Vidéo de la leçon : Introduction aux suites Mathématiques

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier une suite, et à savoir certaines des propriétés communes des suites. En mathématiques, une suite est une liste ordonnée de termes. Dans cette vidéo, nous allons nous concentrer sur les suites numériques. Les suites courantes incluent les entiers un, deux, trois, quatre, etc., les nombres carrés un, quatre, neuf, 16, etc., ainsi que de nombreux autres nombres remarquables. L’ordre d’une suite a une importance. Par exemple, un, quatre, neuf, 16 n’est pas la même chose que un, neuf, quatre, 16. C’est une distinction essentielle entre une suite de nombres et un ensemble de nombres.

Dans cette vidéo, nous allons nous étudier deux types de suites : les suites arithmétiques et les suites géométriques. Une suite arithmétique est une suite dans laquelle chaque terme peut être obtenu en ajoutant une constante r, que l’on appelle la raison, au terme précédent. En d’autres termes, une suite est arithmétique si 𝑎 𝑛 plus un est égal à 𝑎 𝑛 plus r où 𝑎 𝑛 est le terme général et 𝑛 est un nombre naturel quelconque. 𝑎 𝑛 plus un est le terme après a n. En soustrayant 𝑎 𝑛 aux deux membres de cette équation, on obtient cette formule.

Considérons la suite trois, neuf, 15, 21, etc. Le premier terme de cette suite noté 𝑎 un est égal à trois, 𝑎 deux est égal à neuf, 𝑎 trois à 15 et 𝑎 quatre à 21. On peut prouver que cette suite est arithmétique en calculant la différence entre les paires de termes consécutifs. En soustrayant le premier terme au deuxième terme, on obtient neuf moins trois, ce qui fait six. 𝑎 trois moins 𝑎 deux est aussi égal à six. Et lorsque l’on soustrait le troisième terme, 𝑎 trois, au quatrième terme, 𝑎 quatre, on obtient à nouveau une réponse de six. La suite trois, neuf, 15, 21 est donc arithmétique avec une raison de six. Il est important de noter que la raison pourrait être négative, dans ce cas chaque terme de la suite serait inférieur au précédent.

Nous allons maintenant donner la définition d’une suite géométrique. Une suite géométrique est une suite dans laquelle chaque terme peut être obtenu en multipliant le terme précédent par une constante q, que l’on appelle également la raison. En d’autres termes, une suite est géométrique si 𝑎 𝑛 plus un est égal à 𝑎 𝑛 fois q. En divisant par 𝑎 𝑛, cela peut aussi s’écrire 𝑎 𝑛 plus un sur 𝑎 𝑛 égale la raison q. Considérons la suite trois, six, 12, 24, etc. On désigne à nouveau ces termes par 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois et 𝑎 quatre, respectivement. En divisant 𝑎 deux par 𝑎 un, on a six divisé par trois, ce qui est égal à deux. Lorsque l’on divise le troisième terme par le deuxième, le résultat est à nouveau deux.

Enfin, on obtient également une réponse de deux en divisant 𝑎 quatre par 𝑎 trois. Cela signifie que la raison est égale à deux et que la suite trois, six, 12, 24, etc. est géométrique. Pour des suites arithmétiques, nous avons vu que chaque terme est soit toujours plus grand, soit toujours plus petit que le terme précédent. Cela dépend du signe de la raison. Une suite géométrique peut en revanche alterner entre des valeurs positives et négatives. Cela se produit lorsque la raison q est négative. Par exemple, la suite trois, moins six, 12, moins 24, etc. est une suite géométrique de raison moins deux. Dans le premier exemple, nous allons vérifier si des suites sont arithmétiques, géométriques ou aucune des deux.

Lesquelles des suites suivantes ne sont ni arithmétiques ni géométriques ? Est-ce (A) un sur deux, un, trois sur deux, deux, et ainsi de suite. (B) Un sur deux, un sur trois, un sur quatre, un sur cinq, et ainsi de suite. (C) Un sur deux, un sur quatre, un sur huit, un sur 16, et ainsi de suite. (D) Un sur neuf, moins un sur trois, un, moins trois, etc. (E) Un, un sur trois, moins un sur trois, moins quatre sur trois, etc.

Nous allons commencer par rappeler les définitions des suites arithmétiques et géométriques. Il est cependant important de noter que nous recherchons la ou les suites qui ne sont pas de ce type. Une suite est arithmétique si 𝑎 𝑛 plus un moins 𝑎 𝑛 est égal à r. En d’autres termes, si la différence entre les termes consécutifs est constante. Voyons maintenant si les suites proposées répondent à ce critère. Soustraire le premier terme aux deuxième terme de la suite (A) donne un sur deux. Cela est également vrai lorsque l’on soustrait le deuxième terme au troisième terme et lorsque l’on soustrait le troisième terme au quatrième terme. Nous pouvons donc conclure que la suite un sur deux, un, trois sur deux, deux est une suite arithmétique de raison un sur deux.

En substituant les termes consécutifs de la suite (B), on constate que leur différence n’est pas constante. Cela signifie que ce n’est pas une suite arithmétique. Il en va de même pour les suites (C), (D) et (E). Il peut cependant être intéressant d’observer la suite (E) de plus près. Soustraire le premier terme au deuxième terme nous donne ici moins deux sur trois, et cela est également vrai lorsque l’on soustrait le deuxième terme au troisième terme. Lorsque l’on soustrait cependant le troisième terme au quatrième terme, on n’obtient pas une réponse de moins deux sur trois. Cela met en évidence qu’il est important de vérifier toutes les paires de termes successifs.

Nous allons maintenant rappeler la définition d’une suite géométrique. Une suite est dite géométrique si 𝑎 𝑛 plus un divisé par 𝑎 𝑛 est égal à la raison q. Le quotient des termes successifs doit donc être constant. En divisant les termes consécutifs de la suite (B), on a un sur trois divisé par un sur deux, un sur quatre divisé par un sur trois et un sur cinq divisé par un sur quatre. En rappelant que diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, on obtient les résultats deux sur trois, trois sur quatre et quatre sur cinq. Cela signifie que le quotient des termes consécutifs de la suite (B) n’est pas constant et que la suite n’est donc pas géométrique. Nous pouvons donc conclure que la suite (B) est une bonne réponse à la question. Elle ne peut pas être classée comme arithmétique ou géométrique.

Avant de conclure, vérifions tout de même si les suites (C), (D) et (E) sont des suites géométriques. Diviser les termes consécutifs de la suite (C) nous donne une raison égale à un sur deux. Cela signifie que cette suite est géométrique et n’est donc pas une bonne réponse. Diviser les termes consécutifs de la suite (D) nous donne également une raison, cette fois égale à moins trois. La suite un sur neuf, moins un sur trois, un, moins trois est géométrique. Enfin, en divisant les termes consécutifs de la suite (E), on constante que leur quotient n’est pas constant. Cela signifie que cette suite n’est pas géométrique et nous avons déjà établi qu’elle n’est pas arithmétique. Par conséquent, la suite un sur deux, un sur trois, un sur quatre, un sur cinq, et ainsi de suite et la suite un, un sur trois, moins un sur trois, moins quatre sur trois, et ainsi de suite ne sont ni arithmétiques ni géométriques.

Dans le prochain exemple, nous allons étudier l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une suite. Rappelons d’abord la définition de ces termes. L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable tandis que l’ensemble image se réfère à l’ensemble des valeurs de la fonction. Les suites sont des fonctions particulières où l’ensemble de définition et l’ensemble image doivent être des ensembles discrets. Dans le prochain exemple, la suite sera représentée sur un graphique.

Déterminez l’ensemble image de la suite arithmétique infinie représentée sur ce graphique. Est-ce (A) l’ensemble de tous les nombres réels. (B) L’ensemble un, deux, trois, quatre, etc. (C) L’intervalle fermé de moins huit à quatre. (D) L’ensemble quatre, zéro, moins quatre, moins huit. Ou (E) l’ensemble quatre, zéro, moins quatre, moins huit, etc.

La question indique que la suite donnée est arithmétique. On nous dit aussi qu’elle est infinie, ce qui signifie que l’ensemble image doit également être infini. On peut donc d’ores et déjà exclure les réponses (C) et (D) car ce sont des ensembles de valeurs finis. Les quatre points représentés sur la figure ont les coordonnées un, quatre ; deux, zéro ; trois, moins quatre et quatre, moins huit. Nous savons que l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble des valeurs de la fonction. Dans ce cas, les valeurs de 𝑇 𝑛 sont égales à quatre, zéro, moins quatre et moins huit. L’ensemble image de la suite arithmétique infinie représentée sur ce graphique est donc quatre, zéro, moins quatre, moins huit, etc. Cela signifie que la bonne réponse est (E).

L’option (B), l’ensemble des valeurs un, deux, trois, quatre, etc. est en fait son ensemble de définition car il s’agit de l’ensemble des valeurs de la variable n. Lorsque l’on étudie une suite, on sait que l’ensemble image doit être un ensemble de valeurs discret. Comme l’option (A), l’ensemble des nombres réels est continu, on peut exclure cette option. Cela confirme que l’option (E) est le bon choix.

Dans le dernier exemple, nous allons étudier une suite représentée par une figure.

On considère la figure ci-dessous. Laquelle des suites suivantes représente le nombre de triangles bleus dans chaque image successive de la figure ? Est-ce (A) deux, huit, 26, 80, et ainsi de suite. (B) Un, trois, neuf, 27, et ainsi de suite. (C) Deux, six, 18, 54, et ainsi de suite. (D) Deux, quatre, 12, 36, et ainsi de suite. Ou (E) deux, quatre, huit, 16, et ainsi de suite. Quel type de suite trouve-t-on en comptant le nombre de triangles bleus de la figure ci-dessus ?

Dans cette question, nous nous intéressons au nombre de triangles bleus dans chaque image, qui correspondent chacune à un terme d’une suite. Et nous avons cinq suites pouvant les représenter. Sur la première image, il est clair qu’il y a deux triangles bleus. Cela exclut immédiatement la suite (B) car le premier terme de cette suite est un. Sur la deuxième image, il y a six triangles bleus. Cela exclut les suites (A), (D) et (E) car leurs deuxièmes termes sont respectivement égaux à huit, quatre et quatre,. Jusqu’à présent, les deux premières images correspondent aux termes de la suite (C). Sur la troisième image, chacune des sections entourées a trois triangles bleus. Comme il y en a six, cela donne un total de 18 triangles bleus. Cela correspond encore une fois au troisième terme de la suite (C).

Sur la quatrième image, chacune des sections entourées a neuf triangles bleus, soit un total de 54. La suite qui représente le nombre de triangles bleus est donc deux, six, 18, 54, et ainsi de suite. Nous pouvons donc conclure que la bonne réponse est la suite (C).

La deuxième question nous demande de déterminer de quel type de suite il s’agit. Cela pourrait être une suite arithmétique, une suite géométrique, ou aucune des deux. On rappelle que la différence entre les termes consécutifs d’une suite arithmétique est constante. Ce n’est visiblement pas le cas pour cette suite. D’un autre côté, le quotient entre les termes consécutifs d’une suite géométrique est constant. Comme deux fois trois égale six, six fois trois égale 18 et 18 fois trois égale 54, la suite deux, six, 18, 54 a une raison égale à trois. Nous pouvons donc conclure que la suite représentant le nombre de triangles bleus de cette figure est une suite géométrique.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Une suite 𝑎 n est arithmétique si 𝑎 𝑛 plus un moins 𝑎 𝑛 est égal à r pour tous les entiers naturels 𝑛. La constante r est appelée sa raison. Une suite 𝑎 n est géométrique si 𝑎 𝑛 plus un divisé par 𝑎 𝑛 est égal à q pour tous les entiers naturels 𝑛 où q est la raison de la suite. Les suites peuvent être arithmétiques, géométriques ou aucune des deux. L’ensemble de définition d’une suite est l’ensemble discret des valeurs de la variable n, généralement l’ensemble des entiers positifs, alors que l’ensemble image d’une suite est l’ensemble discret des valeurs de ses termes. Lorsque ces couples de valeurs sont représentés sur un graphique, leur forme peut aider à identifier si la suite est arithmétique ou géométrique.