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Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements dans une expérience aléatoire. Sachant que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à 0,68, que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à 0,12, et que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 fois la probabilité de 𝐵, quelles sont les valeurs possibles pour la probabilité de 𝐴 et la probabilité de 𝐵 ?
Comme on sait que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à 0,12, ces événements ne sont donc pas incompatibles. Ils peuvent se produire en même temps. Et on sait que pour des événements non incompatibles, la probabilité de 𝐴 union 𝐵, c’est-à-dire la probabilité que 𝐴 ou 𝐵 se produise, est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵.
Dans cette question, la probabilité de A union 𝐵 vaut 0,68. Les probabilités de 𝐴 et 𝐵 sont inconnues. Mais on sait que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 vaut 0,12. On peut simplifier cette expression en ajoutant 0,12 de chaque côté de l’équation. On obtient que la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 est égale à 0,80. Cela nous donne une équation. On sait également que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 fois la probabilité de 𝐵. Puisqu’on sait que cette probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à 0,12, on a maintenant une deuxième équation pour trouver les probabilités de 𝐴 et de 𝐵. À savoir, la probabilité de 𝐴 fois la probabilité de 𝐵 égale 0,12.
Comme on va résoudre un système d’équations, il est peut-être préférable de renommer les variables. Au lieu d’écrire de nombreuses fois la probabilité de 𝐴, on va noter 𝑎 cette variable, et noter 𝑏 minuscule la probabilité de 𝐵, ce qui implique que l’équation un devient 𝑎 plus 𝑏 égale 0,8 et l’équation deux devient 𝑎 fois 𝑏 égale 0,12. On peut isoler la variable 𝑎 dans l’équation un en retranchant 𝑏 de chaque côté de l’équation, ce qui donne 𝑎 égale 0,8 moins 𝑏. Puis remplacer 𝑎 par 0,8 moins 𝑏 dans la deuxième équation.
Pour la résoudre, il faut distribuer 𝑏 sur 0,8 moins 𝑏, ce qui donne 0,8𝑏 moins 𝑏 au carré égale 0,12. On se retrouve maintenant avec un terme carré dans l’équation, qui est donc une équation du second degré, ce qui veut dire qu’on trouvera deux valeurs différentes pour 𝑏. Pour résoudre une équation du second degré, on veut qu’un des membres soit nul. Pour ce faire, on retranche 0,8𝑏 de chaque côté de l’équation et on ajoute 𝑏 au carré de chaque côté de l’équation. On obtient alors zéro égale 𝑏 carré moins 0,8𝑏 plus 0,12. On pourrait alors utiliser la formule de résolution d’une équation du second degré.
Mais on va plutôt tenter une stratégie de factorisation. En écrivant moins 0,8 égale moins quatre sur cinq, sa fraction équivalente, et 0,12 égale trois sur vingt-cinq, sa faction équivalente, on peut écrire le 𝑏 au carré comme 𝑏 fois 𝑏, puis chercher les deux fractions dont le produit vaut trois sur vingt-cinq et la somme moins quatre sur cinq. Puisque trois est un nombre premier, on cherche des fractions qui ont un et trois au numérateur. On sait que cinq fois cinq égale vingt-cinq, un sur cinq fois trois sur cinq égale trois sur vingt-cinq et un sur cinq plus trois sur cinq égale quatre sur cinq. Il nous faut moins quatre sur cinq, donc on va prendre l’opposé de chaque valeur.
Les valeurs de 𝑏 sont les valeurs qui annulent ces deux termes. 𝑏 égale un sur cinq ou 𝑏 égale trois sur cinq. Comme les probabilités nous ont été données initialement sous forme décimale, on peut écrire 𝑏 comme étant égal à 0,2 ou à 0,6. Revenons maintenant à la première équation. Prenons 𝑏 égale 0,2 ; on a 𝑎 plus 𝑏 égale 0,8. En retranchant 0,2 de chaque côté de l’équation, on obtient 𝑎 égale 0,6 pour 𝑏 égale 0,2. Comme on ne dispose pas d’autres informations sur 𝑎 et 𝑏, il reste la deuxième possibilité, 𝑎 égale 0,2 et 𝑏 égale 0,6.
Revenons à présent aux notations initiales, la probabilité de 𝐴 et la probabilité de 𝐵. On obtient que la probabilité de 𝐴 est égale à 0,2 et la probabilité de 𝐵 est égale à 0,6, ou la probabilité de 𝐴 est égale à 0,6 et la probabilité de 𝐵 est égale à 0,2. Dans les deux cas, la somme des probabilités de 𝐴 et 𝐵 est égale à 0,8 et leur produit est égal à 0,12.
