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Vidéo de la leçon : Terme général d’une suite Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser le terme général ou une formule de récurrence d’une suite pour calculer des termes de la suite.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser le terme général ou une formule de récurrence d’une suite pour calculer des termes de la suite. Commençons par rappeler qu’une suite est une liste ordonnée de nombres étant appelés des termes ; par exemple les nombres pairs deux, quatre, six, huit, 10, etc. Lorsque l’on étudie des suites, on peut généralement trouver le terme suivant en identifiant une formule ou un modèle général. Dans cette vidéo, nous allons développer ces méthodes utilisant le terme général et voir comment nous pouvons l’utiliser pour calculer n’importe quel terme d’une suite.

Le terme général d’une suite, parfois appelé terme de rang n et noté 𝑎 𝑛, est une expression littérale qui relie le terme à son rang dans la suite. Considérons le terme général 𝑎 𝑛 égale trois 𝑛 plus quatre. Une façon de calculer les termes de cette suite est de dresser un tableau comme indiqué. Nous allons commencer par calculer les trois premiers termes, lorsque 𝑛 est égal à un, deux et trois. Lorsque 𝑛 est égal à un, on a trois fois un plus quatre. Cela est égal à sept, donc le premier terme de la suite est sept.

Le deuxième terme peut être calculé en multipliant deux par trois, puis en ajoutant quatre. Ce qui fait 10. En suivant la même méthode, on trouve que le troisième terme est égal à 13. Cela signifie que 𝑎 un est égal à sept, 𝑎 deux est égal à 10 et 𝑎 trois est égal à 13. La suite de terme général 𝑎 𝑛 égale trois 𝑛 plus quatre est sept, 10, 13, et ainsi de suite.

Voyons maintenant comment nous pourrions calculer le huitième terme de cette suite. En substituant 𝑛 égale huit dans notre expression, on a trois fois huit plus quatre. Ce qui fait 28. 𝑎 huit, le huitième terme de la suite, est donc égal à 28. Cette méthode peut être résumée comme suit. Si le terme général d’une suite est une expression en fonction de 𝑛, on substitue le rang du terme à 𝑛 pour calculer un terme spécifique dans la suite. Par exemple, pour trouver le 20ème terme, on remplace 𝑛 par 20 dans l’expression.

Dans le premier exemple, nous allons utiliser cette méthode pour calculer les cinq premiers termes d’une suite.

Calculez les cinq premiers termes de la suite dont le terme de rang n est défini par 𝑎 𝑛 égale 𝑛 au carré moins 14, où 𝑛 est supérieur ou égal à un.

Afin de calculer les cinq premiers termes de cette suite, nous devons remplacer 𝑛 par un, deux, trois, quatre et cinq dans l’expression de 𝑎 𝑛. Pour le premier terme, 𝑛 est égal à un. On le note 𝑎 un et il est égal à un au carré moins 14. Or un au carré est égal à un, et en soustrayant 14, on obtient 13. Le premier terme de la suite est donc moins 13. Pour calculer le deuxième terme, on remplace 𝑛 par deux. Cela donne deux au carré moins 14. Et comme deux au carré égale quatre, cela fait moins 10.

On peut ensuite répéter ce processus pour calculer les troisième, quatrième et cinquième termes. Lorsque 𝑛 est égal à trois, 𝑎 trois est égal à moins cinq. Lorsque 𝑛 est égal à quatre, quatre au carré moins 14 égale deux. Et enfin, le cinquième terme 𝑎 cinq est égal à cinq au carré moins 14, soit 11. Les cinq premiers termes de la suite dont le terme de rang 𝑛 est 𝑎 𝑛 égale 𝑛 au carré moins 14 sont donc moins 13, moins 10, moins cinq, deux et 11.

Dans le prochain exemple, nous devons calculer un terme spécifique d’une suite.

Calculez le terme de rang sept de la suite 𝑎 𝑛 égale 𝑛 au cube moins 14.

Le terme de rang sept d’une suite de terme général 𝑎 𝑛 est noté 𝑎 sept. On peut le calculer en remplaçant 𝑛 par sept dans l’expression du terme général. 𝑎 sept est égal à sept au cube moins 14. On sait que sept fois sept ou sept au carré est égal à 49. Cela signifie que l’on peut calculer sept au cube en multipliant 49 par sept. Comme 40 fois sept égale 280 et neuf fois sept égale 63, on peut les additionner pour calculer 49 fois sept, qui est égal à 343. Le terme de rang sept de la suite est donc égal à 343 moins 14. Soit 329. Nous pouvons utiliser cette méthode pour calculer n’importe quel terme d’une suite à partir de l’expression du terme général en fonction de 𝑛. Pour calculer par exemple le 20ème terme, on remplace 𝑛 par 20 dans l’expression.

Avant de passer au prochain exemple, nous allons expliquer comment le terme général peut être défini par une formule de récurrence. Une suite peut être définie par un terme général qui est une expression en fonction d’autres termes de la suite. Si cette relation entre les termes est vraie pour tous les termes de la suite, on l’appelle relation de récurrence. Dans sa forme la plus simple, elle permet de calculer le terme d’une suite à partir du terme précédent. Considérons par exemple le terme général avec la formule de récurrence 𝑎 𝑛 égale deux 𝑎 𝑛 moins un plus cinq, pour 𝑛 supérieur ou égal à deux et 𝑎 un égale quatre.

On voit que cette expression contient le terme 𝑎 𝑛 moins un. Il s’agit du terme juste avant 𝑎 𝑛. Pour calculer n’importe quel terme de cette suite, on multiplie le terme précédent par deux, puis on y ajoute cinq. On peut à nouveau représenter les termes dans un tableau. Il est indiqué que 𝑎 un est égal à quatre. Par conséquent, lorsque 𝑛 est égal à un, 𝑎 𝑛 égale quatre. Pour calculer le deuxième terme de la suite, on multiplie le premier terme quatre par deux, puis on ajoute cinq. Cela nous donne 13.

On peut ensuite répéter ce processus pour calculer le troisième terme. On multiplie le deuxième terme par deux et on ajoute cinq. Deux fois 13 plus cinq égale 31. Enfin, pour calculer le quatrième terme, on multiplie le troisième terme par deux et on ajoute à nouveau cinq. Cela nous donne 67. Cette suite se poursuit indéfiniment. Les quatre premiers termes de la suite de terme général 𝑎 𝑛 égale deux 𝑎 𝑛 moins un plus cinq sont quatre, 13, 31 et 67. Nous allons maintenant résumer comment utiliser une relation ou formule de récurrence.

Si le terme général d’une suite est une expression en fonction de 𝑎 𝑛 moins un, on substitue le terme précédent à 𝑎 𝑛 moins un pour trouver le terme suivant. Et si le terme général est une expression de 𝑎 𝑛 plus un en fonction de 𝑎 𝑛, on substitue le terme précédent à 𝑎 𝑛 pour trouver la valeur de 𝑎 𝑛 plus un. Un exemple connu de suite qui peut être définie à l’aide d’une formule de récurrence est la suite de Fibonacci. Elle est constituée des nombres un, un, deux, trois, cinq, huit, 13, etc. Pour calculer le terme suivant de la suite de Fibonacci, on additionne les deux termes précédents. C’est-à-dire, un plus un égale deux, un plus deux égale trois, deux plus trois égale cinq, et ainsi de suite. C’est une suite vraiment intéressante qui a de nombreuses applications dans la nature et qui mérite d’être étudiée.

Nous allons maintenant passer à un exemple impliquant une formule de récurrence.

Calculez les cinq premiers termes de la suite 𝑎 n sachant que 𝑎 𝑛 plus un est égal à moins un puissance n divisé par neuf fois 𝑎 𝑛, pour 𝑛 supérieur ou égal à un et 𝑎 un égal à moins 11.

Dans cet exemple, nous connaissons la valeur du premier terme de la suite, 𝑎 un, qui est égal à moins 11. Et nous devons trouver les cinq premiers termes. Nous devons donc calculer les deuxième, troisième, quatrième et cinquième termes de la suite. On les note 𝑎 deux, 𝑎 trois, 𝑎 quatre et 𝑎 cinq.

La formule qui nous est donnée est un exemple de formule de récurrence, où 𝑎 𝑛 plus un est exprimé en fonction de 𝑎 𝑛. Nous pouvons donc calculer n’importe quel terme de la suite en remplaçant la valeur du terme précédent dans la formule. Le deuxième terme 𝑎 deux est ainsi égal à moins un puissance un divisé par neuf fois 𝑎 un. Or, on sait que 𝑎 un est égal à moins 11. Cette expression est donc égale à moins un sur moins 99, ce qui se simplifie par un sur 99. C’est le deuxième terme de la suite, et nous pouvons l’utiliser pour calculer le troisième.

En utilisant notre formule de récurrence une fois de plus, 𝑎 trois est égal à moins un au carré sur neuf fois 𝑎 deux. Et 𝑎 deux est égal à un sur 99. Au dénominateur, on a neuf fois un sur 99, ce qui est égal à neuf sur 99. En annulant le diviseur commun neuf, cela se simplifie en un sur 11. Et comme moins un au carré est égal à un, 𝑎 trois est égal à un divisé par un sur 11. On rappelle alors que diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse de cette fraction. Un divisé par un sur 11 est donc égal à un fois 11 sur un. Ce qui fait 11. 𝑎 trois, le troisième terme de la suite, est donc égal à 11.

Nous devons ensuite calculer le quatrième terme 𝑎 quatre. Il est égal à moins un au cube divisé par neuf fois 𝑎 trois. Et nous venons de calculer 𝑎 trois égale 11. Le quatrième terme de la suite est donc égal à moins un sur 99, en rappelant qu’un nombre négatif au cube donne une valeur négative. Enfin, 𝑎 cinq est égal à moins un puissance quatre divisé par neuf fois 𝑎 quatre. On peut substituer moins un sur 99 à 𝑎 quatre. Et cela se simplifie alors par un divisé par moins un sur 11. En utilisant la même méthode que pour calculer 𝑎 trois, on trouve que 𝑎 cinq est égal à moins 11. Les cinq premiers termes de la suite sont donc moins 11, un sur 99, 11, moins un sur 99 et moins 11.

Remarquez que le premier terme est égal au cinquième terme. Cela signifie que cette suite est périodique et que les quatre premiers termes se répètent. 𝑎 un est égal à 𝑎 cinq, qui est égal à 𝑎 neuf et ainsi de suite. De même, les deuxième, sixième et dixième termes sont égaux. Il en va de même pour les troisième, septième et onzième termes, ainsi que pour les quatrième, huitième et douzième termes.

Dans le dernier exemple, nous allons déterminer quelle expression correspond à une suite donnée.

Laquelle des expressions suivantes correspond au terme général de la suite 52, 84, 116, 148 ? Est-ce (A) 52 plus 30 fois 𝑛 moins un. (B) 52 plus 32 fois 𝑛 moins un. (C) 52 plus 32 fois 𝑛 plus un. (D) 84 plus 32 fois 𝑛 moins un. Ou (E) 84 plus 30 fois 𝑛 plus un.

La question indique que les quatre premiers termes de la suite sont 52, 84, 116 et 148. Ils correspondent aux rangs 𝑛 : un, deux, trois et quatre. Afin de déterminer quelle expression correspond à cette suite, nous allons substituer ces valeurs dans chaque expression l’une après l’autre. Commençons par 𝑛 égale un. Pour l’option (A), on a 52 plus 30 fois un moins un. Comme un moins un égale zéro, cela fait 52. Cela signifie que l’expression (A) correspond au premier terme de la suite. Cela est également vrai pour l’option (B). 52 plus 32 fois un moins un est égal à 52. Les options (C), (D) et (E) donnent les valeurs 116, 84 et 144 lorsque l’on remplace 𝑛 par un. Cela signifie que le premier terme de ces expressions n’est pas égal à 52. Et que nous pouvons donc les exclure.

Nous allons maintenant remplacer 𝑛 par deux dans les expressions (A) et (B). Pour l’option (A), on a 52 plus 30 fois deux moins un, ce qui est égal à 82. Pour l’option (B), on obtient un résultat de 84. Puisque le deuxième terme de notre suite est 84, nous pouvons exclure l’option (A). Bien qu’il semble que l’option (B) soit la bonne réponse, nous allons tout de même vérifier que l’expression est également correcte pour 𝑛 égale trois et 𝑛 égale quatre. Lorsque 𝑛 est égal à trois, l’expression 52 plus 32 fois 𝑛 moins un donne 116. Et quand 𝑛 est égal à quatre, l’expression nous donne 148. Ces valeurs correspondent bien aux quatre termes de notre suite et la bonne réponse est donc l’option (B).

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Le terme général d’une suite est une expression du terme de rang n en fonction de son rang ou du terme qui le précède. Si le terme général est une expression en fonction de 𝑛, alors on remplace 𝑛 par le rang du terme. Et si le terme général est une expression en fonction de 𝑎 𝑛 moins un, on remplace 𝑎 𝑛 moins un par le terme précédent.

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