Video Transcript
Laquelle des suites suivantes n’est ni arithmétique ni géométrique ? Est-ce (A) un tiers, moins un tiers, moins un, moins cinq sur trois, etc. ? Est-ce (B) un demi, un quart, un huitième, un seizième, etc ? Est-ce (C) un demi, un, trois sur deux, deux, etc ? Est-ce (D) un, un demi, zéro, moins un demi, etc. Est-ce (E) un demi, un tiers, un quart, un cinquième, etc. ?
Pour commencer, nous devrions probablement nous rappeler la définition d’une suite arithmétique et d’une suite géométrique. Une suite arithmétique est une suite dans laquelle chaque terme peut être obtenu à partir du terme précédent en ajoutant une valeur constante que l’on appelle raison. En d’autres termes, si nous soustrayons le 𝑛-ième terme de la suite du terme d’indice 𝑛 plus un, où 𝑛 est un entier naturel, le résultat sera toujours égal à une constante 𝑑. D’autre part, une suite géométrique est une suite où chaque terme peut être obtenu à partir du terme précédent en le multipliant par une constante que l’on appelle également raison. Mathématiquement, pour tout entier naturel 𝑛, si nous divisons le terme d’indice 𝑛 plus un par le terme d’indice 𝑛, nous obtiendrons toujours la raison 𝑟.
Pour chacune de nos propositions, on nous a donné quatre termes de la suite et le reste des termes peut être supposé comme suivant le même modèle. Par conséquent, le moyen le plus simple de classer les propositions est de vérifier dans chaque cas si les termes donnés satisfont à l’un ou l’autre des critères indiqués à droite. Commençons par considérer la proposition (A).
Tout d’abord et pour faciliter les choses, nous pouvons noter les termes 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois et 𝑎 quatre. Nous pouvons alors vérifier si la suite est arithmétique en soustrayant chaque terme du terme suivant et en vérifiant si la différence reste constante. Pour 𝑎 deux moins 𝑎 un, nous avons moins un tiers moins un tiers, ce qui est égal à moins deux tiers. Pour 𝑎 trois moins 𝑎 deux, nous avons moins un moins moins un tiers, ce qui est la même chose que moins un plus un tiers ce qui est aussi égal à moins deux tiers. Enfin, pour être sûr, nous soustrayons 𝑎 quatre de 𝑎 trois, ce qui donne moins cinq tiers moins moins un, ce qui est aussi égal à moins deux tiers. Nous pouvons voir que la différence est chaque fois la même. Nous pouvons donc conclure que les termes satisfont aux critères requis pour être une suite arithmétique. Ainsi, nous pouvons écarter la proposition (A).
Considérons ensuite la proposition (B). Nous pouvons nommer les termes 𝑏 un, 𝑏 deux, 𝑏 trois et 𝑏 quatre. De la même manière que précédemment, nous pouvons déterminer les différences entre les termes successifs pour voir si la suite est arithmétique. Cependant, si nous considérons juste les deux premières différences, nous pouvons voir qu’elles ne sont pas les mêmes. En fait, elles deviennent de plus en plus petites. Examinons donc plutôt si la suite est géométrique. Nous le faisons en calculant les rapports entre deux termes successifs et en les comparant en commençant par 𝑏 deux sur 𝑏 un qui est égal à un quart sur un demi. Nous pouvons évaluer ceci en mettant le quatre au dénominateur et le deux au numérateur, ce qui nous donne deux sur quatre, ce qui se simplifie en un demi.
Ensuite, nous avons 𝑏 trois sur 𝑏 deux, soit un huitième sur un quart. En utilisant la même technique que précédemment, cela donne quatre sur huit, qui est encore égal à un demi. Nous pouvons ensuite confirmer car nous obtenons également un demi pour le rapport de 𝑏 quatre sur 𝑏 trois. Puisque le rapport est le même entre deux termes successifs, cela signifie que nous avons une suite géométrique. Par conséquent, nous pouvons également éliminer la proposition (B).
Maintenant que nous nous sommes familiarisés avec la procédure générale, considérons une approche abrégée pour aborder les propositions restantes. Pour la proposition (C), nous avons comme termes un demi, un, trois sur deux et deux. Nous pouvons remarquer que chaque terme peut être obtenu à partir du terme précédent en ajoutant un demi. Puisqu’il y a une différence constante entre deux termes successifs, cela signifie que nous avons une suite arithmétique. Nous pourrions également vérifier ceci en utilisant la procédure précédente consistant à soustraire chaque terme du terme suivant de la suite. Ainsi, la proposition (C) est exclue.
Considérons maintenant la proposition (D). En listant les termes un, un demi, zéro et moins un demi, nous pourrions remarquer que cette suite est en fait similaire à la précédente. La différence est que cette fois, nous soustrayons un demi à chaque fois plutôt que de l’ajouter. Cependant, il s’agit toujours d’une suite arithmétique puisque la différence est toujours constante entre deux termes successifs. Nous pouvons donc l’écarter.
À ce stade, nous devrions nous attendre à ce que notre dernière proposition ne soit ni une suite arithmétique ni une suite géométrique, mais vérifions-le pour nous en assurer. Pour faciliter les choses, nous noterons les termes 𝑒 un à 𝑒 quatre. Prenons simplement les deux premiers couples de termes successifs pour en calculer la différence puisque nous ne nous attendons pas à ce que la suite soit arithmétique. Pour 𝑒 deux moins 𝑒 un, nous avons un tiers moins un demi. Nous pouvons soustraire ces fractions en les mettant au même dénominateur. Ainsi, nous avons deux sixièmes moins trois sixièmes, ce qui est égal à moins un sixième. Cependant, pour 𝑒 trois moins 𝑒 deux, nous avons un quart moins un tiers, ce qui est égal à trois douzièmes moins quatre douzièmes, ce qui nous donne un douzième. Nous n’avons pas besoin de calculer la troisième différence, car il est déjà clair que nous n’avons pas une différence constante entre deux termes successifs.
Vérifions maintenant si les termes vérifient la propriété d’une suite géométrique. Nous avons d’abord 𝑒 deux sur 𝑒 un, soit un tiers sur un demi. En mettant trois au dénominateur et deux au numérateur, nous obtenons deux tiers. Pour le deuxième rapport, nous avons un quart sur un tiers, soit trois quarts. Puisque le rapport entre deux termes successifs n’est pas constant, cette suite ne peut pas être géométrique. En conclusion, puisqu’il s’agit de la seule suite qui ne soit ni arithmétique ni géométrique, la bonne réponse est la proposition (E).
