Video Transcript
On considère l’équation matricielle suivante : la matrice trois par trois avec les éléments moins six, trois, moins un ; quatre, zéro, moins six ; deux, deux, un, multipliée par la matrice colonne avec les éléments 𝑥, 𝑦 et 𝑧 égale la matrice colonne avec les éléments trois, 𝑘 et cinq. Déterminez la valeur de 𝑘 qui nous donne 𝑦 égale 31 sur 16.
L’équation matricielle donnée représente un système de trois équations linéaires en 𝑥, 𝑦 et 𝑧, que nous voudrions normalement résoudre. Cependant, dans ce cas, on nous donne une valeur pour 𝑦 ; 𝑦 égale 31 sur 16. Et on nous demande de trouver la valeur de 𝑘. Nous avons donc toujours trois équations et trois inconnues. Et pour les résoudre, nous pouvons utiliser la méthode qui utilise l’inverse de la matrice.
Si nous appelons nos trois matrices 𝐴, 𝐮 et 𝐯 pour commencer, nous verrons comment cette méthode fonctionne sur notre équation 𝐴 multiplié par 𝐮 égale 𝐯. En supposant que 𝐴 est inversible, c’est-à-dire que son inverse existe, puis en multipliant notre équation à gauche par 𝐴 moins un, nous avons 𝐴 moins un 𝐴 multiplié par 𝐮 égale 𝐴 moins un multiplié par 𝐯. Nous savons que pour une matrice inversible 𝑛 𝑛 𝐴, 𝐴 multiplié par 𝐴 moins un égale 𝐴 moins un multiplié par 𝐴 égale la matrice identité. C’est-à-dire la matrice 𝑛 𝑛 avec tous les éléments égaux à zéro sauf la diagonale avec des éléments tous égaux à un et qui, pour une matrice trois trois, est celle-ci.
À gauche de notre équation, nous avons alors 𝐼 multiplié par 𝐮. Et nous savons que 𝐼 multiplié par 𝐮 est égal à 𝐮. Ainsi, cela isole la matrice 𝐮 avec les éléments 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du côté gauche. Et si nous effectuons la multiplication dans le côté droit, nous trouverons notre solution. Et pour multiplier le côté droit, nous devons trouver l’inverse de la matrice 𝐴. Faisons maintenant de la place, et rappelons-nous que pour une matrice 𝑛 𝑛 inversible 𝐴, 𝐴 moins un est donné par un sur le déterminant de 𝐴 multiplié par la matrice adjointe de 𝐴. Donc nous devrons trouver à la fois le déterminant de 𝐴 et la matrice adjointe de 𝐴, en nous rappelant que la matrice adjointe de 𝐴 est la transposée de la matrice des cofacteurs. Commençons donc par trouver le déterminant de la matrice 𝐴.
Puisque la deuxième ligne de notre matrice 𝐴 a un élément nul, développons le long de cette ligne. Et rappelez-vous, pour trouver le déterminant d’une matrice en développant le long de la ligne 𝑖, nous utilisons la formule somme pour 𝑗 égale un à 𝑛 de l’élément 𝑎 𝑖𝑗 multiplié par moins un élevé à la puissance 𝑖 plus 𝑗 multiplié par le déterminant de la matrice mineure 𝐴 𝑖𝑗. Rappelez-vous que la matrice mineure 𝐴 𝑖𝑗 d’une matrice trois trois est la matrice deux deux obtenue en supprimant la ligne 𝑖 et la colonne 𝑗 de la matrice 𝐴. Dans notre cas, nous avons donc déterminant de 𝐴 égale moins 𝑎 deux un multiplié par le déterminant de la matrice mineure 𝐴 deux un et ainsi de suite.
Notez qu’il est très important d’utiliser les bon signes à ce stade. Et ceux-ci sont donnés par moins un élevé à la puissance 𝑖 plus 𝑗. Ainsi, par exemple, dans notre premier terme, nous avons moins un puissance deux plus un, qui est égal à moins un puissance trois, soit moins un. Notre premier terme est alors quatre multiplié par moins un multiplié par le déterminant de la matrice deux deux obtenue en supprimant la ligne deux et la colonne un. C’est la matrice deux deux avec les éléments trois, moins un, deux et un. De même, nous obtenons notre deuxième terme et notre troisième terme. Et nous pouvons calculer nos déterminants en rappelant que pour une matrice deux deux 𝑀 avec les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑, le déterminant est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐.
Pour notre premier terme, cela nous donne donc moins quatre multiplié par trois multiplié par un moins moins un multiplié par deux et de même pour notre deuxième terme et notre troisième terme. En calculant cela nous donne moins quatre fois cinq plus zéro fois moins quatre plus six fois moins 18. Cela est égal à moins 20 moins 108, soit moins 128. Le déterminant de notre matrice 𝐴 est donc moins 128. Nous avons donc notre déterminant. Trouvons maintenant la matrice adjointe de 𝐴.
Nous rappelons que la matrice adjointe d’une matrice 𝐴 est la transposée de la matrice des cofacteurs et que le cofacteur 𝐶 𝑖𝑗 est égal à moins un élevé à la puissance 𝑖 plus 𝑗 multiplié par le déterminant de la matrice mineure 𝐴 𝑖𝑗. Le terme moins un élevé à la puissance 𝑖 plus 𝑗 nous donne le signe du cofacteur. Pour une matrice trois trois, ça nous donne cela. En fait, nous avons déjà calculé trois des cofacteurs, ceux de la deuxième ligne. Mais écrivons-les tous. Nos neuf cofacteurs sont comme indiqué.
Et donc maintenant, nous calculons les déterminants des matrices mineures deux deux. Ainsi, par exemple, pour notre cofacteur 𝐶 un un, nous avons le déterminant zéro multiplié par un moins moins six multiplié par deux, et cela est égal à 12. Nos cofacteurs sont alors 12, moins 16, huit, moins cinq, moins quatre, 18 et moins 18, moins 40, moins 12.
Maintenant, si nous écrivons notre matrice de cofacteurs, la matrice adjointe de notre matrice 𝐴 est alors la transposée de cette matrice des cofacteurs. C’est-à-dire la matrice où les lignes et les colonnes sont échangées. Mais rappelez-vous, nous essayons de trouver l’inverse de 𝐴. Et cela est donné par un sur le déterminant fois la matrice adjointe de la matrice 𝐴. Notre déterminant est moins 128 et notre matrice adjointe est celle-ci. Ainsi, l’inverse de notre matrice 𝐴 est moins un sur 128 multiplié par la matrice adjointe de 𝐴. Donc maintenant, nous pouvons remplacer cela dans notre équation d’origine. C’est-à-dire 𝐮 égale 𝐴 moins un multiplié par 𝐯.
Maintenant, rappelez-vous, nous devons trouver la valeur de 𝑘 qui donne 𝑦 égale 31 sur 16. Donc avant de résoudre notre équation, substituons cette valeur à 𝑦. Nous pouvons résoudre ce problème en effectuant la multiplication dans le côté droit. Et en utilisant la multiplication matricielle, par exemple dans notre première ligne, nous avons 12 fois trois plus moins cinq fois 𝑘 plus moins 18 fois cinq. Et en calculant chacune de nos lignes, nous avons une première ligne de moins 54 moins cinq 𝑘, une deuxième ligne de moins 248 moins quatre 𝑘 et une troisième ligne de moins 36 plus 18𝑘 le tout multiplié par moins un sur 128. En faisant de la place et en réécrivant, nous pouvons maintenant égaler nos côtés droit et gauche. Et donc par égalité de matrices, nous avons les trois équations indiquées.
Puisque nous cherchons la valeur de 𝑘, nous utilisons la deuxième équation car 𝑘 est la seule variable de cette équation. Commençons donc par multiplier les deux côtés par 128. Nous multiplions par 128 des deux côtés, ce qui nous donne un du côté droit Et en simplifiant le côté gauche par 16 nous obtenons huit multiplié par 31 divisé par un. Donc à gauche, nous avons 248 et à droite, 248 plus quatre 𝑘. La soustraction de 248 des deux côtés nous donne zéro égale quatre 𝑘. Par conséquent, 𝑘 égale zéro.
Cela signifie que la valeur de 𝑘 qui donne 𝑦 égale 31 sur 16 dans l’équation matricielle est 𝑘 égale zéro. Et maintenant, pour terminer, nous pouvons utiliser cette valeur pour obtenir 𝑥 et 𝑧. 𝑥 est égal à 54 divisé par 128, et 𝑧 est égal à 36 divisé par 128. Et la simplification de ces expressions nous donne 𝑥 égale 27 sur 64 et 𝑧 égale neuf sur 32.
