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Fiche explicative de la leçon : Addition et soustraction des vecteurs en 2D Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à additionner et soustraire des vecteurs en 2D.

Nous savons que les vecteurs peuvent être représentés par des segments orientés avec une longueur (norme) et une direction (sens) spécifiques. Nous les utiliserons pour visualiser l’addition et la soustraction de vecteurs.

Dans le cadre de cette fiche explicative, nous ne prendrons en compte que les vecteurs en deux dimensions;cependant, la méthodologie décrite peut être étendue aux vecteurs en trois dimensions ou plus.

Rappelons qu’un vecteur unitaire est un vecteur de norme égale à 1, et que les vecteurs unitaires dans la direction des axes des 𝑥 et 𝑦 sont respectivement notés 𝑖 et 𝑗.

Tout vecteur en deux dimensions peut être exprimé sous la forme 𝑥𝑖+𝑦𝑗. On peut, alternativement, l'écrire sous forme de composantes comme suit:(𝑥,𝑦) ou 𝑥𝑦.

Définition : Addition de vecteurs

L’addition de vecteurs est l’opération consistant à additionner deux vecteurs ou plus pour déterminer leur somme.

Étant donnés deux vecteurs (ou plus) exprimés sous forme de composantes, nous pouvons déterminer leur somme en additionnant les composantes correspondantes des vecteurs.

Par exemple, si 𝑢=(𝑥,𝑦) et 𝑣=(𝑥,𝑦), alors 𝑢+𝑣=(𝑥+𝑥,𝑦+𝑦).

L’addition de vecteurs est l’opération consistant à additionner deux vecteurs ou plus et à les exprimer comme une somme de vecteurs. La somme de deux vecteurs ou plus est appelée la résultante.

Nous allons maintenant passer à quelques exemples où nous devons additionner des vecteurs en deux dimensions.

Exemple 1: Déterminer la somme de deux vecteurs

Si 𝑎=(3;2) et 𝑏=(4;1), déterminez 𝑎+𝑏.

Réponse

On rappelle qu’en coordonnées cartésiennes, l’addition de vecteurs peut être effectuée en additionnant les composantes correspondantes des vecteurs.

Si 𝑎=(𝑥,𝑦) et 𝑏=(𝑥,𝑦), alors 𝑎+𝑏=(𝑥+𝑥,𝑦+𝑦).

Dans cette question 𝑎=(3;2) et 𝑏=(4;1).

Donc, 𝑎+𝑏=(3+4,2+(1))=(7,1).

Ainsi, 𝑎+𝑏=(7;1).

Exemple 2: Déterminer les composantes de deux vecteurs et leur somme à partir d’une figure

Les vecteurs représentés sur le quadrillage sont 𝑢, 𝑣 et 𝑢+𝑣.

  1. Quelles sont les composantes de 𝑢?
  2. Quelles sont les composantes de 𝑣?
  3. Quelles sont les composantes de 𝑢+𝑣?

Réponse

Tout vecteur en deux dimensions peut être écrit en fonction de ses composantes en 𝑥 et 𝑦 sous la forme (𝑥,𝑦), 𝑥 est le nombre d’unités à parcourir dans le sens de l'axe des 𝑥 positifs, et 𝑦 est le nombre d’unités dans le sens de l'axe des 𝑦 positifs.

Du point de départ (appelé origine) de 𝑢 à son point d'arrivée (appelé extrémité), on se déplace de 2 unités vers la droite et de 1 unité vers le haut. Cela correspond à 2 unités dans la direction de l'axe des 𝑥 et 1 unité dans la direction de l'axe des 𝑦.

Donc, 𝑢=(2,1).

De l’origine de 𝑣 à son extrémité, on se déplace de 3 unités vers la gauche et de 4 unités vers le bas. Cela correspond à 3 unités dans la direction de l'axe des 𝑥 et 4 unités dans la direction de l'axe des 𝑦.

Donc, 𝑣=(3,4).

Nous savons que la somme de deux vecteurs est appelée la résultante, et qu’en coordonnées cartésiennes, l’addition de vecteurs peut être effectuée en additionnant les composantes correspondantes des vecteurs.

Si 𝑢=(𝑥,𝑦) et 𝑣=(𝑥,𝑦), alors 𝑢+𝑣=(𝑥+𝑥,𝑦+𝑦).

Comme 𝑢=(2,1)𝑣=(3,4),et alors 𝑢+𝑣=(2+(3),1+(4))=(1,3).

Nous pourrions également lire ces informations directement à partir de la figure.

De l’origine de 𝑢 à l’extrémité du vecteur 𝑣, on se déplace de 1 unité vers la gauche et de 3 unités vers le bas. Cela correspond à 1 unité dans la direction de l'axe des 𝑥 et 3 unités dans la direction de l'axe des 𝑦.

Donc, 𝑢+𝑣=(1,3).

Ainsi, 𝑢=(2;1), 𝑣=(3;4) et 𝑢+𝑣=(1;3).

La soustraction de vecteurs est le processus visant à déterminer la différence entre deux vecteurs;c’est l’opération inverse de l’addition de vecteurs. Cela signifie que 𝑢𝑣=𝑢+𝑣. En soustrayant 𝑣 à 𝑢, on détermine la résultante de 𝑢 et 𝑣.

Définition : Soustraction de vecteurs

La soustraction de vecteurs est l’opération consistant à soustraire deux vecteurs pour déterminer leur différence.

Étant donnés deux vecteurs sous forme de composantes, nous pouvons déterminer leur différence en soustrayant les composantes correspondantes des vecteurs.

Par exemple, si 𝑢=(𝑥,𝑦) et 𝑣=(𝑥,𝑦), alors 𝑢𝑣=(𝑥𝑥,𝑦𝑦).

Il est à noter que le fait de prendre l’opposé de 𝑣 signifie qu’il sera de sens contraire. Par exemple, si nous avions un vecteur 𝑣=(5;0), ce serait un vecteur de norme 5 parallèle à l'axe des 𝑥 allant de gauche à droite. Si on prend l’opposé de 𝑣, alors on obtient 𝑣=(5;0). La norme du vecteur n’est pas modifiée;il est toujours parallèle à l'axe des 𝑥, mais son sens s’est inversé, il va maintenant de droite à gauche.

Nous allons maintenant étudier d’autres exemples où nous allons additionner et soustraire des vecteurs en deux dimensions.

Exemple 3: Soustraction de vecteurs exprimés en fonction de vecteurs unitaires

Soient les vecteurs 𝐴𝐵=3𝑖4𝑗 et 𝐶𝐷=5𝑖5𝑗, calculez 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Réponse

Nous commençons par rappeler qu’en coordonnées cartésiennes, la soustraction de vecteurs peut être effectuée en soustrayant les composantes correspondantes des vecteurs.

Si 𝑢=𝑎𝑖+𝑏𝑗 et 𝑣=𝑐𝑖+𝑑𝑗, alors 𝑢𝑣=(𝑎𝑐)𝑖+(𝑏𝑑)𝑗.

Donc, 𝐴𝐵𝐶𝐷=3𝑖4𝑗5𝑖5𝑗=(3(5))𝑖+(4(5))𝑗=8𝑖+𝑗.

Ainsi, 𝐴𝐵𝐶𝐷=8𝑖+𝑗.

Exemple 4: Addition et soustraction de vecteurs

Sachant que 𝐴=(2;2), 𝐵=(5;2) et 𝐶=(3;2), déterminez 𝐴+𝐵𝐶.

Réponse

Nous rappelons d’abord qu’en coordonnées cartésiennes, l’addition et la soustraction de vecteurs peuvent être effectuées en additionnant ou en soustrayant les composantes correspondantes des vecteurs.

Donc, 𝐴+𝐵𝐶=((2)+5(3),2+2(2))=(2+5+3,2+2+2)=(10,2).

Ainsi, 𝐴+𝐵𝐶=(10;2).

Exemple 5: Déterminer un vecteur inconnu étant donnés un autre vecteur et la somme de deux vecteurs

Sachant que 𝐴=(4;5) et 𝐴+𝐵=(2;7), déterminez 𝐵.

Réponse

Nous commençons par rappeler qu’en coordonnées cartésiennes, l’addition et la soustraction de vecteurs peuvent être effectuées en additionnant ou en soustrayant les composantes correspondantes des vecteurs.

Si 𝐴=(𝑥,𝑦) et 𝐵=(𝑥,𝑦), alors 𝐴+𝐵=(𝑥+𝑥,𝑦+𝑦).

Comme 𝐴=(4;5) et 𝐴+𝐵=(2;7), alors (4,5)+𝐵=(2,7)((4,5))𝐵=(2,7)(4,5)𝐵=(2(4),75)𝐵=(6,2).soustraireauxdeuxmembres

Donc, 𝐵=(6;2).

Exemple 6: Déterminer la somme de deux vecteurs étant donnés l’un d’eux et la différence entre eux

Sachant que 𝐴=(7;1) et 𝐴𝐵=(3;2), déterminez 𝐴+𝐵.

Réponse

D’abord, nous rappelons qu’en coordonnées cartésiennes, l’addition et la soustraction de vecteurs peuvent être effectuées en additionnant ou en soustrayant les composantes correspondantes des vecteurs.

Si 𝐴=(𝑥,𝑦) et 𝐵=(𝑥,𝑦), alors 𝐴𝐵=(𝑥𝑥,𝑦𝑦).

Comme, 𝐴=(7;1) et 𝐴𝐵=(3;2), alors (7,1)𝐵=(3,2)𝐵(3,2)𝐵=(7,1)(3,2)𝐵=(73,1(2))𝐵=(4,1).ajouteretsoustraireauxdeuxmembres

On calcule maintenant 𝐴+𝐵.

Si 𝐴=(𝑥,𝑦) et 𝐵=(𝑥,𝑦), alors 𝐴+𝐵=(𝑥+𝑥,𝑦+𝑦).

Comme 𝐴=(7;1) et 𝐵=(4;1), alors 𝐴+𝐵=(7,1)+(4,1)=(7+4,1+1)=(11,0).

Donc, 𝐴+𝐵=(11;0).

Exemple 7: Déterminer un vecteur à partir de deux autres vecteurs et une expression entre les trois vecteurs

Sachant que 𝐴=(3;2), 𝐵=(5;4) et 𝐴𝐵+𝐶=(6;1), déterminez 𝐶.

Réponse

Nous rappelons d’abord qu’en coordonnées cartésiennes, l’addition et la soustraction de vecteurs peuvent être effectuées en additionnant ou en soustrayant les composantes correspondantes des vecteurs.

Si 𝐴=(𝑥,𝑦), 𝐵=(𝑥,𝑦) et 𝐶=(𝑥,𝑦), alors 𝐴𝐵+𝐶=(𝑥𝑥+𝑥,𝑦𝑦+𝑦).

Comme 𝐴=(3;2), 𝐵=(5;4) et 𝐴𝐵+𝐶=(6;1), alors (3,2)(5,4)+𝐶=(6,1)(8,6)+𝐶=(6,1)((8,6))𝐶=(6,1)(8,6)𝐶=(68,1(6))𝐶=(2,5).soustraireauxdeuxmembres

Donc, 𝐶=(2;5).

Bien que ce soit hors de portée de cette fiche explicative, nous pouvons représenter graphiquement l’addition et la soustraction de vecteurs en utilisant la méthode du parallélogramme ou la méthode du triangle.

Nous terminerons cette fiche explicative en récapitulant quelques points clés.

Points clés

  • En coordonnées cartésiennes, l’addition et la soustraction de vecteurs peuvent être effectuées en additionnant ou en soustrayant les composantes correspondantes des vecteurs.
  • Si 𝑢=(𝑥,𝑦) et 𝑣=(𝑥,𝑦), alors 𝑢+𝑣=(𝑥+𝑥,𝑦+𝑦).
  • Si 𝑢=(𝑥,𝑦) et 𝑣=(𝑥,𝑦), alors 𝑢𝑣=(𝑥𝑥,𝑦𝑦).

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