Lesson Video: Applications de la superposition des triangles Mathématiques • First Year of Preparatory School

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Dans cette vidéo, nous allons voir les triangles superposables. Nous allons utiliser les règles de trois côtés, de deux côtés et un angle, et de deux angles et un côté pour déterminer la superposition. Nous verrons ensuite comment nous pouvons utiliser cette superposition pour déterminer les angles ou les côtés manquants dans les triangles superposables.

Commençons par nous rappeler ces règles de superposition. La première règle de superposition est la règle de trois côtés, qui consiste à montrer que nous avons trois paires de côtés correspondants superposables. Ainsi, si nous prenons ces deux triangles, nous commencerions par déterminer si nous avons une paire de côtés superposables, puis une deuxième paire de côtés superposables, et enfin une troisième paire de côtés superposables. Ainsi, démontrer qu’il y a trois paires de côtés superposables dans deux triangles répondrait à la règle de trois côtés et prouverait que les triangles sont superposables.

L’important dans toutes ces relations de superposition est qu’il importe peu que les triangles soient tournés ou retournés. Ils seraient toujours superposables. Ils ont toujours la même forme et la même taille, quelle que soit leur orientation.

La deuxième règle est la règle de deux côtés et un angle. Cette fois, l’angle désigne l’angle inclus entre deux côtés. Ainsi, dans nos deux triangles, nous démontrerions que deux côtés correspondants sont superposables et que l’angle entre eux est égal. Cela montrerait que ces deux triangles sont superposables.

La règle de deux angles et un côté est la règle de l’angle-côté-angle. Et cette fois, le côté est compris entre deux angles. Donc, on montrerait une paire de côtés superposables, comme ceci, et deux paires d’angles égaux, en se rappelant que le côté est compris entre ces deux angles ou inclus entre eux.

La règle de deux angles et un côté, angle-angle-côté est similaire en ce sens qu’il s’agit de deux paires d’angles correspondants égaux et d’une paire de côtés superposables. Cependant, lorsque nous utilisons la règle de deux angles et un côté, le côté n’est pas nécessairement inclus entre les deux angles.

La dernière règle de superposition est la règle d’angle droit, hypoténuse et côté, qui s’applique aux triangles droits. On l’appelle DHC, le D représente l’angle droit, et le H l’hypoténuse, qui est le côté le plus long d’un triangle rectangle. Pour montrer la superposition en utilisant cette règle, il faudrait montrer que les deux triangles ont un angle droit, l’hypoténuse sur les deux triangles est superposable. Et que sur les deux autres côtés du triangle, il y a une paire de côtés superposables.

Maintenant que nous avons les cinq règles énumérées, nous allons utiliser les trois premières règles en particulier pour résoudre les problèmes. Le fait de savoir que nous avons des triangles superposables peut nous aider à trouver les côtés ou les angles manquants. Voyons notre première question.

Deux triangles sont-ils superposables si les deux triangles ont la même longueur de côté ?

Commençons par nous rappeler que superposable signifie la même forme et la même mesure. Toutes les paires de côtés correspondants dans ces triangles auraient la même longueur, et toutes les paires d’angles correspondants auraient la même mesure. Parfois, lorsque nous répondons à une question comme celle-ci, il peut être utile de tracer quelques triangles à examiner.

Traçons ce triangle qui a des côtés de quatre, cinq et six unités. Nous pouvons tracer un autre triangle qui a également les mêmes longueurs de côtés de quatre, cinq et six. Nous pourrions même en tracer un autre qui ressemble à celui-ci. Donc, même si ces triangles sont tous d’orientations différentes, sont-ils toujours superposables ? Et la réponse est oui. Nous ne pourrions pas dessiner un triangle de forme différente avec des longueurs de côtés de quatre, cinq et six.

Nous pouvons aussi appliquer la règle de superposition de trois côtés. Cela signifie que trois paires de côtés correspondants sont superposables. Nous pouvons donc voir que nous avons ici un ensemble de côtés dans ces trois triangles qui sont tous de longueur quatre. Nous avons un autre ensemble de côtés correspondants de longueur cinq unités, et un troisième ensemble de côtés correspondants de longueur six unités.

Dans cet exemple, nous utilisons les longueurs de quatre, cinq et six unités. Mais cela s’applique à toutes les tailles de triangles. Si nous pouvons montrer qu’il y a trois paires de côtés correspondants ou que les triangles, autrement dit ici, ont les mêmes longueurs de côté, alors nous dirons qu’ils sont superposables. Et donc, notre réponse à la question serait oui.

Dans la question suivante, on nous dit qu’il y a une superposition. Et nous devrons trouver un angle manquant.

Sachant que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est superposable au triangle 𝑋𝑌𝑍, déterminez la mesure de l’angle 𝐵.

Comme on nous dit que ces deux triangles sont superposables, cela signifie donc qu’ils auront des paires d’angles correspondants égaux. Ce que nous devons faire ici, c’est déterminer exactement quels angles sont égaux. Parfois, il peut être très facile de le dire à partir d’une figure et d’autres fois pas si facile. Mais nous pouvons utiliser l’ordre des lettres pour nous aider.

Comme on nous dit que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est superposable au triangle 𝑋𝑌𝑍, cela signifie que l’angle en 𝐴 correspond à l’angle en 𝑋. Ainsi, l’angle en 𝐴 et l’angle en 𝑋 seront tous deux de 54 degrés. De la même manière, cet angle 𝐵 dans le triangle 𝐴𝐵𝐶 correspond à l’angle 𝑌 dans le triangle 𝑋𝑌𝑍. Et ces deux angles seront de 52 degrés. Comme on nous a demandé de trouver la mesure de l’angle 𝐵, alors notre réponse serait que c’est 52 degrés.

Pour compléter notre travail, nous pouvons noter que l’angle en 𝐶 correspondrait à l’angle en 𝑍. Et ces deux angles seraient de 74 degrés. Mais comme on nous demande de trouver 𝐵, cela fait 52 degrés.

Dans la prochaine question, avant de déterminer une longueur manquante, nous devrons prouver que les triangles sont superposables.

Sur la figure, 𝐵𝐷 rencontre 𝐴𝐸 en 𝐶, qui est aussi le milieu de 𝐵𝐷. Déterminez la longueur de 𝐶𝐸.

La longueur manquante que nous devons trouver est la longueur 𝐶𝐸. Comment trouver cette longueur de 𝐶𝐸 n’est peut-être pas immédiatement clair. Cependant, ces triangles semblent très proches d’avoir la même forme et la même taille, en d’autres termes, d’être superposables. Voyons si nous avons suffisamment d’informations sur les côtés ou les angles pour prouver la superposition.

Dans la question, on nous dit que 𝐵𝐷 rencontre 𝐴𝐸 en ce point 𝐶. 𝐶 est le milieu de 𝐵𝐷. Comme il s’agit du point de milieu, la longueur 𝐵𝐶 de 27 sera aussi la même pour la longueur 𝐶𝐷. Ensuite, si nous considérons nos triangles 𝐸𝐷𝐶 et 𝐴𝐵𝐶, nous pourrions écrire que la longueur 𝐷𝐶 est égale ou superposable à 𝐵𝐶 puisqu’ils sont tous deux de longueur 27.

Voyons maintenant quelques angles. Nous avons cet angle droit en l’angle 𝐴𝐵𝐶, mais y aura-t-il un angle droit dans le triangle 𝐸𝐷𝐶 ? Eh bien, oui, il y en aura un. Mais réfléchissons au pourquoi. Nous avons 𝐷𝐵, qui est perpendiculaire à 𝐴𝐵, et qui crée donc un angle droit. Mais il y a aussi une ligne parallèle à 𝐴𝐵. Et c’est 𝐸𝐷. Et c’est pourquoi nous aurons aussi un angle droit ici en 𝐸𝐷𝐶.

Maintenant que nous avons montré que nous avons une paire de côtés superposables et une paire d’angles égaux, que pouvons-nous voir d’autre sur la figure ? Nous avons cette longueur 𝐴𝐵, qui est de 36. Mais nous ne pouvons pas dire avec certitude qu’il existe un autre côté qui soit de la même longueur dans le triangle 𝐸𝐷𝐶.

Mais considérons cet angle en 𝐵𝐶𝐴. Il y aurait, en fait, un angle égal. L’angle 𝐷𝐶𝐸 serait égal à l’angle 𝐵𝐶𝐴 car ce sont des angles opposés par le sommet.

Si nous regardons ce que nous avons montré sur ces deux triangles, nous avons une paire de côtés correspondants, une paire d’angles égaux et une autre paire d’angles égaux. Le côté ici est compris entre les deux angles, nous pourrions donc utiliser la règle de deux angles et un côté pour dire que le triangle 𝐸𝐷𝐶 est superposable au triangle 𝐴𝐵𝐶.

Il est important de se rappeler que même si nous avons un triangle rectangle, la règle de superposition d’angle droit, hypoténuse et côté ne serait pas applicable ici. Pour utiliser la règle d’angle droit, hypoténuse et côté, nous devons montrer qu’il y a un angle droit, une hypoténuse et un côté superposable. Comme nous ne connaissons pas la longueur de l’hypoténuse ici, nous ne pouvons pas utiliser cette règle. Mais nous allons voir si nous pouvons calculer la longueur de 𝐶𝐸.

La longueur qui correspond à 𝐶𝐸 dans le triangle 𝐴𝐵𝐶 sera cette longueur de 𝐴𝐶. On ne nous dit pas quelle est cette longueur de 𝐴𝐶, mais il y a un moyen de la calculer. Le théorème de Pythagore nous dit que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si nous regardons le triangle 𝐴𝐵𝐶, nous ne connaissons pas la longueur de l’hypoténuse. Nous voulons la déterminer. Définissons donc cette longueur comme étant 𝑥.

Avec les deux autres côtés de 27 et 36, nous pouvons les placer dans le théorème de Pythagore pour nous donner 𝑥 au carré égale 27 au carré plus 36 au carré. En calculant nos carrés, nous aurons 𝑥 au carré égale 729 plus 1296. Et en additionnant ces chiffres, nous obtenons 𝑥 au carré égale 2025. En prenant la racine carrée des deux côtés de notre équation, nous obtiendrons 𝑥 égale 45. Maintenant que nous avons trouvé que la longueur de 𝐶𝐴 est de 45, nous pouvons dire que la longueur correspondante de 𝐶𝐴 dans le triangle 𝐸𝐷𝐶 sera aussi de 45. Et c’est notre réponse à la question de déterminer la longueur de 𝐶𝐸.

Dans la dernière question, nous verrons comment nous pouvons utiliser la superposition pour nous aider à déterminer l’aire d’un triangle.

Les deux triangles de la figure donnée sont superposables. Calculez l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶.

On nous dit ici que les deux triangles sont superposables. Cela signifie que les paires d’angles correspondants seront égaux et que les paires de côtés correspondants seront égaux. Nous devrons utiliser ce fait pour nous aider à déterminer l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶.

Nous pouvons rappeler que pour calculer l’aire d’un triangle, nous multiplions un demi fois la base fois la hauteur. Lorsque nous regardons le triangle 𝐴𝐵𝐶, nous constatons que nous ne connaissons pas la longueur de la base de ce triangle, c’est pourquoi nous devons utiliser le fait qu’il est superposable au triangle 𝐷𝐸𝐹 pour nous aider à calculer la longueur de 𝐵𝐶.

Dans cette question, on ne nous a pas donné de relation de superposition, donc nous devrons déterminer quels côtés correspondent à quels côtés. Commençons par l’hypoténuse, le côté le plus long du triangle 𝐴𝐵𝐶. Cela correspondra au côté le plus long ou l’hypoténuse de notre autre triangle. Ainsi, 𝐴𝐶 et 𝐷𝐹 seront superposables.

Sur le triangle 𝐴𝐵𝐶, si nous allons de l’hypoténuse vers le bas à l’angle droit le long de 𝐴𝐵, cela correspond au même trajet ou chemin de l’hypoténuse vers le bas à l’angle droit sur le triangle 𝐷𝐸𝐹. Ainsi, 𝐴𝐵 et 𝐷𝐸 auront la même longueur de 5,1. La dernière paire de côtés 𝐵𝐶 et 𝐸𝐹 seront également superposables, et ils auront une longueur de 4,1.

Nous disposons maintenant de suffisamment d’informations pour calculer l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶. En remplaçant par les valeurs de la longueur de la base 4,1 et de la hauteur 5,1, nous aurons un demi fois 4,1 fois 5,1. Nous pouvons calculer 4,1 fois 5,1 en multipliant 41 par 51. Comme nos valeurs avaient un total de deux chiffres décimaux, alors notre réponse aura également deux chiffres décimaux. La moitié de 20,91 nous donnera 10,455. Les unités ici seraient des unités carrées. Voici notre réponse pour l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶. Notez que si nous avions calculé l’aire du triangle 𝐷𝐸𝐹 à la place, nous aurions obtenu la même réponse car ces deux triangles sont superposables.

Nous pouvons maintenant résumer ce que nous avons appris dans cette vidéo. Nous avons vu que les triangles peuvent toujours être superposables même s’ils subissent une symétrie ou une rotation ; ils n’ont pas besoin d’avoir la même orientation. Nous nous sommes rappelé les règles de superposition : trois côtés, deux côtés et un angle, angle-côté-angle, deux angles et un côté, et angle droit, hypoténuse et côté. Et enfin, lorsque nous prouvons que les triangles sont superposables, nous pouvons utiliser d’autres règles d’angles, par exemple, en nous rappelant que des angles opposés par le sommet sont égaux.