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Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale la valeur absolue de moins 𝑥 moins un plus un.
Le domaine de définition représente les valeurs de 𝑥 couvertes par le graphique et l’ensemble image représente les valeurs de 𝑦 couvertes par le graphique. Nous allons donc examiner l’axe des 𝑥 pour trouver le domaine de définition et l’axe des 𝑦 pour l’ensemble image. Donc, regardons l’axe des 𝑥, commençons à zéro.
En zéro, nous allons jusqu’à deux. En un, nous allons jusqu’à trois. En deux, nous allons jusqu’à quatre. En trois, nous allons jusqu’à cinq. Et pour chaque entier, on voit sur le graphique que le nombre a une image. Et aussi, entre chaque entier, tous les nombres décimaux ont également une image. Remarquez que le graphique a des flèches aux extrémités, donc il se prolonge indéfiniment à gauche et à droite. Donc, le domaine de définition est l’ensemble des nombres réels. Ainsi, le domaine contient tous les nombres réels.
Passons à l’ensemble image ; commençons en zéro ; ce graphique n’a aucun point d’ordonnée 𝑦 égale zéro. En descendant dans les nombres négatifs, encore une fois, on ne rencontre aucun point du graphique. Donc, jusque là, l’ensemble image ne contient aucune des valeurs de 𝑦 que nous avons examinées. Remontons vers les valeurs positives.
Vers un demi, il n’y a toujours aucun point. Mais finalement, pour 𝑦 égale un, on rencontre enfin un point du graphique. En continuant dans le sens positif de l’axe 𝑦, on rencontre des points du graphique. Donc, à partir de un, et pour toutes les valeurs supérieures, on rencontre toujours des points du graphique. Donc, l’image va de un à l’infini avec une crochet fermé en un, parce qu’il fait partie de l’intervalle. Dans le cas inverse, on utiliserait un crochet ouvert. En conclusion, l’ensemble de définition est l’ensemble de tous les réels et l’ensemble l’image est l’intervalle de un à l’infini.
