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Fiche explicative de la leçon : Terme général d'une suite Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser le terme général ou une formule de récurrence d'une suite pour déterminer les termes de la suite.

On commence par rappeler qu’une suite est une liste ordonnée de nombres, chacun d’eux étant appelé terme, par exemple,2,4,6,8,10, et 1,2,4,8,16,.

Lorsque l’on étudie des suites, on peut généralement trouver le terme suivant en repérant une formule ou un modèle général.

Dans les exemples ci-dessus, on peut le faire en ajoutant 2 et en multipliant par 2 respectivement.

Chaque terme d’une suite est déduit d’une formule particulière qui dépend de son rang dans la suite ou qui relie chaque terme au terme précédent.

Les notations 𝑇,𝑇,𝑇,,𝑇,𝑇 sont utilisées pour désigner les termes individuels dans une suite. L’expression 𝑇 est connue sous le nom de terme général, ou terme de rang 𝑛 de la suite.

Définition: Terme général d’une suite

Le terme général d’une suite, parfois appelé terme de rang 𝑛 et noté 𝑇, est une expression algébrique qui relie le terme à son rang dans la suite.

On considère le terme général 𝑇=3𝑛+4.

Comme il s’agit du terme de rang 𝑛 de la suite, pour trouver le 8e terme, on doit donc remplacer par 𝑛=8 dans la formule donnée:𝑇=3×8+4=28.

De même, pour trouver les trois premiers termes, on commence par trouver le premier terme en posant 𝑛=1 comme suit:𝑇=3×1+4=7.

Le deuxième terme est donné par 𝑛=2 comme suit:𝑇=3×2+4=10.

De la même manière, on trouve le troisième terme en substituant 𝑛=3 comme suit:𝑇=3×3+4=13.

Par conséquent, les trois premiers termes sont 7, 10 et 13.

Résumons cela comme suit.

Comment : Utiliser le terme général d’une suite

Si le terme général d’une suite contient une expression en fonction de 𝑛, on substitue le rang du terme à 𝑛 pour déterminer ce terme spécifique de la suite.

Dans les deux premiers exemples, nous allons montrer comment calculer les cinq premiers termes d’une suite à partir de son terme général.

Exemple 1: Déterminer les termes d’une suite à partir de son terme général

Déterminez les cinq premiers termes de la suite dont le terme de rang 𝑛 est donné par 𝑇=𝑛14, 𝑛1.

Réponse

Pour calculer les cinq premiers termes de la suite, on substitue 𝑛=1;2;3;4 et 5 dans la formule 𝑇=𝑛14 comme suit:𝑇=(1)14=13,𝑇=(2)14=10,𝑇=(3)14=5,𝑇=(4)14=2,𝑇=(5)14=11.

Par conséquent, les cinq premiers termes de la suite sont 13, 10, 5, 2 et 11.

Exemple 2: Déterminer les termes d’une suite à partir de son terme général

Déterminez les cinq premiers termes de la suite dont le terme de rang 𝑛 est donné par 𝑇=5𝑛+𝑛.

Réponse

Pour calculer les cinq premiers termes de la suite, on substitue 𝑛=1;2;3;4 et 5 dans la formule 𝑇=5𝑛+𝑛 comme suit:𝑇=5(1)+(1)=5+1=6,𝑇=5(2)+(2)=20+8=28,𝑇=5(3)+(3)=45+27=72,𝑇=5(4)+(4)=80+64=144,𝑇=5(5)+(5)=125+125=250.

Par conséquent, les cinq premiers termes de la suite sont 6, 28, 72, 144 et 250.

Dans le prochain exemple, nous devons calculer un terme spécifique d’une suite à partir de son terme général.

Exemple 3: Déterminer un terme spécifique d’une suite à partir de son terme général

Déterminez le septième terme de la suite 𝑇=𝑛14.

Réponse

Pour calculer le septième terme de la suite, on substitue 𝑛=7 dans la formule 𝑇=𝑛14 comme suit:𝑇=(7)14=34314=329.

Par conséquent, le septième terme de la suite est 329.

Avant d’étudier le prochain exemple, nous allons voir ce qu’est une formule de récurrence comme terme général. Cela se produit lorsque le terme général est une expression algébrique qui relie un terme en fonction du terme qui le précède.

Définition: Formule de récurrence

Une suite peut être définie en donnant son terme général en fonction d’autres termes de la suite. Cette relation entre les termes se répète tout au long de la suite et est donc appelée une relation de récurrence.

On considère le terme général 𝑇=2𝑇+5, 𝑛2 et 𝑇=4.

On peut voir que cette formule contient une expression en fonction de 𝑇. Il s’agit du terme précédant 𝑇, cette formule indique donc que pour trouver un terme de la suite, on doit multiplier le terme précédent par 2 puis lui ajouter 5.

On peut calculer 𝑇 et 𝑇 comme suit:𝑇=2𝑇+5𝑇=2×4+5=13,𝑇=2𝑇+5𝑇=2×13+5=31.

Par conséquent, les trois premiers termes sont 4, 13 et 31.

Résumons cela comme suit.

Comment : Utiliser la formule de récurrence d’une suite

Si le terme général d’une suite contient une expression en fonction de 𝑇, on substitue le terme précédent à 𝑇 pour trouver un terme.

Si le terme général contient une expression de 𝑇 en fonction de 𝑇, on substitue la valeur du terme précédent à 𝑇 pour déterminer la valeur de 𝑇.

Un autre exemple de relation de récurrence est la formule utilisée pour décrire la suite de Fibonacci:1,1,2,3,5,8,13,21,34,.

Chaque terme de la suite de Fibonacci dépend des termes qui le précèdent. La suite de Fibonacci ne peut pas être décrite facilement en utilisant une formule reliant les termes à leur rang. Au lieu de cela, on décrit la suite en utilisant une relation de récurrence.

La formule de récurrence de la suite de Fibonacci définit les deux premiers termes et chaque terme successif comme la somme des deux termes précédents:𝑇=1,𝑇=1,𝑇=𝑇+𝑇,𝑛>2.pour

Pour trouver le 10e terme de la suite par exemple, il faut ajouter les 8e et 9e termes comme suit:𝑇=𝑇+𝑇𝑇=34+21=55.

Maintenant que nous avons montré le fonctionnement d’une formule de récurrence, considérons un exemple plus compliqué impliquant des exposants variables.

Exemple 4: Déterminer les termes d’une suite à partir d’une formule de récurrence

Déterminez les cinq premiers termes de la suite 𝑇, sachant que 𝑇=(1)9𝑇, 𝑛1 et 𝑇=11.

Réponse

On commence par reconnaître que la formule 𝑇=(1)9𝑇 est un exemple de formule de récurrence où 𝑇 est le terme après 𝑇.

Afin de calculer les termes consécutifs de la suite, on doit substituer le terme précédent à 𝑇.

Comme 𝑇=11, 𝑇=(1)9𝑇=(1)9(11)=199=199.

On substitue maintenant cette valeur de 𝑇 dans la formule tel que 𝑇=(1)9𝑇=(1)9=1=11.

On substitue ensuite la valeur de 𝑇 dans la formule pour calculer 𝑇 comme suit:𝑇=(1)9𝑇=(1)9(11)=199.

Enfin, on substitue la valeur de 𝑇 dans la formule pour calculer 𝑇 comme suit:𝑇=(1)9𝑇=(1)9=1=11.

Par conséquent, les cinq premiers termes de la suite sont 11, 199, 11, 199 et 11.

Il est intéressant de noter que dans cet exemple, le premier terme 𝑇 est égal au cinquième terme 𝑇. Cela signifie qu’il s’agit d’une suite périodique où les quatre premiers termes sont répétés.

Cela peut être illustré comme suit:𝑇=𝑇=𝑇,𝑇=𝑇=𝑇,𝑇=𝑇=𝑇,𝑇=𝑇=𝑇.

Dans le dernier exemple, nous allons identifier quelle formule correspond à une suite.

Exemple 5: Identifier le terme général d’une suite

Laquelle des formules suivantes correspond au terme général de la suite 52, 84, 116, 148?

  1. 52+30(𝑛1)
  2. 52+32(𝑛1)
  3. 52+32(𝑛+1)
  4. 84+32(𝑛1)
  5. 84+30(𝑛+1)

Réponse

Puisque les quatre premiers termes de la suite sont 52, 84, 116 et 148, donc, une manière de déterminer la formule du terme général de la suite est de substituer 𝑛=1;2;3 et 4 dans chacune des réponses.

On considère la réponse (A) avec 𝑇=52+30(𝑛1).

Cela donne 𝑇=52+30(11)=52,𝑇=52+30(21)=82,𝑇=52+30(31)=112,𝑇=52+30(41)=142.

La formule 52+30(𝑛1) donne la suite 52, 82, 112, 142, ce n’est donc pas la bonne réponse.

On considère la réponse (B) avec 𝑇=52+32(𝑛1).

Cela donne 𝑇=52+32(11)=52,𝑇=52+32(21)=84,𝑇=52+32(31)=116,𝑇=52+32(41)=148.

La formule 52+32(𝑛1) donne la suite 52, 84, 116, 148, il s’agit donc de la bonne réponse.

Bien que l’on ait trouvé que la réponse (B) est correcte, il est utile de calculer les quatre premiers termes des trois autres formules pour confirmer qu’elles sont fausses.

On considère la réponse (C) avec 𝑇=52+32(𝑛+1).

Cela donne 𝑇=52+32(1+1)=116,𝑇=52+32(2+1)=148,𝑇=52+32(3+1)=180,𝑇=52+32(4+1)=212.

La formule 52+32(𝑛+1) donne la suite 116, 148, 180, 212;ce n’est donc pas la bonne réponse.

On considère la réponse (D) avec 𝑇=84+32(𝑛1).

Cela donne 𝑇=84+32(11)=84,𝑇=84+32(21)=116,𝑇=84+32(31)=148,𝑇=84+32(41)=180.

La formule 84+32(𝑛1) donne la suite 84, 116, 148, 180;ce n’est donc pas la bonne réponse.

On considère la réponse (E) avec 𝑇=84+30(𝑛+1).

Cela donne 𝑇=84+30(1+1)=144,𝑇=84+30(2+1)=174,𝑇=84+30(3+1)=204,𝑇=84+30(4+1)=234.

La formule 84+30(𝑛+1) donne la suite 144, 174, 204, 234;ce n’est donc pas la bonne réponse.

On peut donc confirmer que les réponses (A), (C), (D) et (E) sont incorrectes. La formule correcte est 52+32(𝑛1).

Nous allons terminer cette fiche explicative en récapitulant certains points clés.

Points clés

  • Le terme général d’une suite, parfois appelé terme de rang 𝑛 et noté 𝑇, est une expression algébrique qui relie le terme à son rang ou au terme qui le précède (ce que l’on appelle une formule de récurrence).
  • Si le terme général d’une suite contient une expression en fonction de 𝑛, on substitue le rang à 𝑛.
  • Si le terme général d’une suite contient une expression en fonction de 𝑇, on substitue le terme précédent à 𝑇.
  • Si le terme général contient une expression de 𝑇 en fonction de 𝑇, on substitue la valeur du terme précédent à 𝑇 pour déterminer la valeur de 𝑇.

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