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Si le quatrième terme de la suite 𝑎𝑛 plus 𝑏 est 26 et le huitième terme est 46, déterminez le neuvième terme de cette suite.
On nous a donné la formule ou l’expression du terme général de cette suite. Nous pourrions l’écrire comme 𝑇 indice 𝑛 est égal à 𝑎𝑛 plus 𝑏, où 𝑇 indice 𝑛 représente le 𝑛-ième terme. Nous voulons calculer le neuvième terme de cette suite, ce qui signifie que nous devons remplacer la valeur de 𝑛 dans cette formule générale par neuf. Le problème est que nous ne connaissons pas encore les valeurs de 𝑎 et de 𝑏. Nous devons donc d’abord les déterminer, ce que nous pouvons faire en utilisant les autres informations fournies dans l’énoncé de la question.
On nous dit que le quatrième terme de cette suite est égal à 26 et que le huitième terme est égal à 46. Cela signifie donc que lorsque nous remplaçons 𝑛 par quatre dans cette formule générale, nous devons obtenir 26 et que lorsque nous remplaçons 𝑛 par huit, nous obtiendrons 46. Nous pouvons donc traduire ceci par un système de deux équations à deux inconnues. Si le quatrième terme est égal à 26, nous avons alors l’équation quatre 𝑎 plus 𝑏 est égal à 26. Si le huitième terme est égal à 46, nous avons l’équation huit 𝑎 plus 𝑏 est égal à 46.
Nous pouvons maintenant résoudre ce système d’équations linéaires pour déterminer les valeurs de 𝑎 et de 𝑏. Si nous soustrayons la première équation de la seconde, alors les termes 𝑏 s’éliminent, nous laissant avec quatre 𝑎 est égal à 20. Nous pouvons diviser les deux membres de cette équation par quatre et nous obtenons que 𝑎 est égal à cinq. Nous pouvons ensuite remplacer par cette valeur de 𝑎 dans l’une ou l’autre équation pour trouver la valeur de 𝑏 : j’ai choisi l’équation un. Nous avons donc que quatre multiplié par cinq plus 𝑏 est égal à 26. Cela se simplifie en 20 plus 𝑏 est égal à 26. En soustrayant 20 de chaque membre, nous trouvons que la valeur de 𝑏 est six.
Ainsi, après avoir calculé les valeurs de 𝑎 et 𝑏, nous pouvons maintenant écrire explicitement cette formule générale. Nous avons que le 𝑛-ième terme de cette suite est égal à cinq 𝑛 plus six. Pour calculer le neuvième terme, nous remplaçons 𝑛 par neuf, ce qui nous donne cinq multiplié par neuf plus six. Cela fait 45 plus six, ce qui équivaut à 51. Ainsi, après avoir trouvé les valeurs de 𝑎 et de 𝑏, nous avons déterminé que le neuvième terme de cette suite est égal à 51.
Une autre approche que nous aurions pu adopter est de remarquer que les termes de cette suite suivent en fait un modèle. En utilisant la formule du 𝑛-ième terme 𝑇 𝑛 est égal à 𝑎𝑛 plus 𝑏, le premier terme 𝑇 un est 𝑎 plus 𝑏. Le deuxième terme 𝑇 deux est deux 𝑎 plus 𝑏. Le troisième terme est trois 𝑎 plus 𝑏. Le quatrième terme est quatre 𝑎 plus 𝑏. Nous observons donc, que pour passer d’un terme à l’autre, nous ajoutons la valeur de 𝑎. Une fois que nous avons déterminé que la valeur de 𝑎 est cinq, nous pouvons calculer le neuvième terme en ajoutant cinq au huitième terme. Nous aurions donc que 𝑇 neuf est égal à 𝑇 huit plus cinq ; soit 46 plus cinq, ce qui est encore égal à 51.
En fait, nous pourrions utiliser cette relation entre termes successifs pour écrire une relation de récurrence entre ces termes de cette suite. Pour passer d’un terme à l’autre, nous ajoutons cinq. Nous pouvons donc dire que 𝑇 indice 𝑛 plus un est égal à cinq plus 𝑇 indice 𝑛. En utilisant l’une ou l’autre méthode, nous trouvons que le neuvième terme de la suite de terme général 𝑎𝑛 plus 𝑏, où le quatrième terme est égal 26 et le huitième à 46, est égal à 51.
