Transcription de la vidéo
Sachant que 𝐮 est le vecteur deux, moins trois, 𝐯 est le vecteur trois, deux et 𝐰 est le vecteur moins un, moins cinq, déterminez les coordonnées de 𝐮 plus 𝐯 plus 𝐰.
Dans cette question, on nous donne trois vecteurs 𝐮, 𝐯 et 𝐰 et on nous demande d’évaluer la somme de ces trois vecteurs. Et nous connaissons de nombreuses façons d’additionner des vecteurs. Par exemple, nous pourrions représenter graphiquement ces trois vecteurs et ensuite les additionner graphiquement. Et cela fonctionnerait ; Cependant, on nous donne ces trois vecteurs sous forme de composantes, il sera donc plus facile de les additionner par composantes.
Nous allons donc commencer par écrire notre somme en entier. Nous avons 𝐮 plus 𝐯 plus 𝐰 est égal au vecteur deux, moins trois plus le vecteur trois, deux plus le vecteur moins un, moins cinq. Et nous rappelons que pour additionner deux vecteurs de même dimension, il suffit d’additionner les composantes correspondantes. Nous allons donc commencer par additionner nos vecteurs 𝐮 et 𝐯. Lorsqu’on additionne ces deux vecteurs, la première composante sera la somme des premières composantes de nos vecteurs. Ça fait deux plus trois. Et notre deuxième composante sera la somme des secondes composantes de nos deux vecteurs. Ce qui donne moins trois plus deux.
Et n’oubliez pas qu’on doit encore additionner notre vecteur 𝐰. Cela nous donne l’expression suivante. Et nous pouvons simplifier cette expression en calculant les composantes de notre premier vecteur. On a deux plus trois est égal à cinq et moins trois plus deux est égal à moins un, ce qui donne 𝐮 plus 𝐯 plus 𝐰 est le vecteur cinq, moins un plus le vecteur moins un, moins cinq. Mais maintenant, on peut voir qu’il faut encore additionner deux vecteurs. Nous allons donc devoir refaire ce processus. On additionne les premières et les secondes composantes de nos vecteurs respectifs. Cela nous donne le vecteur cinq plus moins un, moins un plus moins cinq.
Et nous pouvons évaluer chacune des expressions de nos composantes. Cinq plus moins un est égal à quatre, et moins un plus moins cinq est égal à moins six. Nous avons donc montré que 𝐮 plus 𝐯 plus 𝐰 est le vecteur quatre, moins six. Et nous pourrions nous arrêter là. Cependant, il y a quelque chose que nous devons souligner. Pour évaluer cette expression, nous avons commencé par évaluer le vecteur 𝐮 plus 𝐯, puis nous avons additionné le résultat au vecteur 𝐰. Toutefois, ce n’est pas la seule option. Nous aurions pu additionner les vecteur 𝐯 et 𝐰, puis additionner le résultat au vecteur 𝐮.
Pour le faire, nous aurions additionné les composantes du vecteur 𝐯 et du vecteur 𝐰. Cela nous donne le vecteur deux, moins trois plus le vecteur trois plus moins un, deux plus moins cinq, que nous pouvons simplifier pour obtenir le vecteur deux, moins trois plus le vecteur deux, moins trois. Et puis nous pouvons additionner ces deux vecteurs composante par composante. Et si nous le faisions, la première composante de notre vecteur serait deux plus deux, ce qui donne quatre, et la seconde composante de notre vecteur serait moins trois plus moins trois, ce qui donne moins six.
Nous obtenons encore le vecteur quatre, moins six. Nous venons de montrer que l’ordre dans lequel on additionne les vecteurs 𝐮, 𝐯 et 𝐰 n’a pas d’importance. En fait, cela est vrai en général pour trois vecteurs quelconques. Nous pouvons toujours les additionner dans n’importe quel ordre. Cela s’appelle l’associativité de l’addition de vecteurs. Et cela est très similaire à une autre propriété dont vous avez peut-être entendu parler, notamment la commutativité, ce qui signifie qu’on peut modifier l’ordre des vecteurs. Et il est très utile de garder à l’esprit ces propriétés car on peut souvent les utiliser pour simplifier les problèmes impliquant des vecteurs.
Ainsi, dans cette question, nous avons pu montrer que : si 𝐮 est le vecteur deux, moins trois, 𝐯 est le vecteur trois, deux et 𝐰 est le vecteur moins un, moins cinq, alors 𝐮 plus 𝐯 plus 𝐰 est le vecteur quatre, moins six.
