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Les satellites géostationnaires tournent autour de la Terre à une altitude de 35786 kilomètres au-dessus de l’équateur. La Terre a une masse de 5,97 fois 10 puissance 24 kilogrammes et un rayon de 6370 kilomètres. Quel est le rapport entre l’accélération locale due à la gravité à l’altitude d’un satellite géostationnaire et celle à la surface de la Terre ? Donnez votre réponse à trois décimales près.
Un schéma est utile ici pour visualiser cette configuration. Voici donc la Terre et un satellite géostationnaire en orbite au-dessus de l’équateur. On nous dit que le satellite tourne autour à une altitude de 35786 kilomètres, nous pouvons donc inscrire cela sur notre schéma. Et on nous donne la masse de la Terre comme étant de 5,97 fois 10 puissance 24 kilogrammes et enfin le rayon de la Terre de 6370 kilomètres. On nous demande de trouver le rapport entre l’accélération locale due à la gravité à l’altitude du satellite et celle à la surface de la Terre.
Donc, si nous imaginons une personne debout sur la surface de la Terre, nous cherchons le rapport de l’accélération locale due à la gravité subie par ce satellite et celle subie par cette personne. Nous devons donc rappeler l’équation de l’accélération locale due à la gravité. C’est-à-dire que 𝑎 est égal à 𝐺𝑚 sur 𝑟 au carré, où 𝑎 est l’accélération due à la gravité, 𝐺 est la constante gravitationnelle universelle, 𝑚 est la masse du grand corps vers lequel nous accélérons et 𝑟 est la distance au centre de masse du grand corps, dans ce cas la Terre.
En nous concentrant d’abord sur le satellite, appelons l’accélération locale due à la gravité à la hauteur d’un satellite géostationnaire 𝑎 indice g. Ceci est égal à la constante gravitationnelle universelle grand 𝐺 fois 𝑚, la masse de la Terre, divisée par la distance entre le centre de la Terre et l’altitude d’un satellite géostationnaire, que nous appellerons 𝑟 indice g au carré. Maintenant, comparons cela à l’accélération locale due à la gravité à la surface de la Terre. Appelons cela 𝑎 indice e. Et cela sera égal à la constante gravitationnelle universelle 𝐺 fois la masse de la Terre divisée par la distance entre la surface de la Terre et le centre de la Terre, ce qui revient au rayon de la Terre. Alors appelons cela 𝑟 indice e carré.
Or, le rapport entre l’accélération locale due à la gravité à l’altitude d’un satellite géostationnaire et celle à la surface de la Terre est égal à 𝑎 indice g divisé par 𝑎 indice e. Donc, c’est 𝑎 indice g, qui équivaut à 𝐺𝑚 sur 𝑟 indice g au carré, divisé par 𝑎 indice e, qui vaut 𝐺𝑚 sur 𝑟 indice e au carré. Maintenant, le moyen le plus simple de diviser une fraction par une autre est d’inverser ce terme ici, ce qui transformera cela en une multiplication. En d’autres mots, 𝑎 indice g divisé par 𝑎 indice e est égal à 𝑎 indice g fois un sur 𝑎 indice e. Et un sur 𝑎 indice e est 𝑟 indice e carré divisé par 𝐺𝑚. Maintenant, remarquez ici que nous avons 𝐺 fois 𝑚 au numérateur et au dénominateur. Donc, ceux-ci s’annulent, et nous nous retrouvons avec le rapport de 𝑎 indice g sur 𝑎 indice e comme étant égal à 𝑟 indice e au carré divisé par 𝑟 indice g au carré.
Maintenant, 𝑟 indice e n’est autre que le rayon de la Terre, que nous savons être de 6370 kilomètres. Mais 𝑟 indice g est la distance entre le satellite et le centre de la Terre. Nous devons donc prendre l’altitude du satellite au-dessus de l’équateur plus le rayon de la Terre. Nous avons donc 6370 kilomètres carrés divisés par 35786 kilomètres plus 6370 kilomètres le tout au carré. Maintenant, normalement, lorsque nous avons des kilomètres, nous voulons convertir cela en mètres. Mais ici, nous prenons un rapport où nous avons des kilomètres à la fois au numérateur et au dénominateur. Ainsi, les unités s’annuleront. Et dans ce cas, nous pouvons les laisser tels quels.
Nous pouvons donc calculer cela pour trouver une valeur de 0,0228. Et on nous demande de donner cela à trois décimales près, ce qui devient 0,023. Et notez le résultat n’a pas d’unités parce que c’est le rapport de deux grandeurs avec les mêmes unités. Donc, la réponse à la question « Quel est le rapport entre l’accélération locale due à la gravité à l’altitude d’un satellite géostationnaire et celle à la surface de la Terre ? » est 0,023.
