Transcription de la vidéo
Deux particules de poids huit newtons et 18 newtons sont séparées par une distance de 39 mètres. Calculez la distance entre la particule de poids huit newtons et le centre de gravité du système.
Le centre de gravité d’un système est la position moyenne des composants dans ce système, pondérée par leur poids. Donc, en général, le centre de gravité aura tendance à être plus proche des composants plus lourds et plus loin des composants plus légers. Nous pouvons calculer la position du centre de gravité avec une formule presque identique à la formule du centre de masse. En particulier, pour trouver la coordonnée 𝑥 du centre de gravité, pour chaque composante, nous multiplions son poids par sa coordonnée 𝑥, puis nous additionnons toutes ces valeurs et divisons cette somme par le poids total du système.
Pour trouver le centre de gravité de toute autre composante, il suffit de remplacer le 𝑥 par cette composante, disons 𝑦. Et pour en faire la formule du centre de masse, nous remplaçons simplement chaque poids par la masse correspondante. Maintenant, on ne nous donne pas les coordonnées de ces deux particules, seulement leur poids et la distance entre elles. Mais ce n’est pas grave, car tout ce que nous cherchons c’est une distance, non pas des coordonnées. De plus, comme deux points se trouvent toujours sur une ligne droite, nous pouvons dessiner cette ligne comme horizontale, puisque, encore une fois, nous ne nous soucions pas des coordonnées particulières, mais de la distance.
Ici, nous avons dessiné nos deux particules aux deux extrémités d’une ligne horizontale. L’avantage d’avoir une ligne horizontale est que cela signifie qu’il suffit de calculer le centre de gravité dans la coordonnée 𝑥. Nous n’avons donc besoin que d’un seul calcul. Mais quelles sont les coordonnées 𝑥 de ces deux particules ? Tout ce que nous savons, c’est que la distance entre eux est de 39 mètres. Peu importe ce que sont les coordonnées 𝑥. Si la coordonnée 𝑥 de la particule de huit newtons est 𝑎, alors la coordonnée 𝑥 de la particule de 18 newtons sera 𝑎 plus 39.
Lorsque nous utilisons ces deux coordonnées 𝑥 et les deux poids pour écrire la formule du centre de gravité, nous constatons que le centre de gravité est situé quelque part ici plus près de 18 newtons que de huit newtons. Mais la coordonnée 𝑥 de cette position sera 𝑎 plus un certain nombre 𝑑, où 𝑑 est indépendant de 𝑎. Mais cela signifie que la distance entre la particule de huit newtons et le centre de gravité, que nous recherchons, sera 𝑎 plus 𝑑 moins 𝑎, ce qui est exactement 𝑑. Donc, puisque la réponse sera 𝑑, quelle que soit la valeur que nous choisissons pour 𝑎, nous pouvons choisir n’importe quelle valeur pour 𝑎 qui rendra nos calculs plus faciles. Nous pouvons aussi choisir 𝑎 comme étant égal à zéro.
Si tel est le cas, alors la coordonnée 𝑥 de la particule de huit newtons est zéro et la coordonnée 𝑥 de la particule de 18 newtons est zéro plus 39 ou juste 39. Il y a deux avantages à ce choix. Premièrement, puisque tout ce qui est multiplié par zéro est toujours nul, avoir une coordonnée 𝑥 de zéro éliminera un terme du numérateur de notre somme. Deuxièmement, le résultat que nous obtiendrons, 𝑎 plus 𝑑, sera plutôt zéro plus 𝑑 ou simplement 𝑑. Donc, en laissant la particule de huit newtons être à la position 𝑥 égale zéro, nous aurons non seulement simplifié notre équation du centre de gravité. Mais aussi, le résultat que nous obtiendrons sera exactement la distance que nous recherchons.
Très bien, remplaçons par quelques valeurs. Au numérateur, nous avons huit newtons fois zéro mètre plus 18 newtons fois 39 mètres. Et au dénominateur, nous avons huit newtons plus 18 newtons. Huit fois zéro est zéro et 18 fois 39 est 702. Donc, le numérateur est juste 702. Et au dénominateur, huit plus 18 est 26. 702 divisé par 26 est 27. Et puisque les unités du numérateur sont les newtons fois mètres alors que le dénominateur est en newtons seulement, cette réponse sera en mètres. Donc, 27 est la coordonnée 𝑥 du centre de gravité de notre système. Mais comme nous l’avons vu, cette coordonnée 𝑥 est aussi exactement la distance que nous recherchons. Ainsi, la particule de huit newtons se trouve à 27 mètres du centre de gravité du système.
