Vidéo : Limites à partir de tableaux et de graphiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à évaluer la limite d’une fonction à l’aide de tableaux et de graphiques.

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Limites à partir de tableaux et de graphiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à évaluer la limite d’une fonction à l’aide de tableaux et de graphiques. Nous allons examiner divers exemples d’utilisation de tableaux et de graphiques afin d’évaluer les limites de différentes fonctions. L’utilisation de tableaux et de graphiques peut être un très bon moyen visuel de déterminer une limite. Mais avant de passer à l’utilisation de tableaux et de graphiques, rappelons ce qu’est une limite.

Ceci est une limite. On peut dire que c’est la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. Et quand nous envisageons cette limite, ce que nous voulons en fait est la valeur que 𝑓 de 𝑥 approche lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de 𝑎. Commençons par discuter de la manière dont nous pouvons utiliser un tableau pour déterminer une limite comme celle-ci. Pour ce faire, considérons l’exemple suivant.

Estimer la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥 dans le tableau donné.

Comme on peut le voir dans le tableau, nous avons donné des valeurs de 𝑥 qui se rapproche de plus en plus de moins deux par valeurs supérieures et inférieures. Et nous avons donné leur valeur correspondante 𝑓 de 𝑥. Commençons par examiner les valeurs 𝑥 inférieures à moins deux. Nous avons que 𝑓 de -2.1 est égal à 36.9. 𝑓 de moins 2.01 est égal à 36.09. 𝑓 de moins 2.001 est égal à 36.009. Ici, nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de plus en plus de deux. Nous devons considérer ce qui se passe avec nos valeurs 𝑓 de 𝑥. On peut voir très clairement que 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus de 36. Considérons maintenant la valeur 𝑥 juste au-dessus de moins deux. Nous avons que 𝑓 de moins 1.9 est égal à 35.1. 𝑓 de moins 1.99 est égal à 35.91. 𝑓 de moins 1.999 est égal à 35.991. Là encore, nous pouvons voir que nos valeurs 𝑥 se rapprochent de plus en plus de moins deux.

Comme cela se passe pour 𝑥, nous devons considérer ce qui se passe à 𝑓 de 𝑥. Notre 𝑓 de 𝑥 valeurs qui vont 35.1, 35.91 et 35.991. Par conséquent, il est sûr de dire que ces valeurs 𝑓 de 𝑥 tendent vers 36. Comme on peut le voir, 𝑥 approche moins deux dans les deux sens, la valeur que 𝑓 de 𝑥 approche est en accord avec l’autre. Elles sont toutes les deux égales à 36. Par conséquent, nous pouvons dire que lorsque 𝑥 tend vers moins deux, 𝑓 de 𝑥 s’approche de 36. Et si nous convertissons cela en notation mathématique, nous arrivons à notre estimation. Et c’est que la limite lorsque 𝑥 se rapproche de moins deux de 𝑓 de 𝑥 est égale à 36.

Considérons maintenant un autre exemple où nous devons déterminer la limite à partir d’un tableau, mais avec une légère différence.

Déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers cinq de 𝑥 carré et trois 𝑥 plus la racine carrée de 𝑥 moins un en évaluant la fonction en 𝑥 est égal à 4.9, 4.95, 4.99, 4.995, 4.999, 5.001, 5.005, 5.01, 5.05, et 5.1, au millième près.

Maintenant, notre première étape pour répondre à cette question est d’évaluer la fonction aux valeurs données 𝑥. Maintenant, la fonction que nous devons considérer est la fonction à l’intérieur de la limite. Et nous pouvons appeler cette fonction 𝑓 de 𝑥. Par conséquent, 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 carré plus trois 𝑥 sur la racine carrée de 𝑥 moins un. Tirons maintenant un tableau de valeurs pour les valeurs de 𝑥 dans la question ainsi que leur valeur correspondante 𝑓 de 𝑥. Et nous pouvons déterminer ces valeurs correspondantes 𝑓 de 𝑥 en plaçant simplement leurs valeurs 𝑥 dans 𝑓 de 𝑥.

Le remplacement 𝑥 est égal à 4.9 en 𝑥 au carré plus trois 𝑥 sur la racine carrée de 𝑥 moins un, on obtient alors que 𝑓 de 𝑥 est égal à 19.602. En substituant 4.95, on obtient que 𝑓 de 𝑥 est égal à 19.800. Il ne faut pas oublier d’arrondir nos valeurs de 𝑓 de 𝑥 à trois décimales, puisque c’est ce que la question nous a dit de faire. En continuant ainsi, nous constatons que 𝑓 de 4.99 est 19.960. 𝑓 de 4.995 est 19.980. 𝑓 de 4.999 est 19.996. En continuant ainsi sur les cinq valeurs restantes, nous obtenons que 𝑓 de 5.001 est 20.004. 𝑓 de 5.005 est 20.020. 𝑓 de 5.01 est 20.040. 𝑓 de 5.05 est 20.200. Et 𝑓 de 5.1 est 20.402.

Maintenant, nous évaluons la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche cinq. La valeur de cinq se situe entre les valeurs 4.999 et 5.001. Regardons maintenant la tendance des valeurs 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de cinq. Lorsque 𝑥 approche cinq par valeurs inférieures, on voit que les valeurs 𝑓 de 𝑥 se rapprochent de plus en plus de 20. Et si nous regardons les valeurs 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche cinq par valeurs supérieures, nous pouvons voir que ces 𝑓 de 𝑥 les valeurs approchent également 20.

Nous savons qu’ils approchent 20 depuis à chaque étape que nous nous rapprochons de cinq avec nos valeurs 𝑥, nous nous rapprochons de plus en plus de 20 avec notre valeur 𝑓 de 𝑥. Cependant, nous n’atteignons jamais réellement 20 des deux côtés. De là, on peut dire que lorsque 𝑥 tend vers cinq, 𝑓 de 𝑥 approche 20. Si on convertit en langage mathématique, nous atteignons notre solution. Ce qui donne la limite lorsque 𝑥 tend vers cinq, 𝑥 au carré plus trois 𝑥 sur la racine carrée de 𝑥 moins un est égal à 20.

Voyons maintenant comment nous pouvons déterminer la limite d’une fonction à l’aide d’un graphique. Considérez les exemples suivants.

Si le graphique représente la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 moins trois, déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers moins un de 𝑓 de 𝑥. Afin de déterminer la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche moins un, nous avons simplement besoin de regarder le graphique. Cependant, nous devons d’abord savoir ce que nous recherchons. On peut dire que la limite lorsque 𝑥 approche moins un de 𝑓 de 𝑥 est la valeur que 𝑓 de 𝑥 approche lorsque 𝑥 tend vers moins un. Nous devons considérer la courbe de 𝑓 de 𝑥 autour 𝑥 est égal à moins un. Nous pouvons voir que juste à droite de la fonction, lorsque 𝑥 approche moins un, 𝑓 de 𝑥 approche moins quatre.

Et maintenant, nous pouvons considérer 𝑓 de 𝑥 juste à gauche de moins un. Nous pouvons voir que la fonction fait la même chose, mais dans le sens opposé. Elle a tendance à approcher moins quatre. Par conséquent, en utilisant une définition verbale d’une limite, on peut dire que la limite lorsque 𝑥 approche moins un de 𝑓 de 𝑥 est égale à moins quatre.

Nous avons vu un exemple relativement simple d’utilisation d’un graphique pour déterminer une limite. Prenons un exemple un peu moins évident.

Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers deux des fonctions représentées par le graphique.

Maintenant, si nous regardons le graphique, on voit que la fonction est appelée 𝑓 de 𝑥. Et nous avons demande de déterminer la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux. En d’autres termes, c’est la limite lorsque 𝑥 tend vers deux 𝑓 de 𝑥. Cela peut également être décrit comme la valeur que 𝑓 de 𝑥 approche lorsque 𝑥 tend vers deux. Nous devons donc déterminer cette valeur de 𝑓 sur 𝑥 en utilisant notre graphique. Nous pouvons considérer que ce que 𝑓 de 𝑥 fait autour de la valeur de 𝑥 est égal à deux. Nous devrons considérer 𝑓 de 𝑥 à la fois à gauche et à droite de deux. Considérons 𝑓 de 𝑥 à droite de 𝑥 est égal à deux. Nous pouvons voir que 𝑥 se rapproche de plus en plus de deux, 𝑓 de 𝑥 diminue. Et il diminue vers ce point ici, qui a une valeur de trois. On peut donc dire lorsque 𝑥 tend vers deux de la droite, la valeur de 𝑓 de 𝑥 approche trois.

Considérons maintenant ce qui se passe à gauche de 𝑥 est égal à deux. On peut encore voir que 𝑥 se rapproche de plus en plus de deux, la valeur de 𝑓 de 𝑥 diminue. Et sur le graphique, nous pouvons voir qu’elle décroît vers la même valeur que 𝑓 de 𝑥 s’approche de la droite comme lorsque 𝑥 s’approche de deux. Et c’est une valeur de trois. Alors maintenant, nous pouvons dire que 𝑥 approche deux de la gauche, 𝑓 de 𝑥 approche trois. Puisque 𝑓 de 𝑥 se rapproche de la même valeur à gauche et à droite de deux, nous pouvons donc conclure que la valeur que 𝑓 de 𝑥 approche lorsque 𝑥 tend vers deux est égale à trois. Et donc, nous atteignons notre solution, qui est que la limite lorsque 𝑥 approche deux 𝑓 de 𝑥 approche trois.

Dans ce dernier exemple, nous avons vu comment utiliser un graphique pour déterminer la valeur d’une limite en un point, même si le graphique a un virage serré à cet endroit. Passons maintenant à un autre exemple.

Déterminer la limite lorsque 𝑥 approche deux de 𝑓 de 𝑥 si elle existe.

Ici, nous avons donné la courbe de 𝑓 de 𝑥, et nous essayons de déterminer la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux. Si nous essayons de déterminer la valeur de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à deux, nous pouvons voir que 𝑓 est, en fait, indéfinie. Cependant, cela ne signifie pas que nous ne pouvons pas déterminer la limite. Nous savons que la limite lorsque 𝑥 approche deux 𝑓 de 𝑥 est la valeur que 𝑓 de 𝑥 approche lorsque 𝑥 tend vers deux. Afin de déterminer cette limite, il faut simplement considérer 𝑓 de 𝑥 environ deux pas spécifiquement à deux. Considérons les valeurs de 𝑥 juste à droite et juste à gauche de 𝑥 est égal à deux.

Commençons par regarder 𝑓 de 𝑥 juste à gauche de 𝑥 est égal à deux. Nous pouvons voir que 𝑥 se rapproche de plus en plus de deux par valeurs inférieures, la valeur de 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus de trois. Et si l’on considère la valeur de 𝑥 juste à droite de 𝑥 est égal à deux, nous pouvons voir que 𝑥 se rapproche de plus en plus de deux à droite, la valeur de 𝑓 de 𝑥 diminue et se rapproche de trois. Comme 𝑓 de 𝑥 tend vers la même valeur lorsque 𝑥 approche deux à la fois à gauche et à droite et cette valeur est de trois, nous pouvons conclure que la limite lorsque 𝑥 approche deux de 𝑓 de 𝑥 est égal à trois. Dans ce dernier exemple, nous avons vu comment nous pouvons encore être en mesure de déterminer la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche une valeur particulière 𝑥, même si 𝑓 n’est pas définie en cette valeur particulière 𝑥.

Nous allons considérer un dernier exemple.

En utilisant le graphique ici, déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥.

Ici, nous avons la courbe de 𝑓 de 𝑥. Et on nous a demandé de déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers trois. Nous pouvons voir que, en 𝑥 est égal à trois, 𝑓 de 𝑥 est défini comme négatif de cinq. Cependant, lorsque nous trouvons la limite d’une fonction à un point particulier, la valeur de cette fonction à ce point n’a pas d’importance. Ce qui compte, c’est ce qui arrive à la fonction autour de ce point. En effet, la limite lorsque 𝑥 approche trois 𝑓 de 𝑥 est définie comme la valeur que 𝑓 de 𝑥 approche lorsque 𝑥 tend vers trois. Considérons ce qui se passe pour 𝑓 de 𝑥 à gauche et à droite de 𝑥 est égal à trois.

Si l’on considère 𝑓 de 𝑥 à gauche de 𝑥 est égal à trois, nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 augmente et se rapproche de la valeur de deux, lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de trois. Et lorsque 𝑥 approche trois de la droite, 𝑓 de 𝑥 augmente à nouveau. Et il se rapproche de plus en plus de la valeur de deux. Maintenant, cela nous dit ce que nous devons savoir sur 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers trois, puisque à la fois gauche et à droite, la valeur de 𝑓 de 𝑥 approche deux lorsque 𝑥 approche trois. Ainsi, même si la valeur de 𝑓 sur trois est égale à cinq négatives, la limite lorsque 𝑥 approche de trois des 𝑓 de 𝑥 est égale à moins deux, ce qui constitue notre solution à cette question. Dans cet exemple précédent, nous avons vu comment, même si une fonction peut être définie en un point différent à une valeur particulière 𝑥, la limite lorsque 𝑥 approche cette valeur particulière 𝑥 de 𝑓 de 𝑥 peut être différente de la valeur de 𝑓 de 𝑥 à ce point.

Nous avons maintenant couvert une variété d’exemples. Regardons quelques points clés de la vidéo.

Points clés

La limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est la valeur que 𝑓 de 𝑥 approche lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Lors de la recherche d’une limite à l’aide d’une table, nous considérons la 𝑓 de 𝑥 valeurs 𝑥 se rapproche de plus en plus de 𝑎 à la fois au- dessus et au- dessous. La valeur que 𝑓 de 𝑥 approche est égale à la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. Lors de la recherche de la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 d’un graphique, on considère les valeurs de 𝑓 de 𝑥 près 𝑎 pour déterminer la valeur que 𝑓 de 𝑥 approche lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Cette valeur est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥.

Un dernier point rapide est que l’utilisation de tableaux et de graphiques, en particulier de graphiques, est un moyen très visuel de déterminer les limites. Et cela peut vraiment vous aider à comprendre ce qu’est une limite d’une fonction. Si une question vous a demandé de déterminer la limite d’une fonction et ne vous en a pas donné la courbe, vous pouvez déterminer utile d’esquisser un graphique. Et puis, vous devriez pouvoir facilement repérer la limite de la fonction à ce moment-là.

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