Fiche explicative de la leçon: Résoudre un système de trois équations en utilisant l’inverse d’une matrice

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre un système de trois équations linéaires en utilisant l’inverse de la matrice des coefficients du système.

On peut résoudre un système d’équations linéaires en utilisant les méthodes de substitution ou de combinaison, mais ces méthodes se compliquent lorsque le nombre d’équations est supérieur à deux. Même pour un système de trois équations, ce processus est long à réaliser à la main. Si nous souhaitons programmer un logiciel pour effectuer cette tâche, nous devons définir une approche plus générale.

Les matrices peuvent alors nous aider. Une des applications les plus courantes des opérations matricielles est en effet la formalisation de cette tâche grâce à l’inverse d’une matrice, ce qui permet de facilement programmer un logiciel pour l’effectuer. Nous verrons plus loin dans cette fiche explicative comment écrire ces systèmes de équations linéaires comme une équation matricielle de la forme , où est une matrice carrée de dimension et et sont des matrices de dimension . La matrice est la matrice inconnue car ses coefficients sont inconnus. Commençons par expliquer comment résoudre une équation matricielle de la forme en utilisant l’inverse de la matrice.

On sait que est une matrice carrée. On rappelle que l’inverse d’une matrice carrée existe si son déterminant est non nul. Pour une matrice de taille notée telle que , l’inverse de la matrice, , est la matrice vérifiant où est la matrice identité .

Pour résoudre maintenant l’équation matricielle où et sont des matrices connues de dimensions respectives et , on multiplie les deux membres de l’équation à gauche par pour obtenir

Comme , cette équation se simplifie par

On connaît ici et , on obtient donc la solution de l’équation matricielle .

Comment résoudre des équations matricielles

Soit une matrice inversible et une matrice telle que le produit est défini. La matrice solution à l’équation est définie par

Cette méthode permet de résoudre toute équation matricielle de la forme à condition que la matrice soit inversible. Cette méthode ne peut cependant pas être utilisée lorsque n’est pas inversible. Cela peut se produire si n’est pas une matrice carrée ou si est carrée et . Dans de tels cas, l’équation matricielle a soit une infinité de solutions, soit aucune solution. Nous n’allons pas étudier ces scénarios dans cette fiche explicative mais nous vérifierons à chaque fois que la matrice des coefficients du système est inversible avant de poursuivre.

Dans le premier exemple, nous allons résoudre une équation matricielle où l’inverse de la matrice est fournie.

Exemple 1: Résoudre une équation matricielle impliquant une matrice 3 × 3

Sachant que résolvez l’équation matricielle suivante pour déterminer :

Réponse

Dans cet exemple, nous devons résoudre une équation matricielle pour trouver la matrice inconnue . Nous souhaitons pour cela réarranger l’équation et isoler . On commence par soustraire la matrice la plus à gauche de l’équation aux deux membres de l’équation :

On peut maintenant multiplier les deux membres de l’équation par et écrire

On multiplie enfin les deux membres de l’équation à gauche par l’inverse de la matrice fournie, ce qui donne

On sait que pour toute matrice carrée inversible , où est la matrice identité de même dimension. Le produit des deux matrices sur le membre gauche de l’équation donne donc la matrice identité, ce qui simplifie l’équation par

On calcule enfin le produit matriciel :

Dans l’exemple précédent, nous avons résolu une équation matricielle en utilisant l’inverse d’une matrice. L’inverse de la matrice , dont le calcul est généralement la partie la plus difficile, était cependant fournie. Si l’inverse de la matrice n’est pas fournie, la première étape est donc de la calculer. Rappelons la méthode permettant de calculer l’inverse d’une matrice .

Comment calculer l’inverse d’une matrice 3 × 3

Pour une matrice de taille notée telle que , on peut trouver l’inverse de la matrice, , en effectuant les étapes suivantes :

Calculer le déterminant de et s’assurer qu’il est non nul.
Pour tous les , calculer le déterminant de la sous-matrice , qui est la matrice obtenue en retirant la ligne et la colonne de .
Déterminer la comatrice, qui est la matrice de taille et de terme général telle que
Transposer la comatrice :
Diviser la matrice obtenue par le déterminant de pour obtenir l’inverse de la matrice :

Comme on peut le voir ci-dessus, calculer l’inverse d’une matrice est un processus fastidieux. La même méthode peut être utilisée pour des matrices carrées de dimension supérieure mais il serait trop long de calculer le déterminant de la matrice à la main, sans parler de son inverse. Pour cette raison, de nombreuses calculatrices scientifiques ou programmes mathématiques ont des fonctions intégrées permettant de calculer l’inverse d’une matrice.

Pour une matrice , on peut calculer l’inverse de la matrice à la main en utilisant la méthode ci-dessus. Dans l’exemple suivant, nous allons calculer l’inverse d’une matrice en utilisant cette méthode et l’utiliser pour résoudre une équation matricielle.

Exemple 2: Résoudre une équation matricielle en calculant l’inverse d’une matrice

Résolvez en utilisant l’inverse d’une matrice.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons résoudre une équation matricielle. Pour résoudre cette équation, nous devons multiplier les deux membres de l’équation à gauche par l’inverse de la matrice donnée. Commençons par calculer l’inverse de la matrice :

On rappelle qu’une matrice carrée est inversible si son déterminant est non nul. On calcule donc d’abord le déterminant de cette matrice et on s’assure qu’il est non nul.

On rappelle que pour une matrice notée , son déterminant est défini par où sont les sous-matrices obtenues en retirant la ligne et la colonne de la matrice . On peut appliquer cette formule à la matrice et on obtient

Comme , l’inverse de la matrice, , existe. On peut calculer cette matrice inverse en appliquant la méthode suivante :

Calculer la comatrice où
Transposer la comatrice :
Diviser la matrice obtenue par le déterminant de pour obtenir l’inverse de la matrice :

Calculons d’abord la comatrice. Les coefficients de la comatrice sont égaux aux déterminants des sous-matrices correspondantes multipliés par le facteur à signe alterné . Nous devons donc calculer les déterminants de 9 sous-matrices avec leur signe correspondant :

Cela donne la comatrice

On transpose ensuite la comatrice :

Enfin, en divisant par le déterminant que nous avons trouvé précédemment égal à 2, on obtient

Maintenant que nous avons calculé l’inverse de la matrice, nous pouvons multiplier les deux membres de l’équation à gauche par celle-ci et écrire

On sait que pour toute matrice carrée inversible , où est la matrice identité de même dimension. Par conséquent, le produit des deux matrices et du scalaire sur le membre gauche de l’équation donne la matrice identité, ce qui simplifie l’équation par

La dernière étape consiste maintenant à calculer le produit matriciel et scalaire du membre droit de cette équation :

Cela nous donne

En posant l’égalité des coefficients correspondants des matrices ci-dessus, on obtient

Dans l’exemple précédent, nous avons résolu une équation matricielle en calculant d’abord l’inverse d’une matrice . L’équation matricielle de cet exemple était en réalité équivalente à un système de 3 équations à 3 inconnues. Une fois qu’un système d’équations est écrit sous forme matricielle, on peut suivre cette méthode pour le résoudre. Rappelons comment définir une équation matricielle équivalente à un système d’équations linéaires.

Définition : Forme matricielle d’un système d’équations linéaires

Soit un système d’équations linéaires avec les inconnues :

La matrice des coefficients est définie par

De plus, la matrice des variables et la matrice des constantes sont respectivement définies par

Le système d’équations linéaires ci-dessus est donc équivalent à l’équation matricielle

On voit que le nombre de lignes de la matrice des coefficients du système est égal au nombre d’équations et que son nombre de colonnes est égal au nombre d’inconnues. Si on a par exemple un système de trois équations à trois inconnues, la dimension de la matrice des coefficients du système est donc . Cela signifie qu’il faut calculer l’inverse de la matrice pour résoudre cette équation matricielle.

Dans l’exemple suivant, nous allons définir une équation matricielle équivalente à un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues. Nous résoudrons ensuite l’équation matricielle en calculant l’inverse de la matrice des coefficients.

Exemple 3: Résoudre un système d’équation à l’aide de matrices

Soit le système d’équations

Exprimez le système sous forme d’équation matricielle.
Calculez l’inverse de la matrice des coefficients du système.
Multipliez l’équation matricielle à gauche par l’inverse de cette matrice pour la résoudre.

Réponse

Partie 1

Pour cette question, nous devons écrire une équation matricielle équivalente au système de 3 équations. On rappelle que le système d’équations linéaires est équivalent à l’équation matricielle

Les matrices de l’équation ci-dessus sont respectivement appelées matrices des coefficients, des variables et des constantes. D’après le système initial, les variables sont , et , elles forment les coefficients de la matrice des variables. Les constantes 4, 14 et 10 sur le membre droit des équations sont les coefficients de la matrice des constantes. Les matrices des variables et des constantes sont donc respectivement

Pour déterminer la matrice des coefficients, nous devons écrire les coefficients de chaque variable dans le bon ordre (c’est-à-dire dans l’ordre , , ) pour chaque équation. Les coefficients ne sont pas immédiatement visibles dans la deuxième équation car seuls des signes négatifs apparaissent devant les variables. Cela indique que les coefficients de , et de la deuxième équation sont . On peut alors reformuler les équations :

Cela conduit à la matrice des coefficients

Par conséquent, l’équation matricielle est

Partie 2

Pour cette question, nous devons calculer l’inverse de la matrice des coefficients. Nous avons déterminé dans la question précédente que la matrice des coefficients est

On rappelle qu’une matrice carrée est inversible si son déterminant est non nul. On commence donc par calculer le déterminant de cette matrice pour vérifier qu’il est non nul.

Pour une matrice notée , son déterminant est défini par où sont les sous-matrices obtenues en retirant la ligne et la colonne de la matrice . On peut appliquer cette formule à la matrice des coefficients pour obtenir

Comme , l’inverse de la matrice, , existe. Calculons donc cette matrice inverse. On rappelle que l’on peut calculer l’inverse de la matrice en appliquant la méthode suivante :

Calculer la comatrice où
Transposer la comatrice :
Diviser la matrice obtenue par le déterminant de pour obtenir l’inverse de la matrice :

Calculons d’abord la comatrice. Les coefficients de la comatrice sont égaux aux déterminants des sous-matrices correspondantes multipliés par le facteur de signe alterné . Nous devons ici calculer les déterminants de 9 sous-matrices avec leur signe correspondant :

Cela donne la comatrice

On transpose alors la comatrice :

En divisant enfin par le déterminant égal à , on obtient

Partie 3

Pour cette question, nous devons résoudre l’équation matricielle en multipliant par cette matrice inverse sur le côté gauche. Rappelons l’équation matricielle que nous avons obtenue dans la première partie :

En multipliant les deux membres de l’équation à gauche par l’inverse de la matrice, on obtient

On sait que les deux matrices du membre gauche de l’équation sont l’inverse l’une de l’autre, ce qui signifie que leur produit donne la matrice identité. Cela simplifie cette équation par

On calcule enfin le produit matriciel du membre droit de l’équation. Cela nous donne

En multipliant par le scalaire et en simplifiant, on obtient

Par conséquent,

Dans l’exemple précédent, nous avons défini une équation matricielle équivalente à un système de trois équations linéaires et avons résolu l’équation matricielle en utilisant l’inverse de la matrice des coefficients. En posant l’égalité des coefficients correspondants de la solution à l’équation matricielle, on trouve la solution au système d’équations.

Dans l’exemple suivant, nous allons résoudre un système de 3 équations linéaires.

Exemple 4: Résoudre un système de trois équations en utilisant l’inverse d’une matrice

Utilisez l’inverse d’une matrice pour résoudre le système d’équations linéaires

Réponse

Dans cet exemple, nous devons résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues en utilisant des matrices. Commençons par définir une équation matricielle équivalente au système d’équations ci-dessus. On rappelle que le système d’équations linéaires est équivalent à l’équation matricielle

Les matrices de l’équation ci-dessus sont respectivement appelées matrices des coefficients, des variables et des constantes. D’après le système d’équations initial, les variables sont , et , elles forment les coefficients de la matrice des variables. Les constantes , et 7 sur le membre droit des équations sont les coefficients de la matrice des constantes. Les matrices des variables et des constantes sont donc respectivement

Pour trouver la matrice des coefficients, nous devons écrire les coefficients de chaque variable dans le bon ordre (c’est-à-dire dans l’ordre , , ) pour chaque équation. Dans la troisième équation, les coefficients de et ne sont pas directement visibles car ils sont égaux à et 1. On peut les ajouter à l’équation et écrire

Cela donne la matrice des coefficients

L’équation matricielle équivalente est donc

On peut résoudre l’équation (1) en multipliant les deux membres à gauche par l’inverse de la matrice des coefficients. Calculons donc l’inverse de la matrice des coefficients

On peut utiliser la méthode décrite précédemment pour calculer l’inverse de cette matrice, si elle existe. On rappelle qu’une matrice carrée est inversible si son déterminant est non nul. On calcule donc le déterminant de cette matrice pour s’assurer qu’il est non nul.

On rappelle que, pour une matrice matrix , its determinant can be computed by où sont des matrices mineures obtenues en prenant la ligne et la colonne de la matrice . On peut appliquer cette formule à la matrice des coefficients pour obtenir

Comme , l’inverse de la matrice, , existe. Calculons donc cette matrice inverse. On rappelle que l’on peut calculer l’inverse de la matrice en appliquant la méthode suivante :

Calculer la comatrice où
Transposer la comatrice :
Diviser la matrice obtenue par le déterminant de pour obtenir l’inverse de la matrice :

Calculons d’abord la comatrice. Les coefficients de la comatrice sont égaux aux déterminants des sous-matrices correspondantes multipliés par le facteur à signe alterné . Nous devons donc calculer ici les déterminants de 9 sous-matrices avec leur signe correspondant :

Cela donne la comatrice

On transpose ensuite la comatrice :

En divisant enfin par le déterminant égal à , on obtient

Maintenant que l’on a calculé l’inverse de la matrice, on multiplie l’équation (1) à gauche par cette inverse :

Comme toute matrice multipliée par son inverse donne la matrice identité, les deux matrices et le scalaire sur le membre gauche de cette équation s’annulent. Cela simplifie l’équation par

On calcule enfin le produit matriciel du membre droit de l’équation ci-dessus :

Par conséquent,

En posant l’égalité des coefficients correspondants, on obtient

Dans le dernier exemple, nous allons résoudre un problème concret à l’aide de l’inverse d’une matrice .

Exemple 5: Résoudre un problème concret en utilisant l’inverse d’une matrice

Le tableau ci-dessous indique le nombre de types de chambres dans trois hôtels appartenant à une même entreprise.

Hôtel	Chambre simple	Chambre double	Suite
Premier hôtel	45	74	15
Deuxième hôtel	48	74	19
Troisième hôtel	49	94	10

Les trois hôtels facturent le même prix pour une chambre de même taille. Lorsque toutes les chambres sont réservées, les revenus quotidiens de l’entreprise issus des premier, deuxième et troisième hôtels sont respectivement 50‎ ‎120 LE, 53‎ ‎560 LE et 55‎ ‎660 LE. Calculez le prix par nuit d’une suite.

Réponse

Dans cet exemple, nous avons trois quantités inconnues : les prix d’une chambre simple, d’une chambre double et d’une suite. Désignons ces inconnues par les variables respectives , et . On peut trouver le prix d’une suite en LE en déterminant la valeur de .

L’énoncé indique que les revenus quotidiens du premier hôtel sont de 50‎ ‎120 LE si toutes les chambres sont réservées. Cela peut être décrit par l’équation suivante :

On peut obtenir de la même manière deux autres équations pour les revenus quotidiens des deuxième et troisième hôtels :

Cela nous donne un système de trois équations à trois inconnues. Résolvons ce système en utilisant des matrices. Commençons par définir une équation matricielle équivalente au système d’équations ci-dessus. On rappelle que le système d’équations linéaires est équivalent à l’équation matricielle

Les matrices de l’équation ci-dessus sont respectivement appelées les matrices des coefficients, des variables et des constantes. D’après le système d’équations obtenu, les variables sont , et , elles forment les coefficients de la matrice des variables. Les constantes 50 120, 53 560 et 55 660 sur les membres droits des équations sont les coefficients de la matrice des constantes. Les matrices des variables et des constantes sont donc respectivement

Pour trouver la matrice des coefficients, nous devons écrire les coefficients de chaque variable dans le bon ordre (c’est-à-dire dans l’ordre , , ) pour chaque équation. La matrice des coefficients est alors

L’équation matricielle équivalente est donc

On peut résoudre cette équation en multipliant les deux membres à gauche par l’inverse de la matrice des coefficients. Calculons donc l’inverse de la matrice des coefficients

On peut utiliser la méthode décrite précédemment pour obtenir l’inverse de cette matrice, si elle existe. On rappelle qu’une matrice carrée est inversible si son déterminant est non nul. On calcule donc le déterminant de cette matrice pour s’assurer qu’il est non nul.

Comme , l’inverse de la matrice, , existe. Déterminons cette matrice inverse. On rappelle que l’on peut trouver l’inverse de la matrice en appliquant la méthode suivante :

Calculer la comatrice où
Transposer la comatrice :
Diviser la matrice obtenue par le déterminant de pour obtenir l’inverse de la matrice :

Cela donne la comatrice

On transpose ensuite la comatrice :

En divisant enfin par le déterminant égal à , on obtient

On peut à présent résoudre l’équation matricielle en multipliant par l’inverse à gauche : . Cela donne

On calcule enfin le produit matriciel du membre droit de l’équation ci-dessus :

On obtient

Par conséquent, le prix d’une suite est de 740 LE.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

Pour résoudre un système d’équations en utilisant l’inverse de la matrice des coefficients lorsque celle-ci est inversible, on peut suivre les étapes ci-dessous :
- Définir une équation matricielle équivalente de la forme .
- Calculer l’inverse de la matrice des coefficients .
- Multiplier par l’inverse de la matrice à gauche pour obtenir .
- Poser l’égalité des coefficients correspondants de la matrice des variables et de la matrice pour trouver la solution.
Pour une matrice notée telle que , on peut calculer l’inverse de la matrice, , en effectuant les étapes suivantes :
- Calculer le déterminant de et vérifier qu’il est non nul.
- Pour tous les , calculer les déterminants de la sous-matrice , qui est la matrice obtenue en retirant la ligne et la colonne de .
- Déterminer la comatrice, qui est la matrice telle que
- Transposer la comatrice :
- Diviser la matrice obtenue par le déterminant de pour obtenir l’inverse de la matrice :
Si l’inverse de la matrice des coefficients n’existe pas, alors le système d’équations correspondant a une infinité de solutions ou aucune solution.