Fiche explicative de la leçon: Introduction aux suites

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier une suite, et à savoir certaines des propriétés communes des suites.

Une des notion fondamentale en mathématiques est celle des « suite » ; une suite est généralement considérée comme étant une liste ordonnée de nombres. On peut citer quelques exemples de suites fréquemment utilisées, comme la suite des entiers , la suite des nombres carrés , d’autres suites reconnaissables telles que .. Ce sont des exemples de suites où il y a une infinité d’éléments, bien qu’on puisse prendre un sous-ensemble fini de ces éléments et qu’il représenterait de même une suite. Il est important de noter que la suite n’est pas la même que la suite et, en ce sens, la notion de suite est distincte de celle d’un ensemble où l’ordre des éléments n’a pas d’importance. Une autre distinction est que, contrairement à un ensemble, une suite mathématique peut avoir des éléments répétés.

La notion de suite est si large qu’il serait inutile d’essayer de donner une introduction correcte dans les limites de cette fiche explicative. Au lieu de chercher une introduction exhaustive, on se concentrera uniquement sur deux types des suites les plus courantes en mathématiques et dans de nombreux domaines connexes : les suites arithmétiques et les suites géométriques. Dans ces deux cas, il s’agit d’exemples de suites où chaque terme résulte d’une combinaison d’un ou plusieurs termes précédents ; et on parle souvent de suites définies « par itération » ou « par récurrence ». Ces types de suites ont un nombre significatif de caractéristiques et d’applications, comme nous l’indiquerons tout au long de la fiche explicative. Nous commencerons par les suites arithmétiques avant de passer aux suites géométriques plus tard dans cette fiche explicative.

Définition: Suite arithmétique

Une suite « arithmétique » est une suite où chaque terme peut être obtenu à partir du terme précédent en ajoutant une raison . En d’autres termes, la suite est arithmétique si pour toute valeur de où est considéré comme un entier naturel. Il peut souvent être plus utile de reformuler cette condition par pour toutes les valeurs de . En changeant , on peut alternativement exprimer ces conditions comme ou comme , sachant que cette dernière forme est utilisée comme représentation standard dans certaines publications.

Pour qu’une suite soit arithmétique, la propriété ci-dessus doit s’appliquer à chaque terme. Si, à une certaine partie de la suite, il y a une exception à cette propriété, alors la suite n’est pas arithmétique. Nous l’illustrerons avec l’exemple suivant. On considère la suite finie . On peut désigner le terme général par puis écrire chaque élément de cette suite en ordre, ce qui nous donne

On peut maintenant commencer à appliquer ce critère pour déterminer si cette suite est arithmétique ou non. En utilisant la propriété indiquée dans la définition ci-dessus, on fait le calcul suivant

On constate donc que pour toutes les valeurs de , ce qui signifie que cette suite est arithmétique.

On pourrait facilement prouver que cette propriété n’est pas valable si on ajoute un terme à la suite, ce qui n’est pas conforme aux conditions requises. Par exemple, on pourrait ajouter la valeur suivante à la suite : pour que la suite soit ainsi : . Dans ce cas, on aurait alors

Il est évident que ce n’est pas un cas où pour toutes les valeurs de , donc cette nouvelle suite n’est pas arithmétique.

La définition d’une suite arithmétique tient compte des cas où la raison est un nombre négatif, et dans de tels cas, chaque terme de la suite serait inférieur au terme qui l’a précédé. Cette définition comprend donc toutes les suites définies par itération où les termes sont directement liés les uns aux autres par addition d’un terme constant. Passons maintenant à un type différent de suite où chaque terme peut être obtenu par la multiplication du terme précédent (ce qui inclura implicitement la notion de division).

Définition: Suite géométrique

Une suite « géométrique » est une suite où chaque terme peut être obtenu à partir du terme précédent à l’aide de la multiplication par la raison . En d’autres termes, la suite est géométrique si pour toute valeur de , où est un entier naturel. Ce critère peut également être exprimé par pour toutes les valeurs de . En changeant , on peut alternativement exprimer ces conditions comme ou comme , sachant que cette dernière est utilisée comme représentation standard dans certaines publications.

Tout comme les suites arithmétiques, on expliquera la définition d’une suite géométrique à l’aide d’un exemple. On considère la suite finie , considérée comme étant les quatre premières puissances de 2 (y compris la puissance zéro). On désigne le terme général par , comme indiqué ci-dessus, puis on écrit chaque élément de cette suite en ordre, ce qui nous donne

Maintenant, on commence à vérifier s’il existe une raison qui peut être utilisée pour obtenir chaque terme à partir du terme précédent, comme nous l’indique la définition mentionnée d’une suite géométrique. On calcule

On constate que pour toutes les valeurs de , ce qui signifie qu’il s’agit d’une suite géométrique de raison .

Pour que cette propriété ne soit pas valable, on ajoute une cinquième valeur à cette suite, comme suit :

La nouvelle suite est . Si on détermine le rapport entre le cinquième et le quatrième terme, on trouve que

Ce résultat n’est pas égal à la raison ; par conséquent, on a trouvé un exemple où il n’est pas vrai que pour toutes les valeurs de . Cela implique que la nouvelle suite n’est pas géométrique.

Pour les suites arithmétiques, chaque terme est plus grand ou plus petit que le terme précédent (selon le signe de la raison , s’il est positif ou négatif). Cependant, pour les suites géométriques, ce n’est pas nécessairement le cas. Comme nous allons le voir dans les exemples suivants, une suite géométrique peut alterner entre des valeurs positives et négatives si la valeur de la raison est négative.

Lorsqu’on cherche à savoir si une suite est arithmétique ou géométrique, il y a peu de méthodes plus efficaces que l’application directe des deux définitions que nous avons données ci-dessus. Avec la pratique, reconnaître les suites les plus courantes et les classer correctement devient assez facile. En cas de doute, les définitions doivent alors être utilisées, comme nous le montrerons dans l’exemple suivant.

Exemple 1: Identifier une suite qui n’est ni arithmétique ni géométrique

Laquelle des suites suivantes n’est ni arithmétique ni géométrique ?

Réponse

Pour chacune des suites suivantes, nous ne donnerons qu’une brève description de nos méthodes utilisées pour déterminer si les suites sont géométriques ou arithmétiques. Nous supposerons que la suite continue jusqu’à l’infini tout en respectant les propriétés initiales indiquées.

Nous allons désigner cette suite par , où , , , . Nous allons d’abord vérifier si cette suite est arithmétique en effectuant les calculs suivants : Dans ce cas, nous pouvons voir qu’il y a une raison de , sachant que pour toutes les valeurs de . Par conséquent, cette suite est arithmétique.
Cette suite sera notée , où , , , . Nous pouvons d’abord vérifier si cette suite est arithmétique en examinant les différences entre les premiers termes. Dans ce cas, nous constatons que Même à partir des deux premiers calculs, il est clair que cette suite n’est pas arithmétique car ce n’est pas un cas où pour toutes les valeurs de . Nous allons maintenant déterminer si la suite est géométrique en effectuant les calculs Cette suite n’est pas géométrique car ce n’est pas un cas où pour toutes les valeurs de . Par conséquent, cette suite n’est ni arithmétique ni géométrique.
On désigne cette suite par , avec les valeurs suivantes : , , , . Comme les dénominateurs de ces termes correspondent aux puissances de deux, on suppose qu’il s’agit d’une suite géométrique. Pour vérifier cette hypothèse, on effectue le calcul suivant : Dans ce cas, on constate que ces termes forment une suite géométrique de raison .
Cette suite sera notée , et les quatre premiers termes sont , , , . Il semble que la suite est arithmétique, alors on effectuera les calculs suivants : Cette suite est arithmétique, et pour toutes les valeurs de .
Cette suite peut paraître arithmétique en examinant les trois premiers termes. En désignant la suite par , on trouve que , , , . En supposant que la suite est arithmétique, on fait le calcul suivant : Cette suite est également arithmétique, et pour toutes les valeurs de .

Cela signifie que le choix correct est (B), car c’est la seule suite qui n’est ni arithmétique ni géométrique.

L’ensemble image des suites dans l’exemple ci-dessus devrait donner une bonne indication sur la manière d’aborder ces types de problèmes. En général, nous pouvons souvent établir une hypothèse raisonnable sur la nature sous-jacente d’une suite en observant les premiers termes, puis en devinant si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l’un ni l’autre. Une fois que nous l'avons deviné, nous pouvons examiner les termes pour voir si notre hypothèse est correcte. Nous en donnerons un autre exemple dans la question suivante.

Exemple 2: Identifier le type de la suite lorsque ses termes sont donnés

Quelle est la nature de la suite :

Ni géométrique ni arithmétique
Géométrique et arithmétique
Géométrique uniquement
Arithmétique uniquement

Réponse

Les dénominateurs dans cette suite correspondent clairement à des puissances de 10 et on suppose alors avec grande certitude que cette suite est géométrique. On désigne la suite par et on note donc les quatre premiers termes , , , . On peut vérifier que cette suite est géométrique en calculant pour toutes les valeurs de , et voir si on obtient une raison. Les calculs sont

Comme prévu, cette suite est géométrique car pour toutes les valeurs de , où la raison est

La question ci-dessus portait sur une suite où les termes des dénominateurs semblent avoir un comportement semblable à une puissance. En général, si un comportement semblable à une puissance apparaît dans une suite, alors il s’agit plus probablement d’une suite géométrique plutôt que d’une suite arithmétique. Ce n’est pas une règle à suivre pour repérer les suites géométriques, car souvent les comportements précis de ces suites peuvent être dissimulés si les termes du numérateur ou du dénominateur sont particulièrement complexes.

Jusqu’à présent, dans cette fiche explicative, on n’a pas abordé l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une suite. On devrait se familiariser avec l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction, où l’ensemble de définition se réfère à l’ensemble des valeurs « d’entrée » et l’ensemble image se réfère à l’ensemble des valeurs « de sortie ». Lorsqu’on aborde des fonctions continues, on s’intéresse souvent à déterminer l’ensemble image étant donné un ensemble de définition. Pour les fonctions, on est souvent face à un ensemble de définition constitué d’une infinité de valeurs continues prises sur un certain intervalle de nombres réels (qui peut bien sûr inclure tous les nombres réels). Dans le cas des suites, l’ensemble de définition et l’ensemble image doivent plutôt être des ensembles discrèts. Souvent, il peut être utile de traiter le problème à l’aide de diagrammes, et cela nous permet d’utiliser notre compréhension des fonctions en termes d’ensemble de définition, ensemble image et représentations graphiques. Nous allons le démontrer dans l’exemple suivant.

Exemple 3: Comprendre l’ensemble image d’une suite infinie représentée par un graphique

Déterminez l’ensemble image de la suite arithmétique infinie représentée par le graphique ci-dessous.

Réponse

La question indique que la suite donnée est une suite arithmétique infinie, ce qui signifie que l’ensemble image (c’est-à-dire l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles) doit également être infini. Les points sur le graphique sont donnés sous forme de coordonnées et la suite est obtenue à l’aide des valeurs de l’ordonnée de chaque point d’entre d’eux. Si on nomme le terme général , alors on aurait

À ce stade, il est utile d’indiquer que les suites arithmétiques sont parfois appelées « suites linéaires », sachant que leurs points représentés auront la forme d’une droite lorsqu’ils sont tracés dans le plan cartésien. Dans ce cas, nous pouvons constater que les coordonnées indiquées ci-dessus peuvent être obtenues à l’aide de l’équation de la droite

où prend les valeurs 1, 2, 3 et 4. Cette droite peut ensuite être utilisée pour déduire d’autres points de la suite lorsque est un entier naturel.

L’ensemble image de la suite représente toutes les valeurs possibles, et on sait déjà que cette suite est infinie. Pour commencer à répondre à la question, on peut donc immédiatement supprimer tous les choix de suites finies, autrement dit les deux choix (C) et (D), sachant qu’ils n’ont que 2 termes et 4 termes respectivement. Il reste les choix (A), (B) et (E), que nous allons maintenant examiner à tour de rôle.

Le choix (A) fait référence à l’ensemble des nombres réels, qui est un ensemble continu de valeurs par opposition à une liste discrète. Pour cette seule raison, il est évident que le choix (A) ne peut pas représenter l’ensemble image de la suite donnée. Nous pouvons le prouver minutieusement et facilement en prenant un nombre réel quelconque qui n’apparaît pas dans la suite. Par exemple, disons le nombre réel 3. Étant donnée l’équation de la droite dans (2), il n’y a pas d’entier naturel qui peut donner la valeur de sortie 3. Par conséquent, ce nombre n’est pas un élément de l’ensemble image de la suite.

Même si le choix (B) se réfère à un ensemble discret de nombres, plutôt qu’à un ensemble continu, nous pouvons le rejeter en recourant au même raisonnement suivi pour le choix (A) en utilisant le nombre réel 3, ou tout entier positif qui n’apparaît pas dans la suite. Une autre méthode de le faire consiste à noter que le choix (B) semble représenter l’ensemble de définition de la suite, plutôt que l’ensemble image.

Vu l’élimination des autres choix, le choix (E) doit être la bonne réponse. Il correspond aux termes de la suite donnée dans l’équation (1), et les points de suspension indiquent que la suite se poursuit à l’infini.

L’ensemble de définition d’une suite représente les valeurs utilisées pour obtenir l’ensemble image. Ces valeurs doivent être une liste discrète d’entiers, où le premier terme de la suite est généralement noté . Ce n’est pas toujours le cas, et les termes d’une suite peuvent être obtenus en utilisant toutes les valeurs d’entrée et de sortie qui sont appropriées. Cependant, tous les éléments de l’ensemble de définition doivent être des entiers séparés par la même augmentation, égale à 1 unité, ce qui signifie que les entiers positifs représentent le choix naturel qui correspond à l’ensemble de définition dans la plupart des cas.

Exemple 4: Comprendre l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une suite infinie représentée par un graphique

On considère la suite finie , où deux valeurs sont manquantes. On peut considérer cette suite comme la fonction dont la représentation graphique est tracée ci-dessous.

Quel est l’ensemble de définition de la fonction ?
Quel est l’ensemble image de la fonction ?

Réponse

Partie 1

L’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs d’entrée possibles. Il est clair qu’il s’agit ici d’une suite linéaire, ce qui signifie que les valeurs de sortie peuvent être représentées par l’équation de la droite suivante : . À partir de la représentation graphique donnée, nous pouvons déduire que chaque point a une coordonnée positive. En outre, l’espace entre l’axe des et la coordonnée la plus à gauche semblent être les mêmes que celui qu’on repère entre les points tracés. Cela suggère que les valeurs des coordonnées sont sous la forme , où est un nombre positif. Avec de légères différences, les suites sont généralement déterminées par le premier élément, suivi de leur deuxième élément, suivi de leur troisième élément, et ainsi de suite. En d’autres termes, pour une suite , on désigne les éléments par , et ainsi de suite. En les regroupant ensemble, on déduit que l’ensemble de définition de la suite est .

Partie 2

Nous pouvons utiliser les coordonnées connues (maintenant) pour déterminer l’équation de la droite. Comme l’ensemble de définition est maintenant déterminé, nous pouvons écrire les coordonnées comme suit :

Nous pouvons utiliser deux de ces coordonnées pour déterminer l’équation de la droite. Par exemple, supposons que nous choisissions les deux coordonnées et , respectivement notées et . Il y a plusieurs façons de déterminer l’équation de cette droite, mais l’une d’entre elles consiste à résoudre pour déterminer la valeur de . En substituant les valeurs données, on obtient et la résolution de l’équation pour déterminer donne

On peut voir que cette droite, lorsque est un entier naturel, nous donnera les coordonnées des éléments de la suite qui nous a été donnée dans l’énoncé de la question. On sait déjà que l’ensemble de définition de la fonction est et on peut maintenant décider de substituer les éléments de cet ensemble dans l’équation de la droite donnée (3). Par exemple, substituer dans cette équation donne , et donc la coordonnée . De même, en substituant , on obtient , et donc la coordonnée . Nous pouvons continuer ce processus pour reproduire tous les éléments de la suite qui ont été indiqués dans l’énoncé.

Les éléments inconnus restants de la suite sont les sixième et septième valeurs d’entrée, qui peuvent être obtenus maintenant en utilisant l’équation (3). D’abord, nous substituons pour nous donner puis nous substituons ce qui donne . Cela nous donne respectivement les deux coordonnées et . À partir de ces éléments déterminés maintenant, l’ensemble image de la suite est bien évidemment .

Comme déjà indiqué dans le premier des deux exemples précédents, une étape utile dans de telles questions consiste souvent à transposer l’ensemble donné de points dans leurs coordonnées exactes. Dans le cas d’une suite arithmétique, on s’attend à ce que les points tracés sur le graphique aient la forme d’une droite, ce qui nécessaire car chaque terme successif d’une suite arithmétique est obtenu en ajoutant une raison fixe au terme précédent. Cela signifie que le « coefficient directeur » de la fonction est constant d’un point à un autre, ce qui implique que les points forment une droite. Toutefois, dans le cas d’une suite géométrique, c’est différent car chaque terme peut être obtenu à partir du terme précédent à l’aide de la multiplication par la raison. Si les termes d’une telle suite étaient tracés sous forme de coordonnées, alors la représentation graphique serait celle d’une fonction exponentielle (à condition que la raison soit positive et non égale à 1).

Exemple 5: Comprendre les suites représentées par des motifs

On considère le motif suivant.

Laquelle des suites suivantes représente le nombre de triangles bleus dans chaque terme de cette succession de motifs ?
Quel type de suite trouve-t-on en comptant le nombre de triangles bleus pleins dans le motif ci-dessus ?

Réponse

Partie 1

En observant la figure donnée, nous pouvons constater que le premier terme de la suite contient 2 triangles, le deuxième terme contient 6 triangles, le troisième terme contient 18 triangles, et le quatrième terme contient 54 triangles. Par conséquent, le choix correct pour la première partie de la question est le choix (C), qui est la suite . Nous allons désigner cette suite par , avec les premiers termes , , et .

Partie 2

Il s’avère clairement que cette suite n’est pas arithmétique, car la différence entre les termes augmente en lisant de gauche à droite. Ce comportement implique une forme de croissance exponentielle, ce qui indique que nous avons une suite géométrique. Pour vérifier cette hypothèse, nous allons effectuer les calculs suivants :

Ces calculs ont montré que pour toutes les valeurs possibles de , où est la raison. Cela confirme que la suite est géométrique.

Dans cette fiche explicative, nous avons brièvement discuté des propriétés des suites arithmétiques et géométriques ; ces concepts apparaîtront fréquemment lorsqu’on travaille avec tout type de suite. Parfois, nous sommes amenés à additionner tous les termes individuels de telles suites, appelées alors « séries » arithmétiques et géométriques. Ces deux concepts apparaissent de manière omniprésente dans divers domaines de mathématiques et de sciences. Pouvoir reconnaître et classer les deux types de suites est donc une compétence primordiale à maîtriser par tout mathématicien, vu leurs nombreuses applications qui ne devraient jamais être sous-estimées !

Points clés

Une suite est arithmétique si pour toutes les valeurs de . La valeur de est appelée la raison.
Une suite est géométrique si pour toutes les valeurs de . La valeur de est appelée la raison, ou simplement le rapport des termes.
Si les termes successifs n'ont pas le même signe, alors cette suite ne peut pas être arithmétique. La suite est plus probablement géométrique, même si ce n’est pas garanti et qu’il faudrait probablement effectuer des calculs supplémentaires.
Si les termes du numérateur ou du dénominateur de la suite semblent avoir un comportement semblable à une puissance, alors il est peu probable que ce soit une suite arithmétique et il s’agit plus probablement d’une suite géométrique.
L’ensemble de définition d’une suite est normalement l’ensemble des entiers positifs.
Lorsqu’elle est représentée graphiquement par rapport aux valeurs de l’ensemble de définition, la forme des coordonnées indique si la suite est arithmétique ou géométrique. Si la forme des coordonnées correspond à une droite, alors il s’agit probablement d’une suite arithmétique, tandis que si la forme est celle d’une fonction exponentielle, alors il s’agit probablement d’une suite géométrique (avec une raison positive et non égale à 1).