Lesson Video: Addition et soustraction des vecteurs en 2D Mathématiques • First Year of Secondary School

Video Transcript

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à additionner et soustraire des vecteurs en deux dimensions. Nous commencerons par rappeler ce que nous entendons par un vecteur et montrer comment nous pouvons les tracer sur un repère.

Un vecteur est une quantité qui a à la fois une norme et une direction. Un vecteur à deux dimensions peut être écrit sous la forme 𝑥𝐢 plus 𝑦𝐣 ; en utilisant des parenthèses (𝑥 ; 𝑦). Ils peuvent être représentés sur le repère cartésien.

Considérons le vecteur quatre, trois ou quatre 𝐢 plus trois 𝐣. Ce vecteur a une composante 𝐢 de quatre, il se déplace donc de quatre unités dans la direction des 𝑥. Il a une composante 𝐣 de trois, il se déplace donc de trois unités dans la direction des 𝑦. Nous pouvons ensuite tracer le vecteur sur le repère comme indiqué. Sa direction s’éloignera de l’origine et sa norme sera la longueur. Bien que cela ne soit pas requis dans cette vidéo, nous pourrions calculer la norme du vecteur en utilisant le théorème de Pythagore. Quatre au carré plus trois au carré sont égaux à cinq au carré. Cela signifie que la norme de notre vecteur est de cinq.

Nous allons maintenant considérer ce qui se passe lorsque nous devons ajouter et soustraire des vecteurs. Imaginons que nous voulions ajouter deux vecteurs 𝐚 et 𝐛. Nous pouvons le montrer visuellement en traçant d’abord le vecteur 𝐚. On peut alors tracer le vecteur 𝐛 à partir de l’extrémité de ce vecteur. Le vecteur 𝐚 plus 𝐛 ira du début du vecteur 𝐚 à la fin du vecteur 𝐛. Si le vecteur 𝐚 était égal à cinq, deux et que le vecteur 𝐛 était égal à trois, moins trois, nous pourrions trouver le vecteur 𝐚 plus 𝐛 en ajoutant les composantes individuelles séparément. Nous ajoutons cinq et trois, puis séparément deux et moins trois. Cela signifie que 𝐚 plus 𝐛 serait égal à huit, moins un.

Nous pouvons suivre un processus similaire lors de la soustraction de vecteurs. Pour calculer le vecteur 𝐚 moins 𝐛, on soustrait trois à cinq et moins trois à deux. Cela nous donnerait le vecteur deux, cinq.

Voyons à quoi cela ressemblerait dans un croquis. Encore une fois, on peut commencer par tracer le vecteur 𝐚. Nous savons d’après notre diagramme que le vecteur 𝐚 ressemble à ce qui est indiqué. Le vecteur moins 𝐛 aurait la même norme mais irait dans la direction opposée. Cela nous donne le vecteur 𝐚 plus moins 𝐛, qui est le même que 𝐚 moins 𝐛. Nous allons maintenant examiner quelques exemples spécifiques où nous devons ajouter et soustraire des vecteurs.

Étant donné que le vecteur 𝐀 est égal à moins cinq 𝐢 plus 10𝐣 et que le vecteur 𝐁 est égal à moins quatre 𝐢 moins cinq 𝐣, où 𝐢 et 𝐣 sont deux vecteurs unitaires perpendiculaires, trouvez le vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁.

Nous rappelons que pour ajouter ou soustraire deux ou plusieurs vecteurs, nous ajoutons ou soustrayons simplement les composantes correspondantes. Dans cette question, nous devons soustraire moins quatre 𝐢 moins cinq 𝐣 de moins cinq 𝐢 plus 10𝐣. Nous pouvons alors soustraire les composants 𝐢 et 𝐣 séparément. Moins cinq moins moins quatre est égal à moins un. C’est parce que c’est la même chose que moins cinq plus quatre.

Soustraire moins cinq de 10 nous donne 15, car encore une fois cela revient à ajouter cinq à 10. Le vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁 est donc égal à moins 𝐢 plus 15𝐣.

Dans notre prochaine question, nous devons ajouter et soustraire trois vecteurs.

Etant donné que le vecteur 𝐀 est égal à neuf, cinq ; le vecteur 𝐁 est égal à moins 10, trois ; et le vecteur 𝐂 est égal à moins trois, six, trouvez le vecteur 𝐀 plus le vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐂.

Afin d’ajouter ou de soustraire deux ou plusieurs vecteurs, nous devons ajouter ou soustraire les composantes correspondantes. Dans cette question, nous avons neuf, cinq plus moins 10, trois moins moins trois, six. Si nous considérons les composantes en 𝑥, nous avons neuf plus moins 10 moins moins trois. Ajouter moins 10 à neuf revient à soustraire 10 de neuf. Nous devons ensuite ajouter trois à cela, car soustraire moins trois revient à en ajouter trois. Neuf moins 10 est égal à moins un. Et ajouter trois nous donne deux. La composante en 𝑥 de notre réponse est donc deux.

Nous pouvons ensuite répéter cela pour les composantes en 𝑦. Nous avons cinq plus trois moins six. C’est aussi égal à deux.

Le vecteur 𝐀 plus 𝐁 moins 𝐂 est égal à deux, deux.

Dans notre prochaine question, nous devrons également multiplier les vecteurs par des scalaires.

Étant donné que le vecteur 𝐀 est égal à moins un, deux et le vecteur 𝐁 est égal à trois, moins six, trouvez six 𝐀 plus deux 𝐁.

Dans cette question, nous multiplions les vecteurs 𝐀 et 𝐁 par un scalaire. Nous multiplions le vecteur 𝐀 par six et nous multiplions le vecteur 𝐁 par deux. Pour multiplier n’importe quel vecteur par un scalaire, nous multiplions simplement chacune des composantes par ce scalaire. Six multiplié par moins un est moins six, et six multiplié par deux est égal à 12. Par conséquent, six 𝐀 est égal à moins six, 12.

Nous devons multiplier le vecteur 𝐁 par deux. Deux multiplié par trois font six, et deux multiplié par moins six font moins 12. Par conséquent, deux 𝐁 est égal à six moins 12.

Nous devons additionner ces deux vecteurs. Lors de l’ajout ou de la soustraction de deux vecteurs, nous ajoutons ou soustrayons simplement les composantes correspondantes. Dans ce cas, nous devons ajouter moins six et six, puis également 12 et moins 12. Moins six plus six est égal à zéro, et 12 plus moins 12 est également égal à zéro. Cela signifie que six 𝐀 plus deux 𝐁 est égal à zéro, zéro. La somme de six multipliée par le vecteur 𝐀 et de deux multipliée par le vecteur 𝐁 est zéro, zéro, l’origine.

Dans notre prochaine question, nous devons déterminer un vecteur qui satisfait une équation.

Étant donné que le vecteur 𝐁 est égal à moins neuf, moins trois ; le vecteur est 𝐂 égal à moins quatre, moins deux ; et le vecteur 𝐃 est égal à moins deux, neuf, déterminez le vecteur 𝐀 qui satisfait l’équation 𝐀 est égal à moins quatre 𝐁 plus deux 𝐂 moins six 𝐃.

Dans l’équation donnée, nous avons multiplié les vecteurs 𝐁, 𝐂 et 𝐃 par un scalaire. Premièrement, le vecteur 𝐁 a été multiplié par moins quatre. Pour calculer cela, nous multiplions chacune des composantes par moins quatre. La multiplication de deux nombres négatifs donne une réponse positive. Par conséquent, moins quatre multiplié par moins neuf est 36. Et moins quatre multiplié par moins trois est 12.

Nous pouvons répéter ce processus en multipliant le vecteur 𝐂 par deux. Cela nous donne moins huit, moins quatre. Enfin, nous devons multiplier le vecteur 𝐃 par six. Six multiplié par moins deux est moins 12, et six multiplié par neuf est 54. Nous devons ajouter deux 𝐂 à moins quatre 𝐁, puis soustraire six 𝐃 de cela. Le vecteur 𝐀 est donc égal à 36, 12 plus moins huit, moins quatre moins moins 12, 54.

Lors de l’ajout ou de la soustraction de vecteurs, nous ajoutons ou soustrayons simplement les composantes individuelles. Pour les composantes en 𝑥 dans ce cas, nous avons 36 plus moins huit moins moins 12. C’est la même chose que 36 moins huit plus 12, ce qui nous donne une réponse de 40. La composante en 𝑥 du vecteur 𝐀 est 40.

Nous pouvons répéter cela pour les composantes en 𝑦. Nous devons ajouter moins quatre à 12, puis soustraire 54. Cela équivaut à moins 46.

Le vecteur 𝐀 qui satisfait l’équation moins quatre 𝐁 plus deux 𝐂 moins six 𝐃 est 40, moins 46.

Notre prochaine question traitera brièvement ce qui se passe lorsque nos vecteurs sont en trois dimensions.

Si le vecteur 𝐀 est égal à six, moins quatre, sept et le vecteur 𝐁 est égal à cinq, six, quatre, déterminez le vecteur 𝐀 plus le vecteur 𝐁.

Nous rappelons que lors de l’ajout ou de la soustraction de vecteurs en deux dimensions, nous ajoutons ou soustrayons simplement les composantes correspondantes. La même chose est vraie, car dans ce cas, lorsque nous avons des vecteurs en trois dimensions, nous ajoutons simplement les trois composantes différentes.

Tout d’abord, nous ajoutons les composantes en 𝑥 ou en 𝐢. Nous devons ajouter six et cinq. Ceci est égal à 11. Ensuite, nous devons ajouter moins quatre et six. C’est égal à deux. Enfin, nous devons ajouter sept et quatre. Ceci est également égal à 11.

Si le vecteur 𝐀 est égal à six, moins quatre, sept et le vecteur 𝐁 est égal à cinq, six, quatre, alors le vecteur 𝐀 plus le vecteur 𝐁 est égal à 11, deux, 11.

Cela signifie que lors de l’addition, de la soustraction ou de la multiplication de vecteurs en trois dimensions par un scalaire, nous suivons le même processus qu’avec deux dimensions.

Dans notre dernière question, nous examinerons un problème plus pratique impliquant la géométrie.

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 est un hexagone régulier. 𝐴𝐹 est parallèle à 𝐺𝐵 et 𝐸𝐹 est parallèle à 𝐺𝐷. Exprimer le vecteur 𝐀𝐄 en fonction de 𝐮 et 𝐯.

Il manque quelques segments sur notre hexagone de 𝐴 à 𝐵, 𝐴 à 𝐺 et 𝐸 à 𝐺. Comme l’hexagone est régulier, nous avons beaucoup de segments parallèles et de même longueur. Les segments sur notre diagramme de 𝐷 à 𝐶, 𝐺 à 𝐵 et 𝐹 à 𝐴 seront tous égaux au vecteur 𝐮. C’est parce qu’ils ont tous la même direction et la même norme. Il en serait de même pour 𝐸𝐺, 𝐺𝐶, 𝐹𝐺 et 𝐸𝐷 qui seront tous égaux au vecteur 𝐯. Encore une fois, cela serait également vrai pour 𝐴𝐵.

Nous savons également que 𝐹𝐸, 𝐺𝐷 et 𝐵𝐶 ont tous la même norme et la même direction. Considérons à quoi ceux-ci seraient égaux en fonction de 𝐮 et 𝐯. On peut aller du centre de l’hexagone 𝐺 au sommet 𝐷 via le sommet 𝐶. Cela signifie que GD est égal à 𝐺𝐶 plus 𝐶𝐷. On sait que 𝐺𝐶 est égal au vecteur 𝐯. 𝐷𝐶 est égal au vecteur 𝐮. Cela signifie que 𝐶𝐷 est égal à moins 𝐮. Il a la même norme mais est dans la direction opposée. On peut donc dire que 𝐺𝐷 est égal à 𝐯 moins 𝐮. Il en est de même pour 𝐹𝐸 et 𝐵𝐶.

On nous demande d’exprimer 𝐴𝐸 en fonction de 𝐮 et 𝐯. Le moyen le plus rapide pour se rendre du sommet 𝐴 au sommet 𝐸 est de passer par le sommet 𝐹. Cela signifie que 𝐴𝐸 est égal à 𝐴𝐹 plus 𝐹𝐸. Comme 𝐹𝐴 est égal à 𝐮, 𝐴𝐹 sera égal à moins 𝐮. Nous savons que 𝐹𝐸 est égal à 𝐯 moins 𝐮. 𝐴𝐸 est donc égal à moins 𝐮 plus 𝐯 moins 𝐮.

Cela peut être simplifié en moins deux 𝐮 plus 𝐯. Alternativement, nous pourrions l’écrire comme 𝐯 moins deux 𝐮. Nous pouvons utiliser cette méthode pour calculer le vecteur de n’importe quel sommet à un autre sommet de l’hexagone.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo.

Nous avons découvert dans cette vidéo que pour ajouter ou soustraire deux ou plusieurs vecteurs, nous ajoutons ou soustrayons simplement les composantes correspondantes. Pour multiplier un vecteur par un scalaire, nous multiplions chaque composante individuellement. Dans notre dernière question, nous avons vu que nous pouvons utiliser ces compétences pour répondre à des problèmes impliquant la géométrie. Nous avons également vu que les règles ci-dessus s’appliquent aux vecteurs en deux et trois dimensions.