Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment évaluer la limite d’une fonction à l’aide des tableaux et des courbes représentatives.
La limite d’une fonction en un point donne des informations sur les images de cette fonction au voisinage de (mais non en) ce point. La définition formelle de la limite d’une fonction est la suivante.
Définition : Limite d’une fonction
Si les valeurs de tendent vers une valeur quand les valeurs de tendent vers (des deux côtés) mais pas nécessairement en , alors on dit que la limite de quand tend vers est égale à et on la note
Pour déterminer la limite d’une fonction en un point, on doit étudier les images de la fonction quand les valeurs de se rapprochent arbitrairement du point (des deux côtés). On peut étudier les images de la fonction de deux façons.
On peut tout d’abord estimer la limite d’une fonction grâce à sa courbe représentative. On rappelle que sur la courbe représentative d’une fonction définie par , un point de la courbe peut être exprimé par ( ; ) ; les ordonnées des points représentent donc les images de la fonction. Par conséquent, on peut étudier la limite d’une fonction en observant la forme de sa courbe représentative des deux côtés du point. Considérons par exemple la courbe représentative de .
On peut déterminer en étudiant les images de la fonction des deux côtés de la variable 0.
D’après la figure, on peut voir que .
Pour déterminer la valeur de la limite, nous devons faire tendre les valeurs de vers 0 et on peut le faire en prenant en compte plus de valeurs de la variable.
Sur la courbe représentative, on peut voir que plus les valeurs de s’approchent de 0 depuis la droite, plus les images s’approchent de 0. Nous devons alors vérifier si cela se produit bien des deux côtés. On peut à nouveau le faire graphiquement.
Une fois encore, lorsque les valeurs de la variable tendent vers 0 depuis la gauche, la courbe représentative suggère que les images tendent vers 0. Par conséquent, la courbe représentative nous suggère que .
Dans la méthode ci-dessus de recherche d’une limite, nous avons dû représenter graphiquement la fonction pour estimer ses images. On peut cependant trouver les valeurs exactes d’une fonction en les calculant. Si la limite d’une fonction existe, on peut l’étudier en prenant des points d’échantillonnage de la fonction.
Par exemple, on peut également déterminer en prenant des points d’échantillonnage. On doit vérifier si les valeurs de tendent vers une valeur quand les valeurs de tendent vers 0 (des deux côtés). On peut commencer par les valeurs de et on sait que . Les valeurs de doivent alors tendre vers 0. On calcule donc et , ce qui nous donne le tableau suivant.
| 0 | 0,01 | 0,1 | 1 | ||
| 0,0 001 | 0,01 | 1 |
On rappelle que l’on doit vérifier les deux côtés de la limite. On a , et . On peut ajouter ces informations au tableau.
| 0 | 0,01 | 0,1 | 1 | ||||||
| 1 | 0,01 | 0,0 001 | 0,0 001 | 0,01 | 1 |
Quand les valeurs de tendent vers 0 des deux côtés, les images de la fonction tendent vers 0. Par conséquent, le tableau suggère que .
Étudions un exemple d’utilisation d’un tableau de valeurs pour estimer une limite.
Exemple 1: Déterminer la limite d’une fonction à partir d’un tableau
Sachant que la limite existe, estimez à partir du tableau ci-dessous.
| 36,9 | 36,09 | 36,009 | 35,991 | 35,91 | 35,1 |
Réponse
On note si, quand les valeurs de se rapprochent arbitrairement de des deux côtés, les images tendent vers .
Dans le tableau, on peut voir que quand les valeurs de tendent vers depuis la droite, les images forment la suite 35,1 ; 35,91 ; 35,991 qui semble tendre vers 36. Une façon de visualiser cela est de calculer la différence entre chaque image et 36 :
| 35,991 | 35,91 | 35,1 | |||
On peut faire de même avec les valeurs de depuis la gauche.
| 36,9 | 36,09 | 36,009 | 35,991 | 35,91 | 35,1 | ||||
| 0,9 | 0,09 | 0,009 |
Une fois encore, le tableau suggère que ces valeurs tendent vers 36. Par conséquent, comme les images tendent vers 36 quand les valeurs de tendent vers de chaque côté, le tableau suggère que .
Dans le prochain exemple, nous allons étudier la limite d’une fonction à partir de sa représentation graphique.
Exemple 2: Déterminer la limite d’une fonction à partir de sa représentation graphique
Sachant que la représentation graphique ci-dessous correspond à la fonction , déterminez .
Réponse
On rappelle que la notation signifie que lorsque les valeurs de se rapprochent arbitrairement de des deux côtés, les images de la fonction doivent tendre vers . On peut vérifier chaque côté séparément sur la représentation graphique. On remarque d’abord que .
On choisit des valeurs de la variable qui tendent vers . Par exemple, et .
Quand la valeur de la variable tend vers , les images de la fonction tendent vers .
Pour étudier la limite quand tend vers , nous devons également vérifier les images de l’autre côté de . On peut le faire en utilisant la représentation graphique.
Une fois encore, quand les valeurs de la variable tendent vers depuis la gauche, les images de la fonction tendent vers .
Lorsque les valeurs de la variable tendent vers de chaque côté, on peut voir que les images tendent vers . Par conséquent, la représentation graphique indique que .
Dans le prochain exemple, nous allons déterminer la limite d’une fonction affine par morceaux à partir de sa représentation graphique.
Exemple 3: Déterminer la limite si elle existe d’une fonction à partir de sa représentation graphique
Déterminez la limite quand de la fonction représentée ci-dessous.
Réponse
On rappelle que dire que la limite d’une fonction quand est égale à une certaine valeur signifie que lorsque les valeurs de se rapprochent arbitrairement de 2 des deux côtés, les images de la fonction doivent tendre vers . On peut déterminer les images de la fonction sur sa représentation graphique, ce qui nous permet de déterminer sa limite de chaque côté de .
Sur la représentation graphique, on voit que lorsque les valeurs de tendent vers 2 depuis la droite, les images de la fonction semblent tendre vers 3. On peut faire de même depuis la gauche.
Une fois encore, quand les valeurs de s’approchent arbitrairement de 2 depuis la gauche, les images de la fonction semblent tendre vers 3. Comme les images semblent tendre vers 3 quand tend vers 2 de chaque côté,
Dans le prochain exemple, nous allons déterminer la limite d’une fonction à partir de sa représentation graphique en un point où la fonction n’est pas définie.
Exemple 4: Déterminer la limite si elle existe d’une fonction à partir de sa représentation graphique en un point de discontinuité apparente
Déterminez si elle existe.
Réponse
On note si les valeurs de tendent vers une valeur de quand les valeurs de tendent vers 2 des deux côtés, mais pas nécessairement en . On peut étudier les valeurs de quand tend vers 2 de chaque côté sur sa représentation graphique. En partant de la gauche, on obtient ce qui suit.
Quand les valeurs de tendent vers 2 depuis la gauche, les images de la fonction semblent tendre vers 3. On peut faire de même depuis la droite.
Cette fois, quand les valeurs de tendent vers 2 depuis la droite, les images de la fonction tendent vers 3. Il est important de répéter que bien que ne soit pas défini, comme indiqué par le point creux en , cela n’affecte pas la limite car on ne s’intéresse qu’aux valeurs arbitrairement proches de 2 et non en .
Par conséquent, la représentation graphique suggère que .
Dans le dernier exemple, nous allons voir que la valeur de la fonction en un point peut être différente de sa limite en ce point.
Exemple 5: Déterminer la limite si elle existe d’une fonction à partir de sa courbe représentative
À l’aide de la courbe représentative ci-dessous, déterminez .
Réponse
On note si les valeurs de tendent vers une certaine valeur quand les valeurs de tendent vers 3 (des deux côtés) mais pas nécessairement en . On peut étudier les valeurs de quand tend vers 3 de chaque côté en utilisant la courbe représentative. À droite de , les images de la fonction sont les suivantes :
Quand les valeurs de tendent vers 3 depuis la droite, les images de la fonction tendent vers 2. On peut alors faire de même depuis la gauche.
Quand les valeurs de tendent vers 3 depuis la gauche, les images de la fonction tendent à nouveau vers 2.
Notez que bien que la courbe représentative montre que , comme indiqué par le point solide pour , il est important de se rappeler que l’on détermine la limite de toute fonction en quand les valeurs de la variable sont arbitrairement proche de et non en .
Par conséquent, la courbe représentative suggère que .
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Si les valeurs de tendent vers une valeur de quand les valeurs de tendent vers (des deux côtés) mais pas nécessairement en , alors on dit que
- La valeur de la fonction en n’affecte pas sa limite lorsque tend vers .
- On peut étudier la limite d’une fonction en en observant sa courbe représentative de chaque côté de .
- Si la limite d’une fonction existe, on peut l’étudier en prenant des points d’échantillonnage supérieurs et inférieurs à la valeur de la variable pour laquelle on recherche la limite. Cela est souvent représenté par un tableau de valeurs de la fonction.
