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Quelle est la nature des racines de l’équation 𝑥 au carré plus 17 égale zéro? Est-ce (A) deux racines complexes, (B) deux racines réelles distinctes, (C) une racine réelle double, ou (D) une racine non réelle double?
Afin de répondre à cette question, nous allons envisager plusieurs méthodes. Tout d’abord, nous allons simplement résoudre l’équation 𝑥 au carré plus 17 égale zéro. En soustrayant 17 des deux côtés, nous avons 𝑥 au carré égale moins 17. Ensuite, nous cherchons la racine carrée des deux côtés telle que 𝑥 est égal à plus ou moins la racine carrée de moins 17. Nous savons que la racine carrée de tout nombre négatif est non réelle, ce qui signifie que nous pouvons exclure les options (B) et (C).
Comme la racine carrée de moins un est égale au nombre imaginaire, ou complexe, 𝑖, alors la racine carrée de moins 17 est égale à racine de 17 fois 𝑖. L’inconnue 𝑥 est donc égale à plus ou moins cela, et pour cette raison, l’équation 𝑥 au carré plus 17 égal à zéro a deux racines complexes. Celles-ci sont plus ou moins racine de 17 𝑖.
Nous avons dit que nous traiterions ce problème de plusieurs manières. Puisque notre équation est du second degré, nous pouvons calculer le discriminant. Pour toute équation du second degré de la forme 𝑎 𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro, le discriminant est égal à 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐. Dans cette question, le coefficient de 𝑥 au carré, notre valeur de 𝑎, est égal à un. Il n’y a pas de terme en 𝑥, donc 𝑏 est égal à zéro. Et la constante 𝑐 est égale à 17. Le discriminant est donc égal à zéro au carré moins quatre multiplié par un multiplié par 17. Et cela est égal à moins 68.
Rappelant que si le discriminant est strictement inférieur à zéro, nous avons deux racines complexes. Et puisque moins 68 est inférieur à zéro, l’équation 𝑥 au carré plus 17 égale zéro a deux racines complexes. Il convient également de noter que si le discriminant est strictement supérieur à zéro, nous avons deux racines réelles distinctes. Et si le discriminant est égal à zéro, nous avons une racine réelle double.
