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Un objet commence au repos et accélère à un taux de deux mètres par seconde carrée le long d’une ligne droite jusqu’à ce que son vecteur vitesse atteigne huit mètres par seconde. De quelle distance l’objet s’est-il déplacé par rapport à sa position de départ lorsqu’il atteint ce vecteur vitesse ?
Alors, dans cette question, nous avons un objet qui on nous dit commence au repos. Cela signifie que le vecteur vitesse initial de l’objet, que nous avons appelée 𝑢, a une valeur de zéro mètre par seconde. On nous dit que l’objet accélère jusqu’à ce que son vecteur vitesse atteigne huit mètres par seconde. Nous savons donc que le vecteur vitesse final de l’objet, que nous avons appelée 𝑣, a une valeur de huit mètres par seconde. La question nous dit que l’objet accélère à un taux de deux mètres par seconde au carré. Appelons cette accélération 𝑎. Donc, ce que nous savons, c’est que l’objet commence à une certaine position avec un vecteur vitesse initial de zéro mètre par seconde et qu’après avoir accéléré le long d’une ligne droite à un taux de deux mètres par seconde au carré, l’objet finit avec un vecteur vitesse final de huit mètres par seconde. Et ce vecteur vitesse final doit avoir le même sens que l’accélération.
On nous demande de déterminer la distance parcourue par l’objet par rapport à sa position de départ lorsqu’il atteint ce vecteur vitesse final. Il s’agit donc la distance parcourue entre cette position et cette position ici. Appelons cette distance parcourue 𝑠. Alors, pour répondre à cette question, il faut trouver la valeur de 𝑠. Maintenant, nous pouvons rappeler qu’il existe une équation qui relie les quatre grandeurs 𝑢, 𝑣, 𝑎 et 𝑠. Plus précisément, cette équation est celle-ci, qui nous dit que 𝑣 au carré est égal à 𝑢 au carré plus deux fois 𝑎 fois 𝑠. Pour que cette équation s’applique, l’accélération doit avoir une valeur constante. Dans ce cas, on nous dit que l’accélération est de deux mètres par seconde au carré, ce qui est en effet une constante.
De plus, pour que l’équation s’applique, le mouvement de l’objet doit être rectiligne. Heureusement, dans ce cas, on nous dit dans la question que l’objet se déplace le long d’une ligne droite. Nous pouvons donc utiliser cette équation en toute sécurité. Maintenant, nous essayons de trouver la valeur de la grandeur 𝑠. Nous devons donc réorganiser cette équation pour faire de 𝑠 le sujet. La première étape consiste à soustraire 𝑢 au carré des deux côtés de l’équation. Ensuite, sur le côté droit, nous avons 𝑢 au carré moins 𝑢 au carré. Donc, ces deux termes s’annulent. Cela nous laisse avec 𝑣 au carré moins 𝑢 au carré est égal à deux fois 𝑎 fois 𝑠. Ensuite, nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par deux 𝑎.
Du côté droit, les deux 𝑎 au numérateur sont annulés par les deux 𝑎 au dénominateur. Et donc nous avons que 𝑣 carré moins 𝑢 carré divisé par deux 𝑎 est égal à 𝑠. Et bien sûr, nous pouvons également écrire cela dans l’autre sens pour dire que 𝑠 est égal à 𝑣 au carré moins 𝑢 au carré divisé par deux 𝑎. Tout ce qui nous reste à faire est de substituer ces valeurs dans cette équation. En remplaçant le vecteur vitesse final 𝑣 égale à huit mètres par seconde, le vecteur vitesse initial 𝑢 égale à zéro mètre par seconde, et l’accélération 𝑎 égale à deux mètres par seconde au carré, nous avons 𝑠 égal au carré de huit mètres par seconde moins le carré de zéro mètre par seconde, le tout divisé par deux fois deux mètres par seconde au carré.
En calculant chacun des termes du côté droit, nous obtenons que 𝑠 est égal à 64 mètres carrés par seconde au carré moins zéro mètre au carré par seconde au carré divisé par quatre mètres par seconde au carré. Or, 64 mètres carrés par seconde au carré moins zéro mètre carré par seconde au carré font simplement 64 mètres carrés par seconde au carré. Ensuite, la dernière étape consiste à calculer le résultat de cette division. En termes d’unités, le par seconde au carré au numérateur s’annule avec le par seconde au carré au dénominateur. Et un facteur de mètres du numérateur s’annule avec les mètres du dénominateur. Cela nous laisse avec des mètres, ce qui est logique puisque 𝑠 est une distance.
Lorsque nous divisons 64 par quatre, nous obtenons un résultat de 16. Et donc notre réponse à la question « De quelle distance l’objet s’est-il déplacé par rapport à sa position de départ quand il atteint son vecteur vitesse final de huit mètres par seconde ? » est que l’objet a parcouru 16 mètres.
