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Dans un semi-conducteur contenant des accepteurs d’électrons et qui est en équilibre thermique, le nombre de trous d’électrons peut être modélisé comme étant égal au nombre d’accepteurs d’électrons. En utilisant ce modèle, laquelle des formules suivantes représente correctement le semi-conducteur ? On appelle 𝑛 indice 𝑖 la densité d’électrons libres dans le semi-conducteur s’il n’était pas dopé, 𝑛 la densité d’électrons libres dans le semi-conducteur et N indice 𝐴 exposant moins la densité d’accepteurs d’électrons. (A) La densité d’électrons est égale à la densité non dopée au carré moins la densité d’accepteurs d’électrons. (B) La densité d’électrons est égale à la densité d’accepteurs d’électrons plus la densité non dopée au carré. (C) La densité d’électrons est égale à la densité d’accepteurs d’électrons divisée par la densité non dopée au carré. (D) La densité d’électrons est égale à la densité non dopée au carré divisée par la densité d’accepteurs d’électrons. (E) La densité d’électrons est égale à la densité d’accepteurs d’électrons moins la densité non dopée au carré.
Dans cette question, nous considérons un semi-conducteur dopé avec des accepteurs d’électrons. Rappelons que dans un réseau de silicium, un accepteur d’électron est un ion qui possède un espace libre pour un électron sur sa couche externe. Chaque accepteur d’électrons va donc apporter un nouveau trou d’électron dans le réseau sans créer de nouveaux électrons libres. On nous a dit que la quantité de trous d’électrons, représentée par 𝑝, peut être modélisée comme étant égale à la quantité d’accepteurs d’électrons. Cela veut dire en fait que tous les trous d’électrons de l’échantillon sont dus au dopage.
Nous connaissons donc déjà le nombre de trous d’électrons dans l’échantillon. Mais dans cette question, nous voulons trouver un moyen de modéliser la quantité d’électrons libres dans l’échantillon. Nous allons donc utiliser nos connaissances sur les semi-conducteurs pour établir une expression de 𝑛. Commençons par rappeler que dans un échantillon pur non dopé, les électrons libres et les trous d’électrons sont créés simultanément. Donc, dans un semi-conducteur pur, la densité d’électrons libres est égale à la densité de trous d’électrons.
Maintenant, on nous a dit que la quantité 𝑛 indice 𝑖 représente la densité d’électrons libres si l’échantillon n’était pas dopé. Cela signifie que dans un semi-conducteur pur, la densité non dopée correspond à la densité d’électrons libres. Et comme la densité d’électrons libres est égale à la densité de trous d’électrons, la densité non dopée est aussi égale à la densité de trous d’électrons.
Rappelons ensuite que si nous multiplions la densité d’électrons et la densité de trous d’électrons, cela est équivalent à la densité non dopée au carré. Alors, ce qui est intéressant et plutôt utile, c’est que ce terme, la densité non dopée au carré, reste constant dans un échantillon pour une température donnée, même si la densité d’électrons et de trous d’électrons changent à cause du dopage. Donc, cette expression est vraie que l’échantillon soit dopé ou totalement pur. Nous savons donc que cette relation représente correctement le semi-conducteur et elle est exprimée en fonction de la densité d’électrons, qui est la grandeur que nous cherchons à exprimer.
Nous sommes donc sur la bonne voie, mais notons qu’aucune des propositions de réponse n’est exprimée en fonction de la densité de trous d’électrons. Il faut donc réécrire la formule en fonction de la densité d’accepteurs d’électrons. Donc, comme nous avons déjà établi que la densité de trous d’électrons est égale à la densité d’accepteurs d’électrons, commençons par remplacer cette valeur. L’expression est maintenant écrite en fonction de la densité d’accepteurs d’électrons. Il ne reste plus qu’à exprimer la densité d’électrons en fonction des autres grandeurs. Divisons les deux côtés de la formule par la densité d’accepteurs d’électrons, ce qui simplifie ce terme ici.
Et nous obtenons maintenant un résultat qui correspond à la proposition (D). La densité d’électrons libres est égale à la densité non dopée au carré divisée par la densité d’accepteurs d’électrons.
