Transcription de la vidéo
Déterminez l’ensemble solution de 𝑥 plus deux fois 𝑥 moins sept égale moins huit dans l’ensemble des nombres réels.
L’ensemble solution désigne l’ensemble de toutes les valeurs de la variable, ici 𝑥, qui vérifient l’équation donnée. Il est également précisé qu’on ne cherche que les solutions dans l’ensemble des réels. À première vue, cette équation du second degré semble déjà factorisée. Mais en y regardant de plus près, nous voyons que le membre de droite est égal à moins huit et non zéro. Pour résoudre une équation du second degré par factorisation, il faut faire en sorte qu’un côté de l’équation soit égal à zéro. Ainsi, nous allons développer les parenthèses du membre de gauche, puis réécrire l’équation obtenue pour qu’un des membres soit nul.
Nous pouvons développer les parenthèses par la méthode de notre choix. Par exemple, la double-distributivité est sûrement la méthode la plus efficace. Multiplions les premiers termes de chaque parenthèse, 𝑥 fois 𝑥 égale 𝑥 au carré. Multiplions le premier terme de la première parenthèse par le second terme de la seconde, 𝑥 fois moins sept donne moins sept 𝑥. Multiplions le second terme de la première parenthèse par le premier terme de la seconde, nous avons plus deux 𝑥. Enfin, multiplions les derniers termes, nous avons moins 14. À droite, nous avons simplement le nombre moins huit. Ensuite, nous simplifions en regroupant les termes similaires. Moins sept 𝑥 plus deux 𝑥 égale moins cinq 𝑥. En ajoutant huit de chaque côté, nous obtenons le terme constant moins six sur le côté gauche. Soit moins 14 plus huit. Nous obtenons donc zéro à droite.
L’équation du second degré est maintenant sous sa forme usuelle facilement reconnaissable. Soit la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 pour les constantes 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Essayons de résoudre cette équation du second degré par factorisation. Le coefficient de 𝑥 au carré est un, ce qui implique que le premier terme de chaque parenthèse est 𝑥, car 𝑥 multiplié par 𝑥 donne 𝑥 au carré. Pour compléter les parenthèses, nous recherchons ensuite deux nombres dont la somme est le coefficient de 𝑥, soit moins cinq, et dont le produit est le terme constant, soit moins six. Faisons la liste des paires de diviseurs de six. Ce sont un et six, et deux et trois.
Pour que le produit vaille moins six, il nous faut un nombre positif et un nombre négatif. En prenant la paire de facteurs un et six, même plutôt moins six, alors leur produit est moins six et leur somme est moins cinq, en effet. Ainsi, voilà les deux nombres recherchés pour compléter les parenthèses. Nous pouvons donc les remplir. Nous voyons que la forme factorisée de cette équation du second degré est 𝑥 plus un multiplié par 𝑥 moins six égale zéro. Nous pouvons bien sûr vérifier en développant ce produit si on le souhaite.
Maintenant, rappelons que nous avons un produit de deux facteurs qui est égal à zéro. Ceci ne peut arriver que si au moins un des facteurs est lui-même nul. Ainsi, pour trouver toutes les solutions de cette équation, nous prenons successivement chaque facteur, nous le fixons à zéro, puis nous résolvons l’équation linéaire obtenue. Nous avons 𝑥 plus un égale zéro ou 𝑥 moins six égale zéro. En retranchant un de chaque côté de la première équation, nous avons 𝑥 égale moins un. En ajoutant six de chaque côté de la deuxième équation, nous avons 𝑥 égale six. Il y a donc deux valeurs solutions de cette équation, les nombres moins un et six.
Nous pouvons bien sûr vérifier chacune de ces solutions en les substituant dans l’équation initiale. Par exemple, pour 𝑥 égale moins un, avec cette valeur nous trouvons moins un plus deux multiplié par moins un moins sept. Cela donne un multiplié par moins huit, ce qui est en effet égal à moins huit, le côté droit de l’équation, ce qui confirme que 𝑥 égale un appartient à l’ensemble solution de cette équation. Nous avons donc résolu le problème. L’ensemble solution de l’équation du second degré 𝑥 plus deux multiplié par 𝑥 moins sept égale moins huit est l’ensemble moins un, six.
