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Sachant que 𝐮 est le vecteur deux, moins trois; que 𝐯 est le vecteur moins cinq, quatre; et que 𝐰 est le vecteur trois, moins un, déterminez les composantes de 𝐮 plus 𝐯 plus 𝐰.
Dans cette question, on nous donne trois vecteurs, le vecteur 𝐮, le vecteur 𝐯 et le vecteur 𝐰. On nous les donne en fonction de leurs composantes. Nous devons trouver la somme de ces trois vecteurs. Nous avons différentes options pour y arriver. Par exemple, nous pourrions tracer nos vecteurs 𝐮, 𝐯 et 𝐰, puis les additionner graphiquement. Cependant, comme on nous donne 𝐮, 𝐯 et 𝐰 en function de leurs composantes, il sera plus facile d’additionner leurs composantes. Nous allons donc commencer par écrire notre somme en entier. Nous avons 𝐮 plus 𝐯 plus 𝐰 est égal au vecteur deux, moins trois ajouté au vecteur moins cinq, quatre ajouté au vecteur trois, moins un.
Maintenant, nous avons plusieurs options différentes pour les additionner, elles nous donneront toutes la même réponse. Par exemple, nous pourrions ajouter le vecteur 𝐮 au vecteur 𝐯, puis ajouter le vecteur résultant au vecteur 𝐰. Alternativement, nous pourrions ajouter le vecteur 𝐯 au vecteur 𝐰 puis ajouter le vecteur résultant au vecteur 𝐮. Encore, nous pouvons simplement additionner les composantes de nos trois vecteurs. Peu importe la méthode que vous souhaitez utiliser. Vous pouvez faire selon votre préférence. Cependant, il convient de souligner la raison pour laquelle nous sommes autorisés à évaluer l’addition dans n’importe quel ordre : en effet, l’addition de vecteurs est associative, nous pourrions en fait le prouver. Tout ce que nous aurions à faire est d’utiliser la définition par composante de l’addition de vecteurs, puis d’utiliser l’associativité des nombres réels.
Dans cette vidéo, nous allons ajouter tous nos vecteurs ensemble en même temps. Pour ce faire, il suffit d’ajouter toutes les composantes correspondantes. Pour trouver la première composante de la somme, nous devons additionner toutes les premières composantes de nos trois vecteurs. Cela fait deux plus moins cinq plus trois. Pour trouver la deuxième composante de la somme, nous devons additionner toutes les secondes composantes de nos vecteurs. Cela donne moins trois plus quatre plus moins un. Maintenant, tout ce que nous devons faire est de calculer ensemble les deux expressions de nos composantes. Nous avons deux plus moins cinq plus trois est égal à zéro. Puis, moins trois plus quatre plus moins un est également égal à zéro. Cela nous donne notre réponse finale, qui est le vecteur zéro, zéro.
Par conséquent, nous avons pu montrer que si 𝐮 est le vecteur deux, moins trois, 𝐯 est le vecteur moins cinq, quatre et 𝐰 est le vecteur trois, moins un, alors les composantes du vecteur 𝐮 plus 𝐯 plus 𝐰 seront zéro, zéro.
