Video Transcript
Déterminez la limite de la fonction représentée lorsque 𝑥 tend vers moins deux.
On nous donne un graphique avec la courbe représentative d’une fonction. Nous devons déterminer la limite de cette fonction lorsque 𝑥 tend vers moins deux. Comme l’axe des 𝑦 est appelé 𝑓 de 𝑥, cette fonction sera appelée 𝑓 de 𝑥. Commençons par rappeler ce que veut dire la limite d’une fonction lorsque 𝑥 tend vers moins deux. Nous écrivons ceci comme la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥. Et il s’agit de la valeur à laquelle la fonction 𝑓 de 𝑥 se rapproche lorsque 𝑥 se rapproche de moins deux.
Autrement dit, lorsque nos valeurs de la variable d’entrée 𝑥 se rapprochent de plus en plus de moins deux, nous cherchons à voir ce qui arrive aux valeurs de la variable de sortie f de x. Nous savons que les valeurs de f de x se trouvent sur l’axe des 𝑦 et que les valeurs de x sont sur l’axe des 𝑥. Donc, repérons 𝑥 égal à moins deux sur l’axe des 𝑥. Pour voir ce qui se passe lorsque 𝑥 tend vers moins deux, commençons par regarder ce qui se passe lorsque 𝑥 tend vers moins deux par la gauche. C’est-à-dire, lorsque la valeur de x est inférieure à moins deux. Commençons par 𝑥 égal à moins quatre.
Lorsque nous prenons 𝑥 égal à moins quatre, la valeur de la fonction est cinq. 𝑓 de moins quatre est égal à cinq. Choisissons maintenant un autre point. Et si nous choisissons 𝑥 égal à moins trois, que se passe-t-il ? Nous pouvons voir que la valeur de la fonction est deux. 𝑓 de moins trois est égal à deux. Mais nous voulons savoir ce qui se passe lorsque la valeur de 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins deux. Et nous pouvons voir maintenant un point intéressant. Nous pouvons voir qu’il y a un petit cercle blanc sur la courbe, ce qui signifie que la fonction n’est pas définie lorsque 𝑥 est égal à moins deux.
Mais rappelons que lorsque nous disons que 𝑥 tend vers moins deux ou que 𝑥 se rapproche de moins deux, cela signifie que 𝑥 ne prend jamais la valeur moins deux. Autrement dit, lorsque nous cherchons des limites, nous ne nous intéressons pas à ce qui se passe en cette valeur, nous nous intéressons seulement à ce qui se passe autour de cette valeur. Et nous pouvons voir sur le graphique, que plus 𝑥 se rapproche de moins deux de gauche, plus la fonction se rapproche de un.
Mais on pourrait aussi se poser la question : que se passe-t-il si 𝑥 tend vers moins deux de droite ? Et en fait, nous avons un résultat très similaire. 𝑓 de zéro est égal à cinq ; 𝑓 de moins un est égal à deux. Et à mesure que les valeurs de 𝑥 se rapprochent de plus en plus de moins deux de droite, nous pouvons voir que la fonction se rapprochent de plus en plus de un. Donc, dans les deux cas, lorsque 𝑥 tend vers moins deux, la valeur de la fonction tend vers un.
Nous avons donc déterminé que la limite de la fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux est égale à un.
