Video Transcript
Considérez le circuit illustré ci-dessous. Quelle est la mesure sur l’ampèremètre ? (A) Deux 𝐼 sur trois, (B) 𝐼 sur deux, (C) 𝐼, (D) 𝐼 sur trois.
Pour trouver la mesure sur l’ampèremètre, nous devrons calculer le courant dans cette branche du circuit. Pour ce faire, nous allons devoir utiliser les lois de Kirchhoff. Nous commencerons par étiqueter tous les composants du circuit comme suit. Nous avons appelé les résistances 𝑅 un, 𝑅 deux, 𝑅 trois et 𝑅 quatre, et nous avons également appelé les courants 𝐼 un et 𝐼 deux en plus du courant 𝐼.
Maintenant, rappelons que la première loi de Kirchhoff stipule que la somme des courants entrant dans une jonction ou un nœud dans un circuit doit être la même que la somme des courants qui quittent la jonction. Nous pouvons voir que le courant 𝐼 entre dans la jonction surlignée en bleu et que les courants 𝐼 un et 𝐼 deux sortent de cette même jonction.
Donc, en utilisant la première loi de Kirchhoff, nous trouvons que 𝐼 est égal à 𝐼 un plus 𝐼 deux. La mesure sur l’ampèremètre sera égale au courant 𝐼 un. Nous pouvons faire de 𝐼 un le sujet de l’équation en soustrayant 𝐼 deux des deux côtés. Cela nous donne 𝐼 un est égal à 𝐼 moins 𝐼 deux. Nous l’appellerons l’équation un. Pour trouver les valeurs de ces courants, nous aurons également besoin de la deuxième loi de Kirchhoff. Rappelons que la deuxième loi de Kirchhoff stipule que la somme des différences de potentiel aux bornes de chacun des composants d’une boucle est égale à zéro.
Pour commencer, nous allons examiner la boucle un dans ce circuit. Nous appelons 𝑉 indice 𝑅 un la différence de potentiel aux bornes de la résistance 𝑅 un. De même, nous allons appeler 𝑉 indice 𝑅 deux la différence de potentiel aux bornes de la résistance 𝑅 deux. Ensuite, en appliquant la deuxième loi de Kirchhoff pour la boucle un, nous constatons que 𝑉 moins 𝑉 indice R un moins 𝑉 indice 𝑅 deux est égal à zéro. Notez que la différence de potentiel fournie par la pile est positive, alors que la différence de potentiel aux bornes de chacune des résistances est négative.
Nous pouvons obtenir des expressions pour 𝑉 indice 𝑅 un et 𝑉 indice 𝑅 deux en utilisant la loi d’Ohm. Rappelons que la loi d’Ohm peut être écrite comme 𝑉 est égal à 𝐼 fois 𝑅, avec 𝑉 la différence de potentiel, 𝐼 le courant et 𝑅 la résistance. Le courant dans la résistance 𝑅 un est le courant 𝐼, donc la différence de potentiel aux bornes de la résistance 𝑅 un est 𝑉 indice 𝑅 un égal 𝐼 fois 𝑅 un. Le courant dans la résistance 𝑅 deux est le courant 𝐼 un, la différence de potentiel aux bornes de la résistance 𝑅 deux sera donc 𝑉 indice 𝑅 deux égal 𝐼 un fois 𝑅 deux. Ensuite, en utilisant ces équations dans l’équation que nous avons obtenue avec la deuxième loi de Kirchhoff pour la boucle un, nous avons l’équation 𝑉 moins 𝐼 fois 𝑅 un moins 𝐼 un fois 𝑅 deux est égal à zéro.
On nous donne les valeurs des deux résistances, 𝑅 un est égal à 12 ohms et 𝑅 deux est égal à neuf ohms. En utilisant ces valeurs dans l’équation, nous obtenons que 𝑉 moins 12𝐼 moins neuf 𝐼 un est égal à zéro. Nous allons l’appeler l’équation deux.
Maintenant, nous pouvons examiner la boucle deux dans ce circuit. Nous pouvons appeler 𝑉 indice 𝑅 trois la différence de potentiel aux bornes de la résistance 𝑅 trois et 𝑉 indice 𝑅 quatre la différence de potentiel aux bornes de la résistance 𝑅 quatre. En appliquant la deuxième loi de Kirchhoff à la boucle deux, nous constatons que 𝑉 moins 𝑉 indice 𝑅 un moins 𝑉 indice 𝑅 trois moins 𝑉 indice 𝑅 quatre est égal à zéro. Le courant dans la résistance un est toujours le courant 𝐼.
Donc, la loi d’Ohm nous dit que la différence de potentiel aux bornes de la résistance 𝑅 un est 𝑉 indice 𝑅 un égal 𝐼 fois 𝑅 un. Ensuite, le courant dans la résistance 𝑅 trois est le courant 𝐼 deux. La loi d’Ohm nous dit que la différence de potentiel aux bornes de la résistance 𝑅 trois sera 𝑉 indice 𝑅 trois égal 𝐼 deux fois 𝑅 trois. De même, le courant dans la résistance quatre est aussi égal à 𝐼 deux. Ainsi, la loi d’Ohm nous dit que la différence de potentiel aux bornes de la résistance 𝑅 quatre sera 𝑉 indice 𝑅 quatre égal à 𝐼 deux fois 𝑅 quatre.
En utilisant ces expressions dans l’équation que nous avons obtenue avec la deuxième loi de Kirchhoff pour la boucle deux, nous avons l’équation 𝑉 moins 𝐼 fois 𝑅 un moins 𝐼 deux fois 𝑅 trois moins 𝐼 deux fois 𝑅 quatre est égal à zéro. On nous donne les valeurs de ces résistances. 𝑅 un est égale à 12 ohms, 𝑅 trois est égale à sept ohms et 𝑅 quatre est égale à 11 ohms. En utilisant ces valeurs dans cette équation, nous obtenons que 𝑉 moins 12𝐼 moins sept 𝐼 deux moins 11𝐼 deux est égal à zéro. Nous pouvons alors simplifier cela pour obtenir 𝑉 moins 12𝐼 moins 18𝐼 deux est égal à zéro. Nous l’appellerons l’équation trois.
Nous pouvons maintenant comparer les équations deux et trois. Nous avons deux équations simultanées. Donc, en soustrayant l’équation deux de l’équation trois, nous obtenons cette équation ici. Nous pouvons simplifier cela en développant cette parenthèse pour obtenir 𝑉 moins 12𝐼 moins 18𝐼 deux moins 𝑉 plus 12𝐼 plus neuf 𝐼 un est égal à zéro. Cela se simplifie alors en moins 18𝐼 deux plus neuf 𝐼 un est égal à zéro, ou neuf 𝐼 un est égal à 18𝐼 deux. En divisant les deux côtés par 18, nous constatons que 𝐼 deux est égal à 𝐼 un divisé par deux.
Nous pouvons maintenant utiliser 𝐼 un sur deux au lieu de 𝐼 deux dans l’équation un, que nous avons trouvée en utilisant la première loi de Kirchhoff, afin de trouver la valeur de 𝐼 un. Cela nous donne que 𝐼 un est égal à 𝐼 moins 𝐼 un sur deux. En ajoutant 𝐼 un sur deux aux deux côtés de l’équation, nous obtenons que trois 𝐼 un sur deux est égal à 𝐼. En divisant les deux côtés par trois sur deux, nous obtenons 𝐼 un est égal à deux 𝐼 sur trois.
Nous avons déjà vu que 𝐼 un est le courant qui passe dans l’ampèremètre, et donc la mesure sur l’ampèremètre sera égale à ce courant 𝐼 un. Puisque nous avons trouvé que 𝐼 un est égal à deux 𝐼 sur trois, nous savons que la mesure de l’ampèremètre doit être de deux 𝐼 sur trois. En comparant cette réponse avec les réponses disponibles, nous constatons qu’elle correspond à l’option (A). La mesure sur l’ampèremètre est égale à deux 𝐼 sur trois.
