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Fiche explicative de la leçon : Évènements dépendants et indépendants Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer les probabilités des évènements dépendants et indépendants, et comment vérifier si deux évènements sont indépendants.

Nous commençons par rappeler la définition suivante.

Définition : Évènements indépendants et dépendants

Les évènements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si la réalisation de 𝐴 n’affecte pas la probabilité que 𝐵 soit réalisé. C’est-à-dire 𝑃(𝐵𝐴)=𝑃(𝐵),𝑃(𝐵𝐴) représente la probabilité que l’évènement 𝐵 se réalise sachant que l’évènement 𝐴 se réalise.

Si la condition ci-dessus échoue, alors on dit que 𝐴 et 𝐵 sont des évènements dépendants. Par exemple, si on lance un dé deux fois, obtenir un nombre pair au premier lancer et obtenir un 4 au deuxième lancer sont des évènements indépendants, car le fait que l’on ait obtenu un nombre pair au premier lancer n’augmente ni ne diminue la probabilité d’obtenir un 4 au deuxième lancer. Par contre, obtenir un nombre pair et un 4 dans le même lancer sont des évènements dépendants, car obtenir un nombre pair double les chances d’obtenir un 4.

Considérons quelques situations dans le premier exemple et vérifions s’ils représentent des évènements dépendants ou indépendants en utilisant la définition.

Exemple 1: Identifier des situations représentant des évènements indépendants

Dans lesquelles des situations suivantes 𝐴 et 𝐵 sont-ils des évènements indépendants?

  1. Un élève quitte sa maison en allant à l’école. L’évènement 𝐴 est que l’élève arrive à l’arrêt de bus à temps pour prendre le bus et l’évènement 𝐵 est que l’élève arrive à l’école à l’heure.
  2. Un dé est lancé. L’évènement 𝐴 est obtenir un nombre pair et l’évènement 𝐵 est obtenir un nombre premier.
  3. Un dé est lancé et une pièce de monnaie est lancée. L’évènement 𝐴 est obtenir un 6 pour le dé et l’évènement 𝐵 est obtenir Face pour la pièce.
  4. Un enfant prend deux bonbons au hasard d’un sac qui contient des bonbons à mâcher et des bonbons croquants. L’évènement 𝐴 est prendre en premier un bonbon à mâcher et l’évènement 𝐵 est prendre en second un bonbon croquant.
  5. Un enseignant choisit deux élèves au hasard dans un groupe composé de cinq garçons et cinq filles. L’évènement 𝐴 est l’enseignant choisit en premier un garçon, et l’évènement 𝐵 est l’enseignant choisit en second une fille.

Réponse

Nous rappelons que les évènements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si la réalisation de 𝐴 n’affecte pas la probabilité que 𝐵 soit réalisé. Pour déterminer si 𝐴 et 𝐵 sont indépendants ou dépendants, nous devrions examiner si la probabilité de 𝐵 change lorsque l’on suppose que 𝐴 s’est déjà réalisé. Considérons chaque situation en utilisant la définition.

  1. L’évènement 𝐴 est l’élève arrive à l’arrêt de bus à temps pour prendre le bus, et l’évènement 𝐵 est l’élève arrive à l’école à l’heure. On peut supposer que la probabilité de se rendre à l’école à l’heure augmente considérablement si l’élève prend le bus, car il est plus susceptible d’être en retard à l’école s’il rate le bus. Ainsi, la réalisation de l’évènement 𝐴 affecte la probabilité de la réalisation de l’évènement 𝐵, ce qui signifie que les deux évènements sont dépendants.
  2. L’évènement 𝐴 est obtenir un nombre pair {2;4;6}, tandis que 𝐵 est obtenir un nombre premier {2;3;5}. La probabilité d’obtenir un nombre premier est 𝑃(𝐵)=12 car il y a 3 nombres premiers à partir de 6 issues équiprobables. D’un autre côté, si nous supposons que nous avons déjà obtenu un nombre pair, alors le résultat doit être un 2 pour qu’il soit un nombre premier. En d’autres termes, l’évènement 𝐵 sachant 𝐴 revient à obtenir 2 parmi {2;4;6}. Donc, 𝑃(𝐵𝐴)=13. Puisque 𝑃(𝐵𝐴)𝑃(𝐵), les deux évènements sont dépendants.
  3. L’évènement 𝐴 est obtenir un 6 sur un dé, et l’évènement 𝐵 est obtenir Face sur la pièce de monnaie. Disons que nous avons déjà obtenu un 6 sur un dé. Est-ce que la probabilité d’obtenir Face sur la pièce change?Non, la probabilité d’un tel évènement est toujours égale à 12 peu importe ce que nous obtenons pour le lancer de dé. Ainsi, 𝐴 et 𝐵 sont indépendants.
  4. L’évènement 𝐴 est l’enfant prend en premier un bonbon à mâcher, et l’évènement 𝐵 est l’enfant prend un bonbon croquant en second. Pour déterminer si les deux évènements sont indépendants, nous devons savoir si la probabilité de la réalisation de l’évènement 𝐵 est différente de la probabilité que l’évènement 𝐴 soit réalisé. Disons que le sac contienne seulement un bonbon à mâcher et un bonbon croquant. Si l’enfant prend le bonbon à mâcher lors de sa première sélection, alors nous disons que l’évènement 𝐴 s’est produit. Puisqu’il gardera ce bonbon hors du sac et fera sa sélection à partir de ce qui reste dans le sac, il est certain qu’il choisira le bonbon croquant lors de sa deuxième sélection, et donc 𝑃(𝐵𝐴)=1. Si l’enfant prend d’abord le bonbon croquant, alors nous disons l’évènement 𝐴 ne s’est pas produit, et dans ce cas, il est impossible pour lui de prendre le bonbon croquant à la seconde prise car il ne reste qu’un bonbon à mâcher dans le sac, et donc 𝑃(𝐵𝐴)=0. Puisque la probabilité que 𝐵 se produise est différente lorsque 𝐴 s’est produit et lorsque 𝐴 ne s’est pas produit, alors l’évènement 𝐵 dépend de l’évènement 𝐴. 𝐴 et 𝐵 ne sont pas des évènements indépendants.
  5. Cette situation est similaire à la situation D, et la probabilité de choisir une fille en second dépend de la sélection d’un garçon ou d’une fille en premier, car la composition du groupe restant pour la seconde sélection sera différente selon qu’un garçon ou une fille a été sélectionné en premier lieu. Si l’évènement 𝐴 se produit, alors il y aura 4 garçons et 5 filles restants pour la seconde sélection, et 𝑃(𝐵𝐴)=59. Cependant, si l’évènement 𝐴 ne s’est pas produit, alors il y aura 5 garçons et 4 filles restants pour la seconde sélection, et 𝑃(𝐵𝐴)=49. Les deux évènements sont dépendants.

Par conséquent, la réponse correcte est C.

Dans l’exemple suivant, nous utiliserons un arbre pondéré pour déterminer si les évènements sont indépendants ou non.

Exemple 2: Utilisation des arbres pondérés pour déterminer si des évènements sont indépendants

Un sac contient 5 bonbons rouges et 4 bonbons bleus. J’en prends un au hasard, note sa couleur et le mange. Je fais ensuite la même chose pour un autre bonbon. La figure ci-dessous montre l’arbre pondéré associé à ce problème. Est-ce que les évènements « avoir un bonbon bleu en premier » et « avoir un bonbon rouge en second » sont indépendants?

Réponse

Nous rappelons que les évènements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si la réalisation de 𝐴 n’affecte pas la probabilité que 𝐵 soit réalisé. Pour déterminer si 𝐴 et 𝐵 sont indépendants ou non, nous devrions examiner si la probabilité de 𝐵 change en fonction de la réalisation de 𝐴.

Si nous prenons un bonbon bleu en premier, la probabilité d’obtenir le bonbon rouge en second est donnée par les branches inférieures de l’arbre pondéré.

Ainsi nous avons, 𝑃()=58.obtenirunbonbonrougeensecondobtenirunbonbonbleuenpremier

D’un autre côté, la probabilité d’obtenir le bonbon rouge en second, quelle que soit la première sélection, est la même que la probabilité d’obtenir le bonbon rouge en premier. En effet, l’ordre de la sélection n’affecte pas sa probabilité, sauf si nous imposons une condition au choix précédent. La probabilité d’obtenir le bonbon rouge en premier est indiquée ci-dessous.

Elle est égale à la probabilité d’obtenir un bonbon rouge en second, donc nous avons 𝑃()=59.obtenirunbonbonrougeensecond

Cela nous donne 𝑃()𝑃().obtenirunbonbonrougeensecondobtenirunbonbonbleuenpremierobtenirunbonbonrougeensecond

Comme la probabilité d’obtenir un bonbon rouge en second change lorsque nous supposons que nous obtenons d’abord un bonbon bleu, les deux évènements ne sont pas indépendants.

On rappelle que la probabilité conditionnelle est calculée par la formule

𝑃(𝐵𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴).(1)

On sait aussi que 𝑃(𝐵𝐴)=𝑃(𝐵) pour les évènements indépendants. En substituant ceci à l’équation ci-dessus et en réarrangeant, on obtient 𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴𝐵).

Ceci conduit au théorème suivant.

Théorème : Formule de multiplication pour les évènements indépendants

Les évènements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si et seulement si 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵),𝐴𝐵 est l’évènement où les évènements 𝐴 et 𝐵 se produisent simultanément.

Dans l’exemple suivant, nous utiliserons ce théorème pour montrer que deux évènements incompatibles de probabilités non nulles ne peuvent pas être indépendants.

Exemple 3: Évènements incompatibles et indépendants

Si 𝑃(𝐴)=0,3 et 𝑃(𝐵)=0,25 et 𝐴𝐵=, 𝐴 et 𝐵 sont-ils indépendants?

Réponse

Nous rappelons que si 𝐴 et 𝐵 sont des évènements indépendants, alors 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵).

Etant donné que 𝐴𝐵=, ce qui signifie qu’ils sont incompatibles. En d’autres termes, les deux évènements ne peuvent pas se produire en même temps. On rappelle que la probabilité d’un ensemble vide est égale à zéro, donc 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃()=0.

En revanche, on peut calculer 𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵)=0,3×0,25=0,075.

Puisque 𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵), 𝐴 et 𝐵 sont dépendants.

L’exemple ci-dessus montre un fait plus général:deux évènements incompatibles avec des probabilités non nulles ne peuvent être indépendants. Ceci a du sens heuristiquement parce que si 𝐴 et 𝐵 sont des évènements incompatibles, alors 𝐴 et 𝐵 ne peuvent pas se produire simultanément. Donc, si l’on suppose que l’évènement 𝐴 s’est déjà produit, alors cela élimine la possibilité que 𝐵 puisse se produire. En d’autres termes, la réalisation de 𝐴 affecte la réalisation de 𝐵, ce qui les rend dépendants.

Dans l’exemple suivant, nous utiliserons les probabilités données dans un diagramme de Venn pour déterminer si deux évènements sont indépendants ou non.

Exemple 4: Utiliser les probabilités dans un diagramme de Venn pour décider si les évènements sont indépendants

Dans un univers 𝑆, les probabilités que les combinaisons d’évènements 𝐴 et 𝐵 se produisent sont indiquées. Les évènements 𝐴 et 𝐵 sont-ils indépendants?

Réponse

Nous rappelons que les évènements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵).

La probabilité de l’intersection, 𝐴𝐵, est indiquée ci-dessous.

Ceci nous donne 𝑃(𝐴𝐵)=519.

La probabilité de 𝐴 est donnée par la somme des deux probabilités indiquées ci-dessous.

Ceci nous donne 𝑃(𝐴)=419+519=919.

Enfin, nous pouvons calculer la probabilité de 𝐵 en déterminant la somme des deux probabilités indiquées ci-dessous.

Ceci nous donne 𝑃(𝐵)=519+519=1019.

En utilisant ces valeurs, nous pouvons vérifier la condition 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵):𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵)=919×1019=90361, qui n’est pas égale à 𝑃(𝐴𝐵)=519.

Par conséquent, la réponse est non;𝐴 et 𝐵 ne sont pas indépendants.

Dans notre prochain exemple, nous appliquons la formule de multiplication pour les évènements indépendants pour calculer la probabilité de l’intersection.

Exemple 5: Déterminer la probabilité de l’intersection des évènements indépendants

Un pot de billes contient 4 billes bleues, 5 billes rouges, 1 bille verte et 2 billes noires. Une bille est choisie au hasard du pot. Après l’avoir remise dans le pot, une deuxième bille est choisie. Déterminez la probabilité que la première soit bleue et que la deuxième soit rouge.

Réponse

Nous devons déterminer la probabilité que la première bille soit bleue et que la deuxième soit rouge. Soit 𝐴 l’évènement que la première bille soit bleue, et 𝐵 l’évènement que la deuxième soit rouge. En utilisant la notation de probabilité, nous devons identifier 𝑃(𝐴𝐵).

Nous notons que la première bille est remise avant que la deuxième bille soit choisie. Ceci implique que la condition pour choisir la deuxième bille est identique à celle pour choisir la première bille. La réalisation du premier choix n’affecte pas la probabilité du second choix, donc les évènements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants. Traçons un arbre pondéré décrivant cet exemple.

On note que le deuxième ensemble de branches a les mêmes probabilités que le premier ensemble de branches respectivement. Ceci est dû au fait que la première bille sélectionnée est remise dans le pot avant que la deuxième ne soit choisie, ce qui rétablit la loi de probabilité de la situation d’origine.

Nous rappelons que, si 𝐴 et 𝐵 sont des évènements indépendants, la formule de multiplication stipule que 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵).

Trouvons 𝑃(𝐴) et 𝑃(𝐵) à partir de l’arbre pondéré.

On obtient donc 𝑃(𝐴)=412=13 et 𝑃(𝐵)=512. On peut appliquer la formule de multiplication pour obtenir 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵)=13×512=536.

Ainsi, la probabilité que la première bille soit bleue et que la deuxième bille soit rouge est 536.

Si 𝐴 et 𝐵 sont des évènements dépendants, alors une version légèrement différente de la formule de multiplication s’applique. On peut obtenir cette version en réarrangeant l’équation (1).

Théorème : Formule générale de multiplication

Si 𝐴 et 𝐵 sont des évènements dépendants, alors 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵𝐴)×𝑃(𝐴).

Dans notre dernier exemple, nous appliquerons la formule générale de multiplication pour calculer la probabilité d’une intersection.

Exemple 6: Déterminer la probabilité d’intersection de deux évènements dépendants

Un sac contient 18 boules blanches et 9 boules noires. Si 2 boules sont tirées consécutivement sans remise, quelle est la probabilité que la seconde boule soit noire et que la première soit blanche?

Réponse

Nous devons déterminer la probabilité que la première boule soit blanche et que la seconde boule soit noire. Soit 𝐴 l’évènement que la première boule soit blanche, et 𝐵 l’évènement que la seconde soit noire. En utilisant la notation de probabilité, nous devons identifier 𝑃(𝐴𝐵).

On note que la seconde boule est choisie sans remise de la première. Pour cette raison, la condition pour choisir la seconde boule est différente de celle pour choisir la première. En d’autres termes, la réalisation du premier évènement affecte la probabilité du second évènement. Ainsi, les évènements 𝐴 et 𝐵 sont dépendants.

Nous rappelons que si 𝐴 et 𝐵 sont des évènements dépendants, la formule générale de multiplication stipule que 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵𝐴)×𝑃(𝐴).

Trouvons 𝑃(𝐴) et 𝑃(𝐵𝐴).

Au début, il y a 18 boules blanches parmi 27 boules dans le pot, donc la probabilité de sélectionner la boule blanche en premier est de 𝑃(𝐴)=1827=23.

Ensuite, nous considérons 𝑃(𝐵𝐴). Si on suppose que 𝐴 s’est produit, nous supposons qu’une boule blanche a été sortie du sac avant que la seconde boule ne soit sélectionnée. Cela laisse 17 boules blanches et 9 boules noires dans le sac pour le second choix. Alors, 𝑃(𝐵𝐴)=926.

On peut tracer l’arbre pondéré avec ces deux valeurs.

En appliquant la formule générale de multiplication, la probabilité de l’intersection est 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵𝐴)×𝑃(𝐴)=926×23=313.

Nous notons que, lorsque nous utilisons des arbres pondérés, la probabilité d’une intersection peut être déterminée en multipliant le long des branches des évènements pertinents, que les évènements soient indépendants ou non.

Ainsi, la probabilité que la première boule soit blanche et que la seconde boule soit noire est 313.

Résumons quelques points importants de la fiche explicative.

Points clés

  • Les évènements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si la réalisation de 𝐴 n’affecte pas la probabilité que 𝐵 soit réalisé.
  • En notation de probabilité, les évènements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si 𝑃(𝐵𝐴)=𝑃(𝐵).
  • Les évènements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si et seulement si 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)×𝑃(𝐵).
  • Si 𝐴 et 𝐵 sont des évènements dépendants, alors 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵𝐴)×𝑃(𝐴).
  • Deux évènements incompatibles de probabilités non nulles ne peuvent pas être indépendants.

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