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Vidéo de la leçon : Le modèle de Bohr de l’atome Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le rayon orbital d’un électron à différents niveaux d’énergie d’un atome d’hydrogène.

17:29

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons parler du modèle de Bohr de l’atome. Le modèle de Bohr est une description simplifiée de l’atome qui décrit les électrons comme occupant des orbites circulaires autour du noyau de la même manière que les planètes tournent autour du soleil. Dans cette vidéo, nous allons expliquer pourquoi le modèle de Bohr est utile en physique et examiner certaines des équations qui en découlent. Mais d’abord, une brève leçon d’histoire.

Le modèle de Bohr décrit les atomes comme de petits noyaux denses et chargés positivement entourés d’électrons chargés négativement qui orbitent sur une trajectoire circulaire. Cette façon de décrire l’atome a été présentée pour la première fois par les physiciens Niels Bohr et Ernest Rutherford en 1913. En fait, son nom complet est le modèle de Rutherford-Bohr. Mais malheureusement pour Rutherford, ce n’est pas aussi accrocheur. Et aujourd’hui, on parle principalement du modèle de Bohr.

Les physiciens développent des modèles pour expliquer les systèmes physiques. Ensuite ils testent ces modèles en utilisant des expériences. Et si les preuves expérimentales réfutent le modèle, alors nous devons soit changer le modèle, soit en développer un complètement nouveau pour expliquer le résultat expérimental. Le modèle de Bohr de l’atome est un de ces modèles.

Avant le développement du modèle de Bohr, les physiciens utilisaient un modèle cubique pour les atomes consistant en un cube chargé positivement avec des électrons chargés négativement aux coins. Ce modèle a été remplacé plus tard par le modèle appelé pudding de prunes, qui décrit les atomes comme des billes de matériau chargé positivement avec des petites prunes électroniques à l’intérieur. Cependant, bien que ce modèle semble savoureux, les résultats expérimentaux de l’époque ont forcé les physiciens à le reconsidérer.

Dans les années suivantes, quelques autres modèles pour l’atome ont été développés chacun améliorant le précédent jusqu’à ce que, finalement, le modèle de Bohr soit développé. Depuis, de nouvelles preuves physiques nous ont obligés à modifier davantage notre description des atomes. Et aujourd’hui, les physiciens utilisent un modèle de mécanique quantique qui décrit les électrons à l’aide de statistiques. Nous savons donc aujourd’hui que le modèle de Bohr est vraiment une simplification du comportement des atomes.

Cependant, le développement du modèle a été incroyablement influent et utile aux scientifiques de l’époque. En fait, il nous est toujours utile comme approximation de premier ordre du comportement des atomes, en particulier quand ils n’ont qu’un seul électron. Voyons donc de plus près comment fonctionne le modèle de Bohr et comment l’utiliser pour faire des prédictions sur le comportement des atomes.

Dans le modèle de Bohr, parce que le noyau est chargé positivement et les électrons négativement, les électrons subissent une attraction électrostatique vers le noyau. Et c’est cette force électrostatique qui amène les électrons en orbite autour du noyau. C’est similaire à la façon dont la force gravitationnelle attrayante entre la Terre et le Soleil pousse la Terre à orbiter autour du Soleil.

Maintenant, certains modèles antérieurs de l’atome traitaient également les électrons de cette façon. Mais le modèle de Bohr fait une affirmation supplémentaire importante. Il théorise que la quantité de mouvement angulaire d’un électron en orbite est quantifiée; c’est-à-dire qu’elle ne peut prendre que certaines valeurs. Plus précisément, le modèle de Bohr dit que les électrons ne peuvent avoir qu’un moment cinétique égal à un multiple entier d’une constante, connue sous le nom de constante de Planck réduite.

Cette idée est résumée par cette équation, où 𝐿 majuscule représente la quantité de mouvement angulaire d’un électron, que nous exprimons généralement en unités de kilogramme mètre carré par seconde. 𝑛 représente le nombre quantique principal de l’électron, qui décrit son niveau d’énergie. Et ce symbole représente la constante de Planck réduite. Le symbole que nous utilisons ici est juste un ℎ minuscule avec une barre, et nous l’appelons ℎ barre.

Comme on peut le deviner, la constante de Planck réduite est étroitement liée à la constante de Planck ordinaire, que nous représentons avec un ℎ minuscule. En fait, la constante de Planck réduite, ℎ barre, est exactement égale à la constante de Planck ℎ divisée par deux 𝜋. Donc, si nous le voulions, nous pourrions réécrire cette équation comme ceci, avec la constante de Planck ordinaire divisée par deux 𝜋. Cependant, ce facteur de ℎ sur deux 𝜋 apparaît dans tant d’équations physiques différentes qu’il est plus facile d’écrire simplement ℎ barre pour aller plus vite.

La constante de Planck réduite a une valeur de 1,05 fois 10 moins 34, et les unités sont les mêmes que celle de la constante de Planck normale, que nous exprimons généralement en joule seconde. Il convient de noter que le joule seconde équivalent en fait au kilogramme mètre carré par seconde. Et parce que le nombre quantique principal est sans dimension, il s’agit d’un nombre sans unité, cela signifie que les unités à gauche de l’équation correspondent aux unités à droite de l’équation.

Cette simple équation est la base fondamentale du modèle de Bohr, et il est incroyablement facile de déterminer la quantité de mouvement angulaire d’un électron dans un atome. Mais une chose vraiment importante à noter ici, c’est que les limites du modèle de Bohr impliquent qu’il n’est vraiment précis que pour les atomes avec un électron, c’est pourquoi nous ne parlons vraiment que du modèle de Bohr dans le contexte des atomes d’hydrogène, qui ont seulement un proton et un électron. Donc, pour calculer la quantité de mouvement angulaire d’un électron dans un atome d’hydrogène en utilisant le modèle de Bohr, tout ce que nous devons faire est de multiplier le nombre quantique principal de cet électron par la constante de Planck réduite.

Parce que la plus petite valeur possible du nombre quantique principal est un, cela signifie que la quantité la plus faible possible de moment angulaire qu’un électron dans un atome peut avoir est donnée par une fois la constante de Planck réduite. En d’autres termes, elle est égale à ℎ barre ou à 1,05 fois 10 moins 34 joule seconde. Nous pourrions appeler cette quantité de moment angulaire 𝐿 indice un pour signifier que c’est le moment angulaire d’un électron au niveau d’énergie le plus bas possible. C’est-à-dire qu’il a un pour nombre quantique principal.

Le prochain niveau d’énergie est indiqué par un nombre quantique principal de deux. Et l’équation de gauche nous indique que la quantité de mouvement angulaire d’un électron à ce niveau d’énergie, que nous pourrions appeler 𝐿 deux, est donnée par deux fois ℎ barre. Et deux fois ℎ barre est égal à 2,10 fois 10 moins 34 joule seconde. Nous pouvons donc utiliser ce type de calcul pour déterminer la quantité de mouvement angulaire d’un électron dans un atome d’hydrogène.

Dans le modèle de Bohr, la quantification du mouvement angulaire conduit à une autre équation vraiment utile. Cette équation nous permet de calculer le rayon orbital - c’est-à-dire le rayon de la trajectoire circulaire que l’électron suit autour du noyau - d’un électron dans un niveau d’énergie donné d’un atome d’hydrogène. Cette équation ressemble à ceci. 𝑟 𝑛 représente le rayon orbital d’un électron dans un niveau d’énergie donné de l’atome d’hydrogène. Ainsi, par exemple, le rayon orbital d’un électron au niveau d’énergie le plus bas possible de l’atome d’hydrogène - c’est-à-dire avec un nombre quantique principal égal à un - ce rayon serait noté 𝑟 un. Parce que le rayon orbital est une distance, nous le mesurons en mètre.

Sur le côté droit de l’équation, nous pouvons voir quelques symboles familiers. 𝑛, encore une fois, est le nombre quantique principal, et ℎ barre est la constante de Planck réduite. Comme nous pouvons le voir, il y a beaucoup d’autres constantes dans cette équation. 𝑚 e est la masse d’un électron, égale à 9,11 fois 10 moins 31 kilogramme. Et 𝑞 e est la charge d’un électron donnée par moins 1,60 fois 10 moins 19 coulomb. Nous avons également un facteur de quatre 𝜋 en haut de cette fraction. Et enfin, nous avons 𝜀 zéro, la permittivité de l’espace libre, qui est égale à 8,85 fois 10 moins 12 farad par mètre.

Bien qu’il y ait clairement des charges de quantités différentes dans cette équation, il n’y a en fait que deux variables, le rayon orbital et le nombre quantique principal. Toutes les autres quantités de l’équation sont des constantes. Maintenant, si nous regroupons toutes ces constantes, nous pouvons voir que le rayon orbital est simplement donné par un tas de constantes physiques multipliées par le nombre quantique principal au carré.

Disons que nous voulons déterminer le rayon orbital d’un électron avec 𝑛 égal à un pour le niveau d’énergie d’un atome d’hydrogène. Parce que nous avons affaire à un cas où 𝑛 est égal à un, nous remplaçons 𝑟 𝑛 du côté gauche de l’équation par 𝑟 un, et 𝑛 du côté droit de l’équation par une valeur de un. Un au carré est bien sûr un.

Et toutes ces constantes multipliées par un nous laissent simplement avec cette expression. Cela nous indique le rayon orbital d’un électron avec le niveau d’énergie 𝑛 égal à un d’un atome d’hydrogène. En d’autres termes, c’est le rayon orbital de l’électron de plus faible énergie de l’atome le plus simple. Pour cette raison, il a reçu un nom spécial. Nous l’appelons le rayon de Bohr. Et cela peut être représenté par le symbole 𝑎 zéro.

Si nous substituons les valeurs de toutes les constantes de cette équation, nous pouvons calculer que le rayon de Bohr a une valeur de 5,29 fois 10 moins 11 mètre. Si nous regardons à nouveau l’équation du rayon orbital d’un électron à n’importe quel niveau d’énergie d’un atome d’hydrogène, nous pouvons voir que cette partie de l’équation est simplement égale à 𝑎 zéro, ce qui signifie qu’il est possible d’écrire l’équation comme ceci. Cela montre plus clairement que le rayon orbital d’un électron dans un atome d’hydrogène est proportionnel au carré du nombre quantique principal de cet électron.

Donc, ici, nous avons deux équations utiles que nous pouvons utiliser pour calculer la quantité de mouvement et le rayon orbital d’un électron dans un atome d’hydrogène. Essayons de nous exercer avec ces équations.

Dans le modèle de Bohr de l’atome, quelle est la valeur de la quantité de mouvement angulaire d’un électron dans un atome d’hydrogène pour lequel 𝑛 est égal deux? Utilisez une valeur de 1,05 fois 10 moins 34 joule seconde pour la constante de Planck réduite.

Donc, dans cette question, nous envisageons un atome d’hydrogène, et on nous a spécifiquement demandé d’utiliser le modèle de Bohr de l’atome. Nous pouvons rappeler qu’un atome d’hydrogène a seulement un proton dans le noyau et un électron et le modèle de Bohr décrit les atomes comme étant constitués d’électrons faisant des orbites circulaires autour du noyau. Nous pouvons donc visualiser cet atome d’hydrogène comme ceci. Voici le noyau, et voici un électron avec une trajectoire circulaire autour de lui.

Rappelons également que le modèle de Bohr ne fait en réalité que des prédictions précises pour les systèmes à un seul électron, raison pour laquelle on nous interroge sur l’atome d’hydrogène dans cette question. On nous demande de trouver la quantité de mouvement angulaire d’un électron pour lequel 𝑛 est égal à deux. Rappelons que 𝑛 est le nombre quantique principal d’un électron. Et cela décrit le niveau d’énergie que l’électron occupe. Ainsi, un électron du niveau d’énergie le plus bas possible aurait un 𝑛 égal à un. Et dans le modèle de Bohr, cela ferait référence à l’orbite la plus interne autour du noyau.

Dans cette question, on nous dit que le 𝑛 notre électron est égal à deux, ce qui signifie, selon le modèle de Bohr, que notre électron occupe l’orbite plus éloignée du noyau. Le modèle de Bohr nous donne un moyen simple de calculer la quantité de mouvement d’un électron dans un atome d’hydrogène, si nous connaissons son nombre quantique principal. En d’autres termes, nous pouvons trouver son moment angulaire si nous savons à quel niveau d’énergie il se trouve.

Ceci est donné par l’équation 𝐿 égale 𝑛ℎ barre, où 𝐿 représente le moment angulaire d’un électron, 𝑛 représente le nombre quantique principal, et ℎ barre est la constante de Planck réduite. Et on nous dit dans la question que cette constante prend une valeur de 1,05 fois 10 moins 34 joule seconde. Nous devons noter que même s’il est plus courant d’exprimer la quantité de mouvement angulaire en unités de kilogramme mètre carré par seconde, ces unités sont en fait équivalentes aux unités de la constante de Planck réduite.

Puisque le nombre quantique principal 𝑛 est sans dimension, cela signifie que les unités de gauche et de droite de l’équation sont équivalentes. Puisque nous cherchons à calculer le moment angulaire et que le moment angulaire est déjà le sujet de cette équation, tout ce que nous devons faire est de multiplier le nombre quantique principal de notre électron par la constante de Planck réduite. Cela nous donne un moment angulaire de deux fois 1,05 fois 10 moins 34 joule seconde, ce qui nous donne une valeur de 2,10 fois 10 moins 34 joule seconde. Et c’est la réponse finale à la question. Dans le modèle de Bohr de l’atome, la valeur de la quantité de mouvement angulaire d’un électron dans un atome d’hydrogène pour lequel 𝑛 est égal à deux est 2,10 fois 10 moins 34 joule.

Maintenant, regardons une autre question.

Utilisez la formule 𝑟 𝑛 qui est égale à quatre 𝜋𝜀 zéro ℎ barre au carré 𝑛 au carré sur 𝑚 e 𝑞 e au carré, avec 𝑟 le rayon orbital d’un électron au niveau d’énergie 𝑛 d’un atome d’hydrogène, 𝜀 zéro la permittivité de l’espace libre, ℎ barre la constante de Planck réduite, 𝑚 e la masse de l’électron, et 𝑞 e la charge de l’électron, pour calculer le rayon orbital d’un électron qui est au niveau d’énergie 𝑛 égal à deux d’un atome d’hydrogène. Utilisez une valeur de 8,85 fois 10 moins 12 farad par mètre pour la permittivité de l’espace libre, 1,05 fois 10 moins 34 joule seconde pour la constante de Planck réduite, 9,11 fois 10 moins 31 kilogrammes pour la masse au repos d’un électron, et moins 1,60 fois 10 moins 19 coulomb pour la charge d’un électron. Donnez votre réponse avec trois chiffres significatifs.

D’accord, cela semble une question assez longue. Mais en fait, tout ce qu’on nous demande de faire est ceci: calculez le rayon orbital d’un électron d’un atome d’hydrogène qui est au niveau d’énergie 𝑛 égal à deux. Le reste de la question nous dit simplement comment nous pouvons le faire. On nous dit donc que nous pouvons utiliser cette formule. Et cette partie de la question définit quelles sont toutes les quantités de cette formule. Et cette dernière partie de la question nous indique les valeurs des constantes dans l’équation.

Nous pouvons rappeler que cette formule qui nous a été donnée est dérivée du modèle de Bohr de l’atome, qui décrit les atomes comme un noyau chargé positivement avec des électrons faisant des orbites circulaires autour. Maintenant, le modèle de Bohr a certaines limites, mais il est assez précis lors de la description de systèmes à un électron tels que l’atome d’hydrogène.

Maintenant, dans cette question, on nous dit que l’électron occupe le niveau d’énergie 𝑛 égal à deux. On peut rappeler que 𝑛 est le nombre quantique principal d’un électron dans un atome. 𝑛 prend des valeurs entières, qui décrivent le niveau d’énergie d’un électron. La plus petite valeur que 𝑛 peut prendre est un, qui décrit un électron dans l’état d’énergie le plus bas possible d’un atome. Dans le modèle de Bohr, cela décrit un électron dans l’orbite la plus interne autour du noyau.

Cependant, dans cette question, on nous dit que notre électron est au niveau d’énergie 𝑛 égal à deux, ce qui signifie que l’électron occupe la prochaine orbite. Le rayon orbital d’un électron est simplement le rayon de la trajectoire circulaire qu’il suit autour du noyau. Et comme on nous le dit dans la question, nous pouvons calculer le rayon orbital d’un électron en utilisant cette équation.

Une chose intéressante à noter à propos de cette équation est qu’elle ne contient en réalité que deux variables, le rayon orbital et le nombre quantique principal. Cela signifie que, selon le modèle de Bohr, le rayon orbital d’un électron est proportionnel au carré de son nombre quantique principal. Maintenant, nous voulons calculer le rayon orbital d’un électron au niveau d’énergie 𝑛 égal à deux. En d’autres termes, nous cherchons à trouver 𝑟 deux. Pour cela, nous substituons simplement deux à la place de 𝑛 dans cette équation, ce qui nous donne quatre 𝜋𝜀 zéro ℎ barre au carré deux au carré sur 𝑚 e 𝑞 e au carré, avec 𝜀 zéro la permittivité de l’espace libre. ℎ barre est la constante de Planck réduite. 𝑚 e est la masse d’un électron. Et 𝑞 e est la charge d’un électron.

Comme on nous donné les valeurs de toutes ces quantités dans la question, tout ce que nous devons faire maintenant est de remplacer ces valeurs et de calculer la réponse, ce qui nous donne cette expression. Et si nous rentrons tout cela dans nos calculatrices, cela nous donne une réponse de 2,10 fois 10 moins 10 mètre, ce qui équivaut à 0,210 nanomètre. Et c’est la réponse finale à notre question. Le rayon orbital d’un électron de niveau d’énergie 𝑛 égal à deux d’un atome d’hydrogène est de 0,210 nanomètres.

D’accord, nous pouvons maintenant résumer les points clés que nous avons examinés dans cette vidéo. Nous avons vu que le modèle de Bohr décrit l’atome comme constitué d’électrons se déplaçant sur des orbites circulaires autour d’un petit noyau dense. Selon le modèle de Bohr, le mouvement angulaire d’un électron en orbite autour d’un atome est quantifiée et proportionnelle à son nombre quantique principal 𝑛, qui est donné par la formule 𝐿 égale 𝑛ℎ bar. Le modèle de Bohr nous dit également que le rayon orbital d’un électron est proportionnel au carré de son nombre quantique principal 𝑛, qui est donné par cette équation. Et enfin, nous avons vu que le modèle de Bohr décrit avec précision les systèmes à un seul électron tels que l’atome d’hydrogène. Voici un résumé du modèle de Bohr de l’atome.

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