Transcription de vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre un système de trois équations linéaires en utilisant l’inverse de la matrice des coefficients du système. À ce stade, vous connaissez probablement un certain nombre de méthodes que vous pouvez utiliser pour résoudre des systèmes linéaires. L’une d’elles est la méthode d’élimination, qui consiste à ajouter ou à soustraire des équations dans le but d’éliminer une inconnue, puis de résoudre cette équation restante pour l’inconnue restante. Cela peut cependant être assez long quand il s’agit de manipuler plus de deux inconnues.
Nous avons donc une alternative. Cette alternative consiste à écrire le système d’équations sous forme matricielle. Et nous nous retrouvons alors avec l’équation 𝐴𝐱 égale 𝐛, où pour un système de trois équations 𝐴 est une matrice trois par trois. Et 𝐱 et 𝐛 sont des matrices colonnes ou vecteurs colonnes. Nous multiplions ensuite les deux côtés de cette équation par l’inverse de 𝐴, en nous souvenant bien sûr que l’ordre de cette multiplication est important. Ensuite, en rappelant que le produit d’une matrice et de son inverse est la matrice identité, nous constatons alors que 𝐼𝐱 est égal à l’inverse de 𝐴 fois 𝐛. En d’autres termes, 𝐱 est égal à l’inverse de 𝐴 fois 𝐛.
𝐱 est ici la matrice colonne qui contient les inconnues dont nous cherchons les valeurs. Donc ce que nous devons faire, c’est trouver comment écrire ces équations pour que ce processus fonctionne. Prenons un système de trois équations linéaires. Nous pourrions bien sûr généraliser cela, mais en fait, nous ne nous intéressons qu’à trois équations linéaires dans cette vidéo. Les inconnues, ou variables, sont ici 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Ensuite, les coefficients sont 𝑎 avec nos indices. 𝐴 est alors la matrice des coefficients. Et elle est composée des éléments 𝑎 un un, 𝑎 un deux, 𝑎 un trois, et ainsi de suite jusqu’à 𝑎 trois trois. Le vecteur 𝐱 est ensuite 𝑥, 𝑦, 𝑧. Il contient nos variables. Puis le vecteur 𝐛 est 𝑏 un, 𝑏 deux et 𝑏 trois. Ce sont ces valeurs.
La raison pour laquelle nous pouvons utiliser ces matrices et vecteurs est que lorsque nous revenons en arrière et multiplions la matrice 𝐴 avec le vecteur 𝐱, nous calculons en fait le produit scalaire des éléments de la première ligne de notre matrice, et de la première colonne ou l’unique colonne du vecteur 𝐱, ce qui nous donne cette première équation linéaire. Ensuite, nous revenons en arrière et nous multiplions la deuxième ligne de la matrice 𝐴 avec le vecteur colonne 𝐱. Et nous obtenons notre deuxième équation linéaire. Enfin, nous répétons cela avec notre troisième ligne, en multipliant chaque élément par le vecteur 𝐱. Et nous obtenons notre troisième équation linéaire. Alors maintenant que nous savons comment écrire le système d’équations sous forme matricielle, pratiquons ce processus.
Considérez le système d’équations. Exprimez le système sous la forme d’une seule équation matricielle.
Rappelez-vous, une équation matricielle peut être utilisée pour nous aider à résoudre des systèmes d’équations linéaires. Elle sera de la forme 𝐴𝐱 égale 𝐛, où 𝐴 est appelée matrice de coefficients, 𝐱 est un vecteur colonne contenant les variables de notre équation, et 𝐛 contient toutes les constantes de l’équation. Identifions donc d’abord la matrice des coefficients. C’est la matrice que nous allons appeler 𝐴. Nous avons trois équations à trois inconnues. Et donc la matrice 𝐴 va être une matrice trois par trois. Les éléments de la première ligne de la matrice 𝐴 sont les coefficients respectivement de 𝑝, 𝑞 et 𝑟 dans notre première équation.
Nous voyons que les coefficients sont deux, deux et quatre. Et cela est donc la première ligne de notre matrice. Les éléments de la deuxième ligne de la matrice 𝐴 sont les coefficients de 𝑝, 𝑞 et 𝑟 dans notre deuxième équation. Ce sont moins un, moins un et moins un. Et ce sont donc les éléments de la deuxième ligne de notre matrice. Nous allons répéter ce processus pour la troisième ligne de notre matrice, en recherchant les coefficients de 𝑝, 𝑞 et 𝑟 dans notre troisième équation. Nous voyons maintenant que ce sont deux, cinq et six. Nous avons donc identifié notre matrice de coefficients. C’est deux, deux, quatre ; moins un, moins un, moins un ; et deux, cinq, six.
Nous allons ensuite considérer le vecteur 𝐱. C’est une matrice de variables. Donc nous devons lister les inconnues de notre équation. Ce sont 𝑝, 𝑞 et 𝑟. Et il est très important que nous les écrivions dans cet ordre. Il faut que lorsque nous multiplions la matrice 𝐴 par le vecteur colonne 𝐱, nous obtenions les expressions d’origine deux 𝑝 plus deux 𝑞 plus quatre 𝑟, moins 𝑝 moins 𝑞 moins 𝑟, et ainsi de suite. Si nous mélangions ces inconnues, nous n’aboutirions pas à la même équation.
Enfin, nous nous intéressons à la matrice des constantes 𝐛 qui contient toutes les constantes de nos équations. Encore une fois, nous devons les donner dans le bon ordre. Et donc nous constatons que le vecteur 𝐛 est 4, 14, 10. Nous écrivons cela comme une équation matricielle unique en la replaçant sous la forme 𝐴𝐱 égale 𝐛. Et en le faisant, nous voyons que l’équation matricielle que nous cherchons est deux, deux, quatre ; moins un, moins un, moins un ; deux, cinq, six fois le vecteur 𝑝, 𝑞, 𝑟 égale le vecteur 4, 14, 10.
Maintenant que nous avons vu comment exprimer le système sous la forme d’une équation matricielle, voyons comment nous pouvons utiliser la matrice inverse pour résoudre un système de trois équations.
Résolvez l’équation de la matrice donnée en utilisant l’inverse d’une matrice.
Rappelez-vous, étant donné une équation matricielle 𝐴𝐱 égale 𝐛, où 𝐱 et 𝐛 sont des matrices colonnes, nous pouvons résoudre en multipliant les deux côtés par l’inverse de 𝐴. Bien sûr, l’ordre a de l’importance lors de la multiplication, nous l’écrivons donc comme indiqué. Mais puisque l’inverse de 𝐴 fois 𝐴 est simplement la matrice identité, nous constatons que cela devient 𝐱 égal à l’inverse de 𝐴 fois 𝐛. Définissons donc la matrice 𝐴 comme cette matrice carrée dans notre question. Le vecteur colonne 𝐱 est la matrice des variables et 𝐛 est la matrice des constantes. Et cela signifie que nous pouvons résoudre cette équation en trouvant l’inverse de notre matrice 𝐴. Alors, comment pouvons-nous trouver l’inverse d’une matrice trois par trois ?
Une méthode que nous connaissons consiste à étendre la matrice 𝐴 avec la matrice identité. Lorsque nous le faisons, cela ressemble un peu à ceci. Et notre travail consiste à effectuer des opérations de ligne élémentaires jusqu’à ce que la matrice 𝐴 devienne la matrice identité. Notez bien sûr que ce n’est pas la seule méthode que nous pouvons choisir de trouver l’inverse d’une matrice. C’est tout à fait une préférence personnelle et tant que nous obtenons la même valeur pour l’inverse, la méthode que nous choisissons n’a vraiment pas d’importance.
Nous définissons donc chacune de nos lignes comme indiqué. Et rappelez-vous, nous pouvons ajouter ou soustraire les lignes ou les multiplier par des scalaires. Nous pouvons même échanger des lignes. Et c’est généralement un peu comme résoudre un casse-tête. Il n’y a pas nécessairement un seul chemin que nous pouvons emprunter. La première chose que nous allons faire est d’ajouter les valeurs de la ligne 𝑟 deux à toutes les valeurs de la ligne 𝑟 un. Et donc les valeurs de 𝑟 deux et 𝑟 trois vont rester inchangées pour le moment. Un plus un égale deux, moins un plus un égale zéro, et moins un plus moins un égale moins deux. Bien sûr, nous devons faire la même chose du côté droit. Un plus zéro égale un, zéro plus un égale un, et zéro plus zéro égale zéro.
Ensuite, nous allons soustraire chacun des éléments de la deuxième ligne des éléments de la troisième ligne. Cela aura pour effet de rendre cet élément et cet élément égaux à zéro. Et cela rendra cet élément égal à un, ce qui est vraiment utile. C’est la dernière ligne de la matrice identité.
Bien sûr, dans ce cas, 𝑟 un et 𝑟 deux restent inchangés. Un moins un égale zéro, un moins un égale zéro et zéro moins moins un égale un. Ensuite, sur le côté droit, nous obtenons zéro, moins un et un. Maintenant, nous pouvons remarquer que si nous doublons chacun des éléments de la troisième ligne et les ajoutons aux éléments de la première ligne, nous allons éliminer deux des éléments. Cet élément restera nul et deviendra nul. Deux plus deux fois zéro égale deux, zéro plus deux fois zéro égale zéro et moins deux plus deux fois un égale zéro. Nous répétons le processus sur le côté droit. Nous en obtenons un ici, moins un ici et deux ici.
Cela a vraiment l’air bien jusqu’à présent. Nous remarquons que notre ligne du bas ressemble déjà à la matrice identité. Et nous pouvons remarquer que si nous divisons par deux tous les éléments de la ligne supérieure, cela ressemblera également à la matrice identité. Faisons donc cela. Lorsque nous effectuons cette étape, nous obtenons un, zéro, zéro comme première ligne du côté gauche. Puis nous divisons par deux chacun des éléments sur le côté droit. Nous obtenons un demi, moins un demi, puis un demi de deux soit un. La première ligne et la dernière ligne sont donc superbes.
Passons à la ligne du milieu. Nous pouvons remarquer que si nous soustrayons la ligne un de la ligne deux, cet élément deviendra nul. Mais aussi si nous ajoutons la ligne trois à la ligne deux, cet élément deviendra également nul. Cela nous donne la ligne du milieu dont nous avons besoin sur le côté gauche. Répétons le processus sur le côté droit. Le premier élément de cette ligne sera zéro moins un demi plus zéro, soit moins un demi. Ensuite, nous obtenons un moins moins un demi plus moins un, soit un demi. Et enfin, nous avons zéro moins un plus un, soit zéro.
Et maintenant, nous avons la matrice identité sur le côté gauche. La matrice que nous avons à droite est donc l’inverse de 𝐴. Et nous sommes maintenant prêts à résoudre l’équation. Libérons de l’espace. Nous savons que la matrice des variables 𝐱 sera égal à l’inverse de 𝐴 fois la matrice des constantes 𝐛. Ce qui est comme indiqué. Nous pouvons maintenant dire que 𝑥 sera égal au produit scalaire des éléments de la première ligne de notre matrice inverse 𝐴 et des éléments du vecteur colonne 𝐛. Donc 𝑥 sera un demi fois neuf plus moins un demi fois moins 11 plus un fois six, ce qui est égal à 4.5 plus 5.5 plus six, soit 16.
On peut alors faire la même chose pour 𝑦. C’est le produit scalaire des éléments de la deuxième ligne et de notre vecteur colonne 𝐛. Donc c’est moins un demi fois neuf plus un demi fois moins 11 plus zéro fois six. Cela fait moins 4.5 moins 5.5, ce qui est bien sûr égal à moins 10. Nous faisons maintenant cela une fois de plus pour trouver la valeur de 𝑧. C’est le produit scalaire de ces éléments de cette ligne avec ces éléments dans ce vecteur. Cela fait zéro fois neuf plus moins un fois moins 11 plus une fois six, soit 11 plus six ou 17. Nous avons donc résolu notre équation. Nous avons trouvé que 𝑥 est égal à 16, 𝑦 est égal à moins 10 et 𝑧 est égal à 17.
Dans notre dernier exemple, nous allons combiner ces deux exemples pour nous aider à utiliser des matrices pour résoudre un système d’équations.
Utilisez des matrices pour résoudre le système d’équations suivant.
Rappelez-vous, si nous pouvons écrire notre système d’équations sous la forme 𝐴𝐱 égale 𝐛, où 𝐴 est la matrice de coefficients, 𝐱 est le vecteur colonne qui contient toutes les variables, et 𝐛 est la matrice des constantes, alors nous pouvons multiplier les deux côtés de cette équation par l’inverse de 𝐴. Et lorsque nous le faisons, nous constatons que la matrice des variables 𝐱 est égale à l’inverse de 𝐴 fois 𝐛.
Donc pour résoudre notre système d’équations, nous devons l’écrire sous cette forme, puis trouver l’inverse de notre matrice de coefficients. Nous avons trois équations à trois variables. Et donc la matrice 𝐴 va être de trois par trois. Nous allons lister les coefficients de nos variables dans l’ordre de notre première équation. Ce sont moins un, huit et moins trois. Ce sont simplement les coefficients indiqués.
Dans notre deuxième équation, ce sont quatre, moins trois et huit. Et dans notre troisième équation, ce sont 6, moins 12 et 19. Alors le vecteur 𝐱 contient toutes nos variables. Ce sont 𝑥, 𝑦, 𝑧. Et bien sûr, notre matrice des constantes contient nos constantes moins 10, 12 et 18. Notre premier travail consiste donc à trouver l’inverse de la matrice 𝐴.
Il y a bien sûr un certain nombre de façons de le faire. L’une consiste à l’étendre avec la matrice identité et à effectuer des opérations de ligne élémentaires. Nous pourrions même choisir d’utiliser une calculatrice. Mais rappelons-nous comment nous pouvons utiliser la méthode de la matrice adjointe. Nous commençons par trouver la matrice des mineurs. Nous ignorons les valeurs de la ligne et de la colonne que nous examinons et calculons le déterminant des valeurs restantes. Donc pour le premier élément de la première ligne, nous allons faire moins 3 fois 19 moins 8 fois moins 12, soit 39. Nous ignorons ensuite tous les éléments de la première ligne et de la deuxième colonne. Et nous calculons 4 fois 19 moins 8 fois 6, soit 28. Enfin, nous ignorons les éléments de la première ligne et de la troisième colonne. Et nous calculons 4 fois moins 12 moins moins 3 fois 6. Et nous obtenons moins 30.
En continuant le processus, la matrice des mineurs est comme indiqué. Nous trouvons ensuite la matrice des cofacteurs en utilisant ce genre de modèle en damier. Cela implique de changer le signe du deuxième élément de la première ligne, du premier élément et du troisième élément de notre deuxième ligne et du deuxième élément de notre troisième ligne. Ensuite, nous calculons la matrice adjointe. Les éléments sur une diagonale restent les mêmes, puis nous échangeons simplement les positions de tous les autres. Ils traversent directement cette diagonale. Nous échangeons donc les moins 116 et moins 28, 55 et moins 30, et moins 4 et 36.
Ensuite, notre dernière étape consiste à multiplier cela par un sur le déterminant de 𝐴. Nous pouvons utiliser les valeurs de la matrice des mineurs pour le faire. Nous allons multiplier chacun des éléments de la première ligne de notre matrice d’origine par le cofacteur au même emplacement. Nous multiplions donc le moins 1 par 39. Nous soustrayons ensuite le produit de 8 et de 28. Puis nous ajoutons le produit de moins 3 et de moins 30. Le déterminant de 𝐴 est donc moins 173. Donc nous trouvons que l’inverse de 𝐴 est moins 1 sur 173 fois la matrice adjointe.
Libérons de l’espace, et nous pouvons maintenant résoudre notre système d’équations. 𝐱 est donc égal à l’inverse de 𝐴 fois 𝐛, soit comme indiqué. Nous pouvons multiplier chacun des éléments de l’inverse de 𝐴 par moins 1 sur 173. Ou bien nous pouvons le faire à la fin. Commençons par calculer le produit scalaire des éléments de la première ligne de notre inverse et le vecteur 𝐛. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons moins 1 sur 173 fois 39 fois moins 10 moins 116 fois 12 plus 55 fois 18, ce qui fait moins 792. Donc 𝑥 est moins 1 sur 173 fois moins 792, ce qui est identique à 792 sur 173.
Nous faisons ensuite la même chose pour 𝑦, cette fois en calculant le produit scalaire des éléments sur cette ligne avec notre vecteur, ce qui nous donne moins 1 sur 173 fois 196, ce qui fait moins 196 sur 173. Faisons cela pour 𝑧 en calculant le produit scalaire des éléments de la troisième ligne de l’inverse et le vecteur colonne 𝐛. Et cette fois, nous obtenons moins 1 sur 173 fois 210 ou moins 210 sur 173.
Nous avons donc trouvé les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Remettons-les sous forme matricielle. Il est en fait plus facile de le faire en sortant ce facteur constant de 1 sur 173. Nous avons donc résolu notre système d’équations. Sous forme matricielle, nous pouvons dire que 𝑥, 𝑦, 𝑧 est égal à 1 sur 173 fois le vecteur 792, moins 196, moins 210.
Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette leçon. Dans cette leçon, nous avons appris que nous pouvons représenter un système de trois équations sous la forme d’une équation matricielle. Si 𝐴 est la matrice de coefficients, 𝐱 est la matrice des variables et 𝐛 est la matrice des constantes, alors notre équation est de la forme 𝐴𝐱 égale 𝐛. Et en multipliant les deux côtés de cette équation par l’inverse de 𝐴, nous constatons que 𝐱 est égal à l’inverse de 𝐴 fois 𝐛.
Pour un système de trois équations linéaires de la forme 𝑎 un un 𝑥 plus 𝑎 un deux 𝑦 plus 𝑎 un trois 𝑧 est égal à 𝑏 un et ainsi de suite, la matrice de coefficients est 𝑎 un un, 𝑎 un deux, 𝑎 un trois ; 𝑎 deux un, 𝑎 deux deux, 𝑎 deux trois ; 𝑎 trois un, 𝑎 trois deux, 𝑎 trois trois. La matrice des variables est 𝑥, 𝑦, 𝑧. Et la matrice des constantes est 𝑏 un, 𝑏 deux, 𝑏 trois.
