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Vidéo de la leçon : Événements dépendants et indépendants Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer les probabilités d’événements dépendants et indépendants et à vérifier si deux événements sont indépendants.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer les probabilités d’événements dépendants et indépendants, et à vérifier si deux événements sont indépendants. On rappelle qu’en probabilités, un événement est un ensemble d’issues d’une expérience. Par exemple, dans le cas du lancer d’un dé, un événement peut être « obtenir un nombre impair ». Les issues qui composent cet événement sont les nombres un, trois et cinq. Dans le cas de la rotation d’une roue, un exemple d’événement est « la roue atterrit sur le numéro un ». Ces deux événements sont un exemple d’événements indépendants.

Dans cette vidéo, nous allons apprendre pourquoi c’est le cas et comment nous pouvons calculer la probabilité que ces deux événements se produisent en utilisant la formule indiquée à l’écran. Nous allons également introduire une formule différente que nous pouvons utiliser pour calculer la probabilité que deux événements se produisent s’ils sont dépendants. Voyons maintenant ce que signifie l’indépendance de deux événements. On suppose que l’on a deux événements 𝐴 et 𝐵. Ces événements sont indépendants si la réalisation de l’un n’affecte pas la probabilité de la réalisation de l’autre. En d’autres termes, cela signifie que si un événement se produit, cela ne rend pas l’autre événement plus ou moins susceptible de se produire.

De la même manière, si un événement ne se produit pas, cela n’affecte pas la probabilité de l’autre. Par exemple, on suppose qu’on lance un dé deux fois. Les lancers successifs du dé sont indépendants. Le nombre que l’on obtient au premier lancer n’affecte pas les probabilités du nombre que l’on obtient au second. Par exemple, les événements « le premier nombre est impair » et « le deuxième nombre est premier » sont indépendants l’un de l’autre. On a donc expliqué que deux événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si la réalisation de l’un n’affecte pas la probabilité de la réalisation de l’autre. On peut l’énoncer plus formellement comme la probabilité que 𝐵 se produise sachant que 𝐴 s’est produit est égale à la probabilité de 𝐵. Autrement dit, la probabilité conditionnelle de l’événement 𝐵 sachant 𝐴 est simplement égale à la probabilité de l’événement 𝐵.

Elle doit aussi être égale à la probabilité que l’événement 𝐵 se produise sachant que l’événement 𝐴 ne se produit pas; et la même chose doit être vraie dans l’autre sens. La probabilité que l’événement 𝐴 se produise sachant que l’événement 𝐵 s’est produit doit être égale à la probabilité que l’événement 𝐴 se produise. Si une de ces conditions n’est pas vérifiée, alors on dit que les événements 𝐴 et 𝐵 sont des événements dépendants. Nous allons maintenant analyser cinq scénarios différents et vérifier si les deux événements qu’ils décrivent sont dépendants ou indépendants.

Dans lequel des scénarios suivants les événements 𝐴 et 𝐵 sont-ils indépendants? (A) Un élève quitte sa maison pour aller à l’école. L’événement 𝐴 est « il arrive à l’arrêt de bus à temps pour prendre le bus » et l’événement 𝐵 est « il arrive à l’école à l’heure ». (B) Un dé est lancé. L’événement 𝐴 est « obtenir un nombre pair » et l’événement 𝐵 est « obtenir un nombre premier ». (C) Un dé et une pièce sont lancés. L’événement 𝐴 est « obtenir un six au dé » et l’événement 𝐵 est « la pièce atterrit face vers le haut ». (D) Un enfant prend deux bonbons au hasard dans un sac contenant des bonbons mous et des bonbons croquants. L’événement 𝐴 est « le premier bonbon est mou » et l’événement 𝐵 est « le second bonbon est croquant ». (E) Un enseignant choisit au hasard deux élèves dans un groupe de cinq garçons et cinq filles. L’événement 𝐴 est « l’enseignant sélectionne un garçon en premier » et l’événement 𝐵 est « l’enseignant sélectionne une fille en second ».

Rappelez-vous que deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un n’affecte pas la probabilité de la réalisation de l’autre. Ainsi, pour déterminer si ces couples d’événements sont indépendants, on doit vérifier si la réalisation de l’événement 𝐴 affecte la probabilité que l’événement 𝐵 se produise. On étudie chaque scénario à tour de rôle. Dans le premier scénario, l’événement 𝐴 est « l’élève arrive à l’arrêt de bus à temps pour prendre son bus » et l’événement 𝐵 est « il arrive à l’école à l’heure ». Il semble raisonnable de supposer que la probabilité que l’élève arrive à l’école à l’heure augmente considérablement s’il arrive à avoir son bus et inversement, que l’élève est plus susceptible d’arriver en retard à l’école s’il manque le bus. Par conséquent, la réalisation de l’événement 𝐴 affecte la probabilité de la réalisation de l’événement 𝐵, ce qui signifie que ces deux événements sont dépendants.

Dans le scénario (B), le dé n’est lancé qu’une seule fois, et les deux événements font référence à l’issue de ce seul lancer. L’événement 𝐴 est « obtenir un nombre pair » et l’événement 𝐵 est « obtenir un nombre premier ». En supposant qu’il s’agit d’un dé à six faces, alors l’événement 𝐴 est « obtenir une des issues deux, quatre ou six ». L’événement 𝐵, qui est « obtenir un nombre premier » signifie obtenir une des issues deux, trois ou cinq. En supposant que le dé est équilibré et que toutes ces issues sont équiprobables, la probabilité d’obtenir un nombre premier est de trois sur six, ce qui bien sûr se simplifie par un sur deux. On peut donc dire que la probabilité de 𝐵 est égale à un demi.

Si on suppose maintenant que l’événement 𝐴 s’est déjà produit, cela signifie que l’on sait que le nombre obtenu est pair. Il peut être deux, quatre ou six. Quelle est maintenant la probabilité conditionnelle que ce nombre soit premier, c’est-à-dire la probabilité de B sachant que l’événement 𝐴 s’est produit? Si on sait que le nombre est pair, deux, quatre ou six, alors il doit être égal à 2 pour être premier. En d’autres termes, la probabilité d’obtenir un nombre premier sachant que le nombre est pair est égale à la probabilité d’obtenir le nombre deux parmi l’ensemble des nombres deux, quatre et six. Il s’agit d’une issue sur trois issues équiprobables. La probabilité est donc égale à un tiers. On constate alors que la probabilité de l’événement 𝐵 n’est pas égale à la probabilité de l’événement 𝐵 sachant l’événement 𝐴. Et donc ces deux événements sont dépendants.

On étudie maintenant le troisième scénario. Ici, l’événement 𝐴 est « obtenir un six au dé » et l’événement 𝐵 est « la pièce atterrit face vers le haut ». On considère la situation de façon intuitive. On suppose que l’on a déjà obtenu un six au dé. La probabilité que la pièce atterrisse face vers le haut a-t-elle changé? Non, bien sûr que non. Le résultat du lancer du dé n’affecte pas ce qui se passe lorsqu’on lance la pièce. La probabilité que la pièce atterrisse face vers le haut est toujours de un demi, peu importe ce qui s’est passé lorsque l’on a lancé le dé. Cela signifie que les événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants.

On doit cependant vérifier les deux scénarios restants. Dans le scénario (D), un enfant prend des bonbons dans un sac. L’événement 𝐴 est « le premier bonbon est mou », et l’événement 𝐵 est « le second bonbon est croquant ». Pour déterminer si ces deux événements sont indépendants, on doit vérifier si la probabilité que l’événement 𝐵 se produise change si l’événement 𝐴 s’est déjà produit. On ne sait pas combien de bonbons il y a dans le sac, mais on sait qu’en sortant un bonbon, l’enfant modifie les proportions de bonbons mous et croquants dans le sac. Si l’événement 𝐴 se produit, le premier bonbon que l’enfant prend est mou, et il y a maintenant une plus grande proportion de bonbons croquants dans le sac qu’au début.

D’un autre côté, si le premier bonbon que l’enfant prend est croquant, il y a maintenant une plus petite proportion de bonbons croquants dans le sac. L’enfant est donc plus susceptible de prendre un second bonbon qui est croquant si le premier bonbon était mou. Par conséquent, la réalisation ou non de l’événement 𝐴 affecte la probabilité que l’événement 𝐵 se produise, ce qui signifie que ces deux événements sont dépendants. Le dernier scénario est similaire au précédent. L’événement 𝐴 est « l’enseignant sélectionne un garçon en premier » et l’événement 𝐵 est « l’enseignant sélectionne une fille en second ». On peut utiliser un argument similaire à celui des bonbons. Si l’événement 𝐴 se produit, l’enseignant sélectionne un garçon en premier, il reste alors neuf étudiants dont cinq filles. Cela signifie que la probabilité que l’événement 𝐵 se produise sachant que l’événement 𝐴 s’est produit est de cinq sur neuf.

Si par contre, l’événement 𝐴 ne se produit pas, cela signifie que l’enseignant a sélectionné une fille en premier. Il reste donc neuf étudiants, mais seulement quatre d’entre eux sont des filles. La probabilité que l’enseignant choisisse une fille en second est maintenant de quatre sur 9. Par conséquent, la probabilité de l’événement 𝐵 sachant que l’événement 𝐴 s’est produit est différente de la probabilité de l’événement 𝐵 sachant que 𝐴 ne s’est pas produit. Cela signifie que la réalisation ou non de l’événement 𝐴 affecte la probabilité que l’événement 𝐵 se produise. Par conséquent, les événements décrits dans le scénario (E) sont également des événements dépendants. Un seul des cinq scénarios décrit donc des événements indépendants, il s’agit du scénario (C).

Nous venons d’analyser plusieurs scénarios pour nous aider à comprendre la différence entre des événements indépendants et dépendants. Nous allons maintenant voir comment calculer la probabilité que deux événements se produisent simultanément, et nous devons faire attention à faire la distinction entre les événements indépendants et dépendants. Si on illustre les événements 𝐴 et 𝐵 sur un diagramme de Venn, alors la probabilité que 𝐴 et 𝐵 se produisent correspond à la zone de chevauchement, ou à l’intersection, entre les deux cercles représentant les événements 𝐴 et 𝐵. On rappelle la formule de probabilité conditionnelle, qui stipule que la probabilité conditionnelle que l’événement 𝐵 se produise sachant que l’événement A s’est produit est égale à la probabilité que les événements 𝐴 et 𝐵 se produisent tous les deux divisée par la probabilité de l’événement 𝐴. C’est-à-dire la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 sur la probabilité de 𝐴.

Cette formule est vraie pour tous les événements 𝐴 et 𝐵 à condition que la probabilité de 𝐴 soit non nulle, que les événements soient dépendants ou indépendants. On peut réarranger cette formule en multipliant les deux membres de l’équation par la probabilité de 𝐴 pour obtenir probabilité de 𝐴 fois probabilité de 𝐵 sachant 𝐴 égale probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Puis on peut simplement échanger les deux membres. On obtient la formule de la probabilité d’une intersection. Et elle est valable pour deux événements 𝐴 et 𝐵, qu’ils soient dépendants ou indépendants. On sait cependant que pour des événements indépendants, la réalisation ou non de 𝐴 n’a aucun impact sur la probabilité que l’événement 𝐵 se produise. Ainsi, la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴 est égale à la probabilité de 𝐵.

Cela conduit à la formule de la probabilité d’une intersection pour des événements indépendants. Si deux événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants, alors la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 multipliée par la probabilité de 𝐵. Cette propriété fonctionne dans les deux sens. On peut l’utiliser pour calculer la probabilité que deux événements indépendants se produisent simultanément si on connaît leurs probabilités individuelles. Ou si on connaît ces trois probabilités, on peut les tester dans cette formule pour vérifier si deux événements sont indépendants ou non. Si les probabilités vérifient cette formule, alors les événements sont indépendants. Si ce n’est pas le cas, alors ils sont dépendants. Étudions maintenant un exemple dans lequel nous devons utiliser les probabilités présentées dans un diagramme de Venn pour déterminer si deux événements sont indépendants ou non.

Dans un univers Ω, voici les probabilités des combinaisons des réalisations des événements 𝐴 et 𝐵. Les événements 𝐴 et 𝐵 sont-ils indépendants?

On commence par rappeler la formule de la probabilité d’une intersection pour des événements indépendants. Si deux événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants, alors la probabilité de l’intersection de 𝐴 et 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 multipliée par la probabilité de 𝐵. On peut déterminer chacune de ces probabilités à partir du diagramme de Venn puis tester si ces probabilités vérifient cette formule. On commence par la probabilité de l’intersection de 𝐴 et 𝐵, qui est la probabilité notée dans l’intersection des deux cercles. Elle est égale à 5 sur 19. La probabilité que l’événement 𝐴 se produise est la somme des probabilités dans le cercle qui représente 𝐴. Elles sont de 4 sur 19 et 5 sur 19, donc la probabilité totale que l’événement 𝐴 se produise est égale à neuf sur 19.

Pour l’événement 𝐵, la probabilité totale est de 5 sur 19 plus 5 sur 19, ce qui fait 10 sur 19. On calcule maintenant le produit des probabilités individuelles. Probabilité de 𝐴 fois probabilité de 𝐵 égale neuf sur 19 fois 10 sur 19. Cela donne 90 sur 361, qui ne peut pas se simplifier davantage. Comme ce résultat ne se simplifie pas, il est clair qu’il n’est pas égal à cinq sur 19. Mais si on souhaitait être totalement explicite à ce sujet, on pourrait écrire la probabilité de cinq sur 19 comme une fraction équivalente de 95 sur 361. On a donc déterminé que la probabilité de l’intersection de 𝐴 et 𝐵 n’est pas égale à la probabilité de 𝐴 multipliée par la probabilité de 𝐵. Ainsi, d’après la réciproque de la formule de la probabilité d’une intersection pour des événements indépendants, cela signifie que 𝐴 et 𝐵 ne sont pas des événements indépendants. La réponse à la question est donc non.

Nous allons maintenant étudier un dernier exemple dans lequel nous devons calculer la probabilité de l’intersection de deux événements. Nous devrons faire attention à vérifier si les deux événements sont dépendants ou indépendants.

Un sac contient 18 balles blanches et neuf balles noires. Si deux balles sont sélectionnées consécutivement sans remise, quelle est la probabilité que la seconde balle soit noire et la première blanche?

On utilise 𝐴 pour représenter l’événement « la première balle est blanche » et 𝐵 pour représenter l’événement « la seconde balle est noire ». On doit déterminer la probabilité que ces deux événements se produisent. On recherche donc la probabilité de l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵. Maintenant, en lisant attentivement la question, on remarque que la seconde balle est sélectionnée sans que la première balle n’ait été remplacée. Cela signifie que les conditions dans lesquelles on choisit la seconde balle sont différentes des conditions dans lesquelles on choisit la première balle. Et donc les deux événements sont dépendants.

On rappelle la formule de la probabilité d’une intersection. La probabilité de l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 multipliée par la probabilité de 𝐵 sachant que s’est produit. On considère les probabilités dont on a besoin. Tout d’abord, la probabilité de l’événement 𝐴 est la probabilité que la première balle soit blanche. Initialement, il y a 18 balles blanches dans le sac et neuf balles noires. Comme la probabilité de choisir chaque balle est la même, la probabilité que première balle que l’on choisit soit blanche est de 18 sur 18 plus neuf. Il s’agit du nombre de balles blanches sur le nombre total de balles dans le sac. Cela donne 18 sur 27, ce qui se simplifie par deux tiers.

On se penche maintenant sur la probabilité du deuxième événement. On a déjà établi que ces événements sont dépendants, on a donc besoin de la probabilité conditionnelle de l’événement 𝐵 sachant que l’événement s’est produit, c’est-à-dire la probabilité que la seconde balle soit noire sachant que la première balle est blanche. Quelle que soit la couleur de la première balle, une balle a été sortie du sac. Cela signifie que le nombre total de balles restantes dans le sac a été réduit de un. Il est donc maintenant de 26. Si l’événement 𝐴 s’est produit, alors la première balle que l’on a prise est blanche et le nombre de balles noires dans le sac n’a pas changé. Donc, il y a encore neuf balles noires.

La probabilité que la seconde balle soit noire sachant que la première est blanche est égale à neuf sur 26. On peut maintenant substituer ces deux probabilités dans la formule de la probabilité d’une intersection, ce qui donne: probabilité de l’intersection de 𝐴 et 𝐵 égale deux tiers fois neuf sur 26. On peut annuler un facteur de trois pour le trois et le neuf, et un facteur de deux pour le deux et le 26. Il reste un fois trois sur un fois 13, soit trois sur 13. En utilisant la formule de la probabilité d’une intersection, on a montré que la probabilité que la seconde balle soit noire et la première balle soit blanche est de trois sur 13.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Tout d’abord, deux événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si la réalisation de l’un n’affecte pas la probabilité de la réalisation de l’autre. En utilisant la notation de probabilité, nous pouvons l’exprimer par les événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si la probabilité conditionnelle de l’événement 𝐵 sachant que l’événement s’est produit est égale à la probabilité de 𝐵. Et inversement: la probabilité conditionnelle de l’événement 𝐴 sachant que l’événement s’est produit doit être égale à la probabilité de 𝐴.

La formule de la probabilité d’une intersection stipule que pour deux événements 𝐴 et 𝐵, qu’ils soient dépendants ou indépendants, la probabilité de l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵, donc la probabilité que 𝐴 et 𝐵 se produisent, est égale à la probabilité de 𝐴 multipliée par la probabilité conditionnelle de 𝐵 sachant que l’événement 𝐴 s’est produit. Et enfin, la formule de la probabilité d’une intersection pour des événements indépendants. Les événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si et seulement si la probabilité de l’intersection de 𝐴 et 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 multipliée par la probabilité de 𝐵. Et rappelez-vous, cette propriété fonctionne dans les deux sens. Nous pouvons l’utiliser pour calculer la probabilité de l’intersection de deux événements indépendants, ou, si nous connaissons ces trois probabilités, nous pouvons les utiliser pour vérifier si deux événements sont indépendants.

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