Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer les probabilités des évènements dépendants et indépendants, et comment vérifier si deux évènements sont indépendants.
Nous commençons par rappeler la définition suivante.
Définition : Évènements indépendants et dépendants
Les évènements et sont indépendants si la réalisation de n’affecte pas la probabilité que soit réalisé. C’est-à-dire où représente la probabilité que l’évènement se réalise sachant que l’évènement se réalise.
Si la condition ci-dessus échoue, alors on dit que et sont des évènements dépendants. Par exemple, si on lance un dé deux fois, obtenir un nombre pair au premier lancer et obtenir un 4 au deuxième lancer sont des évènements indépendants, car le fait que l’on ait obtenu un nombre pair au premier lancer n’augmente ni ne diminue la probabilité d’obtenir un 4 au deuxième lancer. Par contre, obtenir un nombre pair et un 4 dans le même lancer sont des évènements dépendants, car obtenir un nombre pair double les chances d’obtenir un 4.
Considérons quelques situations dans le premier exemple et vérifions s’ils représentent des évènements dépendants ou indépendants en utilisant la définition.
Exemple 1: Identifier des situations représentant des évènements indépendants
Dans lesquelles des situations suivantes et sont-ils des évènements indépendants ?
- Un élève quitte sa maison en allant à l’école. L’évènement est que l’élève arrive à l’arrêt de bus à temps pour prendre le bus et l’évènement est que l’élève arrive à l’école à l’heure.
- Un dé est lancé. L’évènement est obtenir un nombre pair et l’évènement est obtenir un nombre premier.
- Un dé est lancé et une pièce de monnaie est lancée. L’évènement est obtenir un 6 pour le dé et l’évènement est obtenir Face pour la pièce.
- Un enfant prend deux bonbons au hasard d’un sac qui contient des bonbons à mâcher et des bonbons croquants. L’évènement est prendre en premier un bonbon à mâcher et l’évènement est prendre en second un bonbon croquant.
- Un enseignant choisit deux élèves au hasard dans un groupe composé de cinq garçons et cinq filles. L’évènement est l’enseignant choisit en premier un garçon, et l’évènement est l’enseignant choisit en second une fille.
Réponse
Nous rappelons que les évènements et sont indépendants si la réalisation de n’affecte pas la probabilité que soit réalisé. Pour déterminer si et sont indépendants ou dépendants, nous devrions examiner si la probabilité de change lorsque l’on suppose que s’est déjà réalisé. Considérons chaque situation en utilisant la définition.
- L’évènement est l’élève arrive à l’arrêt de bus à temps pour prendre le bus, et l’évènement est l’élève arrive à l’école à l’heure. On peut supposer que la probabilité de se rendre à l’école à l’heure augmente considérablement si l’élève prend le bus, car il est plus susceptible d’être en retard à l’école s’il rate le bus. Ainsi, la réalisation de l’évènement affecte la probabilité de la réalisation de l’évènement , ce qui signifie que les deux évènements sont dépendants.
- L’évènement est obtenir un nombre pair , tandis que est obtenir un nombre premier . La probabilité d’obtenir un nombre premier est car il y a 3 nombres premiers à partir de 6 issues équiprobables. D’un autre côté, si nous supposons que nous avons déjà obtenu un nombre pair, alors le résultat doit être un 2 pour qu’il soit un nombre premier. En d’autres termes, l’évènement sachant revient à obtenir 2 parmi . Donc, . Puisque , les deux évènements sont dépendants.
- L’évènement est obtenir un 6 sur un dé, et l’évènement est obtenir Face sur la pièce de monnaie. Disons que nous avons déjà obtenu un 6 sur un dé. Est-ce que la probabilité d’obtenir Face sur la pièce change ? Non, la probabilité d’un tel évènement est toujours égale à peu importe ce que nous obtenons pour le lancer de dé. Ainsi, et sont indépendants.
- L’évènement est l’enfant prend en premier un bonbon à mâcher, et l’évènement est l’enfant prend un bonbon croquant en second. Pour déterminer si les deux évènements sont indépendants, nous devons savoir si la probabilité de la réalisation de l’évènement est différente de la probabilité que l’évènement soit réalisé. Disons que le sac contienne seulement un bonbon à mâcher et un bonbon croquant. Si l’enfant prend le bonbon à mâcher lors de sa première sélection, alors nous disons que l’évènement s’est produit. Puisqu’il gardera ce bonbon hors du sac et fera sa sélection à partir de ce qui reste dans le sac, il est certain qu’il choisira le bonbon croquant lors de sa deuxième sélection, et donc . Si l’enfant prend d’abord le bonbon croquant, alors nous disons l’évènement ne s’est pas produit, et dans ce cas, il est impossible pour lui de prendre le bonbon croquant à la seconde prise car il ne reste qu’un bonbon à mâcher dans le sac, et donc . Puisque la probabilité que se produise est différente lorsque s’est produit et lorsque ne s’est pas produit, alors l’évènement dépend de l’évènement . et ne sont pas des évènements indépendants.
- Cette situation est similaire à la situation D, et la probabilité de choisir une fille en second dépend de la sélection d’un garçon ou d’une fille en premier, car la composition du groupe restant pour la seconde sélection sera différente selon qu’un garçon ou une fille a été sélectionné en premier lieu. Si l’évènement se produit, alors il y aura 4 garçons et 5 filles restants pour la seconde sélection, et . Cependant, si l’évènement ne s’est pas produit, alors il y aura 5 garçons et 4 filles restants pour la seconde sélection, et . Les deux évènements sont dépendants.
Par conséquent, la réponse correcte est C.
Dans l’exemple suivant, nous utiliserons un arbre pondéré pour déterminer si les évènements sont indépendants ou non.
Exemple 2: Utilisation des arbres pondérés pour déterminer si des évènements sont indépendants
Un sac contient 5 bonbons rouges et 4 bonbons bleus. J’en prends un au hasard, note sa couleur et le mange. Je fais ensuite la même chose pour un autre bonbon. La figure ci-dessous montre l’arbre pondéré associé à ce problème. Est-ce que les évènements « avoir un bonbon bleu en premier » et « avoir un bonbon rouge en second » sont indépendants ?
Réponse
Nous rappelons que les évènements et sont indépendants si la réalisation de n’affecte pas la probabilité que soit réalisé. Pour déterminer si et sont indépendants ou non, nous devrions examiner si la probabilité de change en fonction de la réalisation de .
Si nous prenons un bonbon bleu en premier, la probabilité d’obtenir le bonbon rouge en second est donnée par les branches inférieures de l’arbre pondéré.
Ainsi nous avons,
D’un autre côté, la probabilité d’obtenir le bonbon rouge en second, quelle que soit la première sélection, est la même que la probabilité d’obtenir le bonbon rouge en premier. En effet, l’ordre de la sélection n’affecte pas sa probabilité, sauf si nous imposons une condition au choix précédent. La probabilité d’obtenir le bonbon rouge en premier est indiquée ci-dessous.
Elle est égale à la probabilité d’obtenir un bonbon rouge en second, donc nous avons
Cela nous donne
Comme la probabilité d’obtenir un bonbon rouge en second change lorsque nous supposons que nous obtenons d’abord un bonbon bleu, les deux évènements ne sont pas indépendants.
On rappelle que la probabilité conditionnelle est calculée par la formule
On sait aussi que pour les évènements indépendants. En substituant ceci à l’équation ci-dessus et en réarrangeant, on obtient
Ceci conduit au théorème suivant.
Théorème : Formule de multiplication pour les évènements indépendants
Les évènements et sont indépendants si et seulement si où est l’évènement où les évènements et se produisent simultanément.
Dans l’exemple suivant, nous utiliserons ce théorème pour montrer que deux évènements incompatibles de probabilités non nulles ne peuvent pas être indépendants.
Exemple 3: Évènements incompatibles et indépendants
Si et et , et sont-ils indépendants ?
Réponse
Nous rappelons que si et sont des évènements indépendants, alors
Etant donné que , ce qui signifie qu’ils sont incompatibles. En d’autres termes, les deux évènements ne peuvent pas se produire en même temps. On rappelle que la probabilité d’un ensemble vide est égale à zéro, donc
En revanche, on peut calculer
Puisque , et sont dépendants.
L’exemple ci-dessus montre un fait plus général : deux évènements incompatibles avec des probabilités non nulles ne peuvent être indépendants. Ceci a du sens heuristiquement parce que si et sont des évènements incompatibles, alors et ne peuvent pas se produire simultanément. Donc, si l’on suppose que l’évènement s’est déjà produit, alors cela élimine la possibilité que puisse se produire. En d’autres termes, la réalisation de affecte la réalisation de , ce qui les rend dépendants.
Dans l’exemple suivant, nous utiliserons les probabilités données dans un diagramme de Venn pour déterminer si deux évènements sont indépendants ou non.
Exemple 4: Utiliser les probabilités dans un diagramme de Venn pour décider si les évènements sont indépendants
Dans un univers , les probabilités que les combinaisons d’évènements et se produisent sont indiquées. Les évènements et sont-ils indépendants ?
Réponse
Nous rappelons que les évènements et sont indépendants si
La probabilité de l’intersection, , est indiquée ci-dessous.
Ceci nous donne
La probabilité de est donnée par la somme des deux probabilités indiquées ci-dessous.
Ceci nous donne
Enfin, nous pouvons calculer la probabilité de en déterminant la somme des deux probabilités indiquées ci-dessous.
Ceci nous donne
En utilisant ces valeurs, nous pouvons vérifier la condition : qui n’est pas égale à .
Par conséquent, la réponse est non ; et ne sont pas indépendants.
Dans notre prochain exemple, nous appliquons la formule de multiplication pour les évènements indépendants pour calculer la probabilité de l’intersection.
Exemple 5: Déterminer la probabilité de l’intersection des évènements indépendants
Un pot de billes contient 4 billes bleues, 5 billes rouges, 1 bille verte et 2 billes noires. Une bille est choisie au hasard du pot. Après l’avoir remise dans le pot, une deuxième bille est choisie. Déterminez la probabilité que la première soit bleue et que la deuxième soit rouge.
Réponse
Nous devons déterminer la probabilité que la première bille soit bleue et que la deuxième soit rouge. Soit l’évènement que la première bille soit bleue, et l’évènement que la deuxième soit rouge. En utilisant la notation de probabilité, nous devons identifier .
Nous notons que la première bille est remise avant que la deuxième bille soit choisie. Ceci implique que la condition pour choisir la deuxième bille est identique à celle pour choisir la première bille. La réalisation du premier choix n’affecte pas la probabilité du second choix, donc les évènements et sont indépendants. Traçons un arbre pondéré décrivant cet exemple.
On note que le deuxième ensemble de branches a les mêmes probabilités que le premier ensemble de branches respectivement. Ceci est dû au fait que la première bille sélectionnée est remise dans le pot avant que la deuxième ne soit choisie, ce qui rétablit la loi de probabilité de la situation d’origine.
Nous rappelons que, si et sont des évènements indépendants, la formule de multiplication stipule que
Trouvons et à partir de l’arbre pondéré.
On obtient donc et . On peut appliquer la formule de multiplication pour obtenir
Ainsi, la probabilité que la première bille soit bleue et que la deuxième bille soit rouge est .
Si et sont des évènements dépendants, alors une version légèrement différente de la formule de multiplication s’applique. On peut obtenir cette version en réarrangeant l’équation (1).
Théorème : Formule générale de multiplication
Si et sont des évènements dépendants, alors
Dans notre dernier exemple, nous appliquerons la formule générale de multiplication pour calculer la probabilité d’une intersection.
Exemple 6: Déterminer la probabilité d’intersection de deux évènements dépendants
Un sac contient 18 boules blanches et 9 boules noires. Si 2 boules sont tirées consécutivement sans remise, quelle est la probabilité que la seconde boule soit noire et que la première soit blanche ?
Réponse
Nous devons déterminer la probabilité que la première boule soit blanche et que la seconde boule soit noire. Soit l’évènement que la première boule soit blanche, et l’évènement que la seconde soit noire. En utilisant la notation de probabilité, nous devons identifier .
On note que la seconde boule est choisie sans remise de la première. Pour cette raison, la condition pour choisir la seconde boule est différente de celle pour choisir la première. En d’autres termes, la réalisation du premier évènement affecte la probabilité du second évènement. Ainsi, les évènements et sont dépendants.
Nous rappelons que si et sont des évènements dépendants, la formule générale de multiplication stipule que
Trouvons et .
Au début, il y a 18 boules blanches parmi 27 boules dans le pot, donc la probabilité de sélectionner la boule blanche en premier est de
Ensuite, nous considérons . Si on suppose que s’est produit, nous supposons qu’une boule blanche a été sortie du sac avant que la seconde boule ne soit sélectionnée. Cela laisse 17 boules blanches et 9 boules noires dans le sac pour le second choix. Alors,
On peut tracer l’arbre pondéré avec ces deux valeurs.
En appliquant la formule générale de multiplication, la probabilité de l’intersection est
Nous notons que, lorsque nous utilisons des arbres pondérés, la probabilité d’une intersection peut être déterminée en multipliant le long des branches des évènements pertinents, que les évènements soient indépendants ou non.
Ainsi, la probabilité que la première boule soit blanche et que la seconde boule soit noire est .
Résumons quelques points importants de la fiche explicative.
Points clés
- Les évènements et sont indépendants si la réalisation de n’affecte pas la probabilité que soit réalisé.
- En notation de probabilité, les évènements et sont indépendants si
- Les évènements et sont indépendants si et seulement si
- Si et sont des évènements dépendants, alors
- Deux évènements incompatibles de probabilités non nulles ne peuvent pas être indépendants.
