 𝑛 pour le cas où 𝑛 est égal à quatre.
Maintenant, cette équation qui nous a été donnée décrit le modèle de Bohr de l’atome. Dans le modèle de Bohr de l’atome, il y a un noyau au centre, que nous avons représenté avec ce cercle rouge ici. Et puis, ce noyau est entouré de ces différentes orbites circulaires qu’un électron peut occuper. La position particulière de ces orbites circulaires sur laquelle un électron particulier sera trouvé dépend de la valeur de 𝑛 de cet électron, où 𝑛 est le niveau d’énergie de l’électron et est également appelé nombre quantique principal de l’électron. 𝑛 égale à un correspond à l’orbite circulaire la plus interne. Donc, c’est l’orbite la plus proche du noyau. 𝑛 est égal à deux correspond à la suivante. Et puis nous avons 𝑛 est égal à trois, 𝑛 est égal à quatre, et ainsi de suite pour des valeurs plus grandes de 𝑛.
Maintenant, ce schéma que nous avons dessiné ici n’est certainement pas à l’échelle. Cependant, cela nous donne au moins une idée que pour des valeurs plus grandes du niveau d’énergie 𝑛, la taille du rayon orbital de l’électron 𝑟 indice 𝑛 est plus grande. Cette équation du modèle de Bohr décrit cette relation entre le niveau d’énergie 𝑛 et le rayon de l’orbite 𝑟 indice 𝑛. Si nous réécrivons l’équation comme ceci, en tirant le terme 𝑛 carré sur le côté, alors nous pouvons remarquer que tous ces termes entre parenthèses sont simplement des constantes. Cela signifie donc que le rayon orbital 𝑟 indice 𝑛 est proportionnel à 𝑛 au carré.
Soit dit en passant, tous ces termes constants à l’intérieur des parenthèses sont souvent regroupés en une seule constante connue sous le nom de rayon de Bohr avec un symbole de 𝑎 indice zéro. Ensuite, en utilisant le rayon de Bohr, on peut dire que le rayon orbital 𝑟 indice 𝑛 est égal au rayon de Bohr 𝑎 indice zéro multiplié par 𝑛 au carré.
Maintenant, toute cette discussion a été en quelque sorte un détour car dans la question on nous donne toutes ces valeurs qui peuvent entrer directement dans cette équation ici. Rappelons que dans la question, on nous dit que nous avons affaire à un atome d’hydrogène, qui est un atome qui n’a qu’un seul proton comme noyau et un seul électron en orbite autour de celui-ci. Alors, si ce schéma que nous avons dessiné est d’un atome d’hydrogène, alors ce cercle rouge au milieu que nous avons dit était que le noyau n’est en fait qu’un seul proton. Et nous savons que l’atome possède un seul électron, qui on nous dit dans ce cas est dans le niveau d’énergie 𝑛 égal à quatre.
Alors, ajoutons un électron sur le quatrième cercle en partant du noyau sur notre schéma. C’est ce petit cercle bleu que nous avons ajouté ici. Maintenant que nous avons acquis une certaine compréhension de ce que décrit cette équation, allons-y et insérons ces valeurs dans cette équation pour calculer la valeur du rayon orbital de cet électron.
Lorsque nous faisons cela, la grandeur que nous calculons est 𝑟 indice quatre. C’est donc la valeur de 𝑟 indice 𝑛 lorsque 𝑛 est égal à quatre. La substitution de ces valeurs nous donne ici cette expression. Donc, au numérateur, quatre 𝜋 multiplié par la valeur de 𝜀 zéro, la permittivité du vide, multipliée par le carré de ℎ barre, la constante de Planck réduite, multipliée par le carré de notre valeur de 𝑛, le niveau d’énergie de l’électron. Tout cela est ensuite divisé par la masse au repos de l’électron, 𝑚 indice 𝑒, et le carré de la charge de l’électron, 𝑞 indice 𝑒.
Maintenant, considérons les unités dans cette expression. La valeur de 𝜀 zéro est donnée en farads par mètre. Le mètre est l’unité de base SI de la distance. Le farad est une unité dérivée du SI utilisée pour mesurer la capacité électrique. Bien que ce ne soit pas une expression particulièrement jolie, le farad peut être exprimé en unités de base SI en secondes puissance quatre ampères carrés mètres puissance moins deux kilogrammes puissance moins un. La constante de Planck réduite ℎ barre est donnée en joule secondes. La seconde est l’unité de base SI du temps. Et comme avec le farad, le joule peut être exprimé en unités de base SI. C’est égal à des kilogrammes mètres carrés par seconde carrée. La dernière grandeur restante au numérateur est le niveau d’énergie 𝑛. Et c’est une grandeur sans dimension, ce qui signifie qu’elle n’a pas d’unités du tout.
Au dénominateur, nous avons la masse au repos de l’électron en kilogrammes. C’est l’unité de base SI pour la masse. Et cela est multiplié par le carré de la charge de l’électron en coulombs. Le coulomb peut être exprimé en unités de base SI comme des ampères secondes. Nous avons vu que toutes les unités du côté droit sont des unités de base SI ou peuvent être exprimées en unités de base SI. Cela signifie que le rayon orbital que nous calculerons sera dans l’unité de base SI de la distance, qui est le mètre. Dans cet esprit, réorganisons un peu cette expression.
Dans cette deuxième expression, plutôt que d’écrire toutes les unités sur le côté droit, nous avons simplement écrit les unités de mètres que nous savons que ce rayon orbital aura. Nous avons également séparé toutes ces valeurs de toutes ces puissances de 10. Cela signifie que nous pouvons travailler ces deux parties de l’expression séparément, puis les multiplier ensemble.
Commençons par considérer les puissances de 10. Il y a deux identités que nous allons trouver utiles. La première est que 𝑎 à la puissance 𝑥 multiplié par 𝑎 à la puissance 𝑦 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑥 plus 𝑦. La deuxième identité est que 𝑎 puissance 𝑥 divisé par 𝑎 puissance 𝑦 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑥 moins 𝑦.
Dans ce terme de notre expression, au numérateur, nous avons 10 puissance moins 12 multiplié par le carré de 10 puissance moins 34. Nous pouvons réécrire le carré de 10 puissance moins 34 comme 10 puissance moins 34 multipliée par 10 puissance moins 34. Ensuite, en comparant avec cette identité, nous voyons que nous pouvons réécrire le numérateur comme 10 à la puissance moins 12 moins 34 moins 34. Cela équivaut à 10 à la puissance moins 80.
Nous pouvons alors faire la même chose au dénominateur, où nous avons 10 puissance moins 31 multiplié par le carré de 10 puissance moins 19. Nous pouvons écrire cela comme le produit de trois puissances de 10, puis utiliser cette identité pour la réécrire comme 10 puissance moins 31 moins 19 moins 19, ce qui donne 10 puissance moins 69. Donc, nous avons maintenant 10 puissance moins 80 divisé par 10 puissance moins 69.
En comparant avec cette deuxième identité, nous voyons que nous pouvons réécrire notre fraction comme 10 à la puissance moins 80 moins moins 69. Ces deux signes moins ici deviennent un plus. Et donc, nous avons 10 puissance moins 80 plus 69, ce qui équivaut à 10 à la puissance moins 11.
Maintenant, tournons notre attention sur le premier terme de l’expression. Au numérateur, nous avons quatre 𝜋 multiplié par 8,85 multiplié par 1,05 au carré multiplié par quatre au carré. Nous pouvons taper ceci dans une calculatrice pour obtenir un résultat de 1961,7864 et ainsi de suite avec des décimales supplémentaires. De même, au dénominateur, nous avons 9,11 multiplié par le carré de 1,60. Cela correspond exactement à 23,3216. Ensuite, en divisant ce numérateur par ce dénominateur, nous obtenons une valeur de 84,1189 avec des décimales supplémentaires.
Donc, nous avons maintenant une expression pour le rayon orbital 𝑟 indice quatre en mètres. Cependant, plutôt que des mètres, car les rayons orbitaux sont si petits, il est plus courant de les exprimer en nanomètres. On peut rappeler qu’un nanomètre est égal à 10 puissance moins neuf mètres. Si nous multiplions les deux côtés par 10 puissance neuf, alors à droite nous avons 10 puissance moins neuf fois 10 puissance neuf, ce qui est simplement égal à un. Et donc nous avons qu’un mètre est égal à 10 puissance neuf nanomètres.
Dans notre expression pour 𝑟 indice quatre alors, remplaçons ces mètres par 10 puissance neuf nanomètres. Si nous déplaçons ce 10 puissance neuf à l’intérieur de cet ensemble de parenthèses, alors nous avons 10 puissance moins 11 multiplié par 10 puissance neuf, que nous pouvons écrire comme 10 puissance moins 11 plus neuf. Et cela équivaut alors à 10 puissance moins deux. Alors maintenant, nous avons 𝑟 indice quatre nanomètres.
Nous pouvons simplifier davantage cette expression en reconnaissant que multiplier par 10 puissance moins deux équivaut à déplacer la virgule de deux rangs vers la gauche. Cela nous donne que 𝑟 indice quatre est égal à 0,841189 et cetera nanomètres. Nous pouvons rappeler que la question voulait notre réponse arrondie à deux décimales près. Alors, en arrondissant notre résultat, nous obtenons notre réponse : le rayon orbital d’un électron dans le niveau d’énergie 𝑛 égal à quatre dans l’hydrogène est égal à 0,84 nanomètres.
