Transcription de la vidéo
Limites à partir de tableaux et de graphiques
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à évaluer la limite d’une fonction à l’aide de tableaux et de graphiques. Nous étudierons plusieurs exemples d’utilisation de tableaux et de graphiques pour évaluer les limites de différentes fonctions. Les tableaux et les graphiques peuvent être une méthode visuelle très efficace pour déterminer une limite. Mais avant de passer à l’utilisation des tableaux et des graphiques, rappelons ce qu’est une limite.
Cette notation représente une limite. On peut dire que c’est la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Et cela représente la valeur vers laquelle 𝑓 de 𝑥 tend lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de 𝑎. Commençons donc par voir comment nous pouvons utiliser un tableau pour déterminer une limite. Nous allons pour cela étudier l’exemple suivant.
Estimez la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux à partir du tableau ci-dessous.
Comme nous pouvons le voir dans le tableau, nous avons des valeurs 𝑥 de plus en plus proches de moins deux des deux côtés. Et leurs valeurs correspondantes 𝑓 de 𝑥 sont également indiquées. Commençons par considérer les valeurs de 𝑥 inférieures à moins deux. On a 𝑓 de moins 2,1 égale 36,9. 𝑓 de moins 2,01 égale 36,09. Et 𝑓 de moins 2,001 égale 36,009. Dans ce cas, les valeurs de 𝑥 se rapprochent de plus en plus de moins deux. Et nous devons observer ce qui arrive aux valeurs 𝑓 de 𝑥. On peut voir très clairement que 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus de 36. Considérons maintenant les valeurs de 𝑥 supérieures à moins deux. On a 𝑓 de moins 1,9 égale 35,1. 𝑓 de moins 1,99 égale 35,91. Et 𝑓 de moins 1,999 égale 35,991. Encore une fois ici, les valeurs 𝑥 se rapprochent de plus en plus de moins deux.
Et on observe à nouveau ce qui arrive aux valeurs 𝑓 de 𝑥. Les valeurs de 𝑓 de 𝑥 sont 35,1, 35,91 et 35,991. On peut donc dire que ces valeurs de 𝑓 de 𝑥 tendent vers 36. Comme nous pouvons le voir, lorsque 𝑥 tend vers moins deux des deux côtés, la valeur vers laquelle 𝑓 de 𝑥 tend est la même des deux côtés. Et cette valeur est 36. Nous pouvons ainsi conclure que lorsque 𝑥 tend vers moins deux, 𝑓 de 𝑥 tend vers 36. On peut l‘écrire en notation mathématique comme ceci. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux est égale à 36.
Étudions maintenant un autre exemple où nous devons trouver la limite à partir d’un tableau, mais avec une légère différence.
Déterminez la limite de 𝑥 au carré plus trois 𝑥 sur racine carrée de 𝑥 moins un lorsque 𝑥 tend vers cinq en calculant les valeurs de la fonction en 𝑥 égale 4,9 ; 4,95 ; 4,99 ; 4,995 ; 4,999 ; 5,001 ; 5,005 ; 5,01 ; 5,05 et 5,1, arrondies au millième près.
La première étape pour répondre à cette question est de calculer la fonction pour les valeurs de 𝑥 données. La fonction que nous étudions est la fonction à l’intérieur de la limite. Et nous pouvons appeler cette fonction 𝑓 de 𝑥. 𝑓 de 𝑥 est ainsi égal à 𝑥 au carré plus trois 𝑥 sur racine carrée de 𝑥 moins un. Traçons à présent un tableau de valeurs pour les valeurs de 𝑥 données dans l’énoncé, ainsi que leurs valeurs 𝑓 de 𝑥 correspondantes. Et nous pouvons trouver ces valeurs correspondantes de 𝑓 de 𝑥 en remplaçant simplement 𝑥 par les valeurs données dans l’expression de 𝑓 de 𝑥.
En remplaçant 𝑥 par 4,9 dans 𝑥 au carré plus trois 𝑥 sur racine carrée de 𝑥 moins un, alors on trouve que 𝑓 de 𝑥 est égal à 19,602. En substituant 4,95, on obtient 𝑓 de 𝑥 égale 19,800. Mais nous ne devons pas oublier d’arrondir nos valeurs de 𝑓 de 𝑥 au millième près, comme demandé dans l’énoncé. En continuant ainsi, on trouve que 𝑓 de 4,99 égale 19,960. 𝑓 de 4,995 égale 19,980. 𝑓 de 4,999 égale 19,996. Et en poursuivant pour les cinq valeurs restantes, on trouve que 𝑓 de 5,001 égale 20,004. 𝑓 de 5,005 égale 20,020. 𝑓 de 5,01 égale 20,040. 𝑓 de 5,05 égale 20,200. Et enfin, 𝑓 de 5,1 égale 20,402.
Nous cherchons à présent la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers cinq. Le nombre cinq se situe entre les valeurs 4,999 et 5,001. Étudions donc le comportement des valeurs de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de cinq. Lorsque 𝑥 tend vers cinq depuis la gauche, on peut voir que les valeurs 𝑓 de 𝑥 se rapprochent de plus en plus de 20. Et en observant les valeurs de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers cinq depuis la droite, on constate que les valeurs de 𝑓 de 𝑥 tendent également vers 20.
On sait qu’elle tendent vers 20 car plus la valeur de 𝑥 se rapproche de cinq, plus les valeurs 𝑓 de 𝑥 se rapprochent de 20. Mais on n’atteint jamais exactement 20 des deux côtés. Nous pouvons donc conclure que 𝑓 de 𝑥 tend vers 20 lorsque 𝑥 tend vers cinq. Et nous pouvons l’écrire en notation mathématique pour formuler la réponse. La limite de 𝑥 au carré plus trois 𝑥 sur racine carrée de 𝑥 moins un lorsque 𝑥 tend vers cinq est égale à 20.
Voyons maintenant comment nous pouvons trouver la limite d’une fonction à l’aide d’un graphique. Observez le graphique suivant.
Sachant que cette représentation graphique correspond à la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins trois, déterminez la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un. Afin de trouver la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un, nous devons simplement observer sa représentation graphique. Mais commençons par expliquer ce que nous recherchons. On peut dire que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un est la valeur vers laquelle 𝑓 de 𝑥 tend lorsque 𝑥 tend vers moins un. Nous devons donc étudier la représentation graphique de 𝑓 autour de 𝑥 égale moins un. On peut voir sur la représentation graphique que lorsque 𝑥 tend vers moins un depuis la droite, 𝑓 de 𝑥 tend vers moins quatre.
Et on étudie ensuite 𝑓 de 𝑥 à gauche de moins un. On peut voir que la fonction tend vers la même valeur, mais dans le sens opposé. Elle tend vers moins quatre. Par conséquent, on peut dire que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un est égale à moins quatre.
Nous venons de voir un exemple relativement simple de la façon dont on peut utiliser un graphique pour trouver une limite. Étudions à présent un exemple un peu moins évident.
Déterminez la limite de la fonction représentée ci-dessous lorsque 𝑥 tend vers deux.
On peut voir sur le graphique que la fonction est 𝑓 de 𝑥. Et nous devons trouver la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux. Ou la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥. Il s’agit de la valeur dont 𝑓 de 𝑥 s’approche lorsque 𝑥 tend vers deux. Et nous devons trouver cette valeur en utilisant ce graphique. Nous pouvons alors étudier le comportement de 𝑓 de 𝑥 autour de la valeur 𝑥 égale deux. Nous devons pour cela étudier ses valeurs à gauche et à droite de deux. Commençons par les valeurs de 𝑓 de 𝑥 à droite de 𝑥 égale deux. On peut voir que lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de deux, 𝑓 de 𝑥 est décroissante. Et elle décroît vers ce point ici, qui a une valeur de trois. On peut donc dire que lorsque 𝑥 tend vers deux à partir de la droite, la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers trois.
Étudions à présent ce qui se passe à gauche de 𝑥 égale deux. On peut à nouveau voir que lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de deux, la valeur de 𝑓 de 𝑥 est décroissante. Et d’après le graphique, elle décroît vers la même valeur que celle vers laquelle 𝑓 de 𝑥 tend lorsque 𝑥 tend vers deux depuis la droite. Et cette valeur est trois. On peut donc dire que lorsque 𝑥 tend vers deux depuis la gauche, 𝑓 de 𝑥 tend vers trois. Puisque 𝑓 de 𝑥 tend vers la même valeur à gauche et à droite de deux, nous pouvons conclure que 𝑓 de 𝑥 tend vers trois lorsque 𝑥 tend vers deux. Par conséquent, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux est égale à trois.
Dans ce dernier exemple, nous avons vu comment utiliser un graphique pour trouver la valeur d’une limite en un point, même si la représentation graphique présente un coin en ce point. Passons maintenant à un autre exemple.
Déterminez la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux, si elle existe.
Nous avons ici la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥, et nous essayons de trouver la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux. Si nous essayons de trouver la valeur de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à deux, nous pouvons voir que 𝑓 n’est en réalité pas définie en cette valeur. Mais cela ne signifie pas que nous ne pouvons pas trouver sa limite. Nous savons que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 est la valeur vers laquelle 𝑓 de 𝑥 tend vers lorsque 𝑥 tend vers deux. Afin de trouver cette limite, nous devons simplement étudier 𝑓 de 𝑥 au voisinage de deux, et non exactement en deux. Considérons donc des valeurs de 𝑥 supérieures et inférieures à 𝑥 égale deux.
Et nous pouvons commencer par étudier 𝑓 de 𝑥 juste à gauche de 𝑥 égale deux. On peut voir que lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de deux depuis la gauche, la valeur de 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus de trois. Et si on considère les valeurs de 𝑥 juste à droite de 𝑥 égale deux, alors on peut voir que lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de deux depuis la droite, la valeur de 𝑓 de 𝑥 est décroissante et se rapproche de plus en plus de trois. Puisque 𝑓 de 𝑥 tend vers la même valeur lorsque 𝑥 tend vers deux depuis la gauche et la droite, et que cette valeur est trois, nous pouvons conclure que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux est égale à trois. Dans cet exemple, nous avons vu qu’il est possible de trouver la limite de 𝑓 de 𝑥 en un point, même si 𝑓 n’est pas définie en cette valeur de 𝑥.
Nous allons maintenant étudier un dernier exemple.
En utilisant le graphique ci-dessous, déterminez la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers trois.
Nous avons donc la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥. Et nous devons trouver sa limite lorsque 𝑥 tend vers trois. On peut voir qu’en 𝑥 égale trois, 𝑓 de 𝑥 est définie et est égale à moins cinq. Cependant, lorsque l’on détermine la limite d’une fonction en un point, la valeur de la fonction en ce point n’a pas d’importance. Ce qui importe, c’est ce se passe pour la fonction au voisinage de ce point. En effet, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers trois est définie comme la valeur vers laquelle 𝑓 de 𝑥 tend lorsque 𝑥 tend vers trois. Observons donc le comportement de 𝑓 de 𝑥 à gauche et à droite de 𝑥 égale trois.
En étudiant 𝑓 de 𝑥 à gauche de 𝑥 égale trois, on peut voir que 𝑓 de 𝑥 est croissante et se rapproche de plus en plus de la valeur deux. Et lorsque 𝑥 tend vers trois depuis la droite, 𝑓 de 𝑥 est à nouveau croissante. Et elle se rapproche de plus en plus de la valeur deux. Nous avons ainsi toutes les informations nécessaires sur 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers trois, car la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers deux lorsque 𝑥 tend vers trois depuis la gauche et depuis la droite. Par conséquent, même si 𝑓 de trois est égale à moins cinq, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers trois est égale à moins deux, ce qui répond à la question. Dans cet exemple, nous avons vu que la limite d’une fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers une valeur donnée peut être différente de la valeur de 𝑓 de 𝑥 en ce point.
Nous avons ainsi étudié plusieurs exemples différents. Passons à présent en revue quelques points clés de cette vidéo.
Points clés
La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est la valeur dont 𝑓 de 𝑥 s’approche lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Lors de la recherche d’une limite à l’aide d’un tableau, on étudie les valeurs de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de 𝑎 depuis la gauche et depuis la droite. La valeur vers laquelle 𝑓 de 𝑥 tend est égale à la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Lors de la recherche de la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 à partir d’un graphique, on observe les valeurs de 𝑓 de 𝑥 au voisinage de 𝑎 pour trouver la valeur vers laquelle 𝑓 de 𝑥 tend lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Cette valeur est égale à la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎.
Un dernier point rapide : l’utilisation de tableaux et de graphiques, en particulier de graphiques, est un moyen très visuel de déterminer des limites. Et cela peut vraiment vous aider à comprendre ce qu’est la limite d’une fonction. Si vous devez trouver la limite d’une fonction et que sa courbe représentative n’est pas fournie, il peut être utile de commencer par la tracer. Cela vous permettra de repérer facilement la limite de la fonction en ce point.