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Fiche explicative de la leçon : Analyse de circuits mixtes Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les courants traversant et les tensions aux bornes des portions de circuits qui comportent des résistances montées aussi bien en série qu’en parallèle.

Rappelons que les résistances en série sont connectées selon un seul chemin conducteur. Le schéma ci-dessous montre trois résistances en série.

Dans l’exemple ci-dessus, la résistance totale du circuit, 𝑅, est 𝑅=𝑅+𝑅+𝑅.

Cela s’étend à un nombre quelconque de résistances en série:𝑅=𝑅+𝑅++𝑅.

D’un autre côté, les résistances en parallèle sont connectées selon plusieurs chemins conducteurs. Le schéma ci-dessous montre trois résistances en parallèle.

Dans l’exemple ci-dessus, la résistance totale du circuit, 𝑅, est 𝑅=1𝑅+1𝑅+1𝑅.

Cela s’étend à un nombre quelconque de résistances en parallèle:𝑅=1𝑅+1𝑅++1𝑅.

Un circuit combiné contient des portions de résistances en série et de résistances en parallèle. Le schéma ci-dessous montre deux résistances connectées en série à deux résistances en parallèle.

Dans l’exemple ci-dessus, la portion du circuit contenant 𝑅 et 𝑅 est en série, et la portion du circuit contenant 𝑅 et 𝑅 est en parallèle.

Pour analyser ce circuit, chaque ensemble de résistances peut être converti en une résistance équivalente. Le schéma ci-dessous montre comment les deux résistances en série et les deux résistances en parallèle peuvent être converties en résistances équivalentes simples, qui peuvent ensuite être converties en une résistance équivalente finale pour l’ensemble du circuit.

La portion du circuit en série contenant 𝑅 et 𝑅 peut être convertie en sa résistance équivalente, 𝑅:𝑅=𝑅+𝑅.

La portion du circuit en parallèle contenant 𝑅 et 𝑅 peut être convertie en sa résistance équivalente, 𝑅:𝑅=1𝑅+1𝑅.

Puis, enfin, la résistance équivalente de l’ensemble du circuit, 𝑅, est 𝑅=𝑅+𝑅.

Voyons un exemple de ce type.

Exemple 1: Déterminer la résistance équivalente d’un circuit mixte

Le circuit illustré contient des portions qui comportent des résistances montées aussi bien en série qu’en parallèle.

  1. Quelle est l’intensité totale du courant dans le circuit illustré?Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.
  2. Quelle est la puissance totale dissipée par le circuit?Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.

Réponse

Partie 1

Dans la première partie de cette question, on doit calculer le courant total dans le circuit. Pour ce faire, on doit trouver la résistance équivalente du circuit.

On commencera par étiqueter les composants sur le schéma du circuit.

La première étape dans le calcul de la résistance équivalente du circuit consiste à déterminer la résistance équivalente de la section en parallèle, composée de 𝑅 et 𝑅. Nommons la résistance équivalente de cette section en parallèle 𝑅:𝑅=1𝑅+1𝑅.

En remplaçant les valeurs connues 𝑅=2,5Ω et 𝑅=3,2Ω, cela nous donne 𝑅=12,5+13,2𝑅=1,40.ΩΩΩ

Maintenant, nous pouvons calculer la résistance équivalente de l’ensemble du circuit, 𝑅:𝑅=𝑅+𝑅+𝑅.

En remplaçant les valeurs connues 𝑅=1,6Ω et 𝑅=1,5Ω et la valeur de 𝑅 que nous avons calculé comme étant 1,40 Ω, cela nous donne 𝑅=1,6+1,5+1,4𝑅=4,5.ΩΩΩΩ

Ensuite, nous pouvons utiliser la loi d’Ohm pour calculer le courant total dans le circuit, avec 𝑉=5,5V:𝐼=𝑉𝑅𝐼=5,54,5.VΩ

Le courant total dans le circuit, arrondi à une décimale près, est 𝐼=1,2.A

Partie 2

La puissance totale dissipée dans le circuit peut être calculée en multipliant le courant dans le circuit par la chute de potentiel totale dans le circuit:𝑃=𝐼𝑉𝑃=1,2×5,5.AV

La puissance totale dissipée dans le circuit, arrondie à une décimale près, est 𝑃=6,7.W

Ces techniques d’analyse de circuits mixtes peuvent également être utilisées pour analyser des circuits contenant des composants autres que des résistances. Nous allons maintenant travailler sur un exemple de ce type.

Exemple 2: Analyser des circuits contenant des composants autres que des résistances

Le courant est mesuré par un ampèremètre dans le circuit illustré sur le schéma. L’ampèremètre a une résistance de 2,5 µΩ.

  1. Qu’est ce qu’on peut lire sur l’ampèremètre?Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.
  2. Qu’est ce qu’on pourrait lire sur l’ampèremètre s’il était connecté en parallèle à la résistance de 3,5 Ω?Donnez votre réponse à une décimale près.

Réponse

Partie 1

La première partie de la question nous demande de calculer la quantité de courant traversant le circuit. Pour cela, nous pouvons remplacer l’ampèremètre par une résistance équivalente.

Nous pouvons synthétiser cela sur un schéma, où chaque résistance est étiquetée. 𝑅 est la résistance équivalente de l’ampèremètre.

La résistance totale du circuit est égale à 𝑅=𝑅+𝑅+𝑅𝑅=2,5+3,5+2,5×10𝑅=6,0000025.ΩΩΩΩ

Le courant dans le circuit peut alors être calculé avec la loi d’Ohm:𝐼=126,0000025𝐼=1,9999991.VΩA

Arrondi à une décimale près, l’ampèremètre indique 2,0 A. Comparons cela à un ampèremètre idéal, qui a une résistance interne nulle.

La résistance totale du circuit serait exactement égale à la somme des deux résistances:𝑅=2,5+3,5𝑅=6,0.ΩΩΩ

Cela signifie que le courant dans le circuit est 𝐼=126,0𝐼=2,0.VΩA

L’ampèremètre nous donne une valeur exacte de 2,0 A. Cela montre combien il est important d’avoir un ampèremètre avec une très faible résistance interne. Si la résistance interne est suffisamment faible, comme dans cet exemple, elle peut être négligée dans les calculs.

Partie 2

La deuxième partie de la question nous demande de considérer ce qui se passerait si l’ampèremètre était connecté en parallèle avec la résistance de 3,5 Ω.

En remplaçant l’ampèremètre par sa résistance équivalente, nous pouvons faire un schéma.

Nous devons maintenant calculer la résistance équivalente, 𝑅, de la portion du circuit en parallèle:𝑅=13,5+12,5×10𝑅=(0,28+400000)𝑅=400000,28𝑅=2,499998×10.ΩΩΩ

Ici, on voit que la résistance de l’ampèremètre est si faible par rapport à la résistance de 3,5 Ω que cette dernière domine complètement la résistance équivalente.

La résistance totale du circuit est alors 𝑅=2,5+2,499998×10𝑅=2,5000025.Ω

Le courant dans le circuit peut alors être calculé en utilisant la loi d’Ohm:𝐼=122,5000025𝐼=4,799995.VΩA

À une décimale près, l’ampèremètre indique donc 4,8 A.

Calculons la valeur actuelle si la résistance équivalente de la portion du circuit en parallèle est négligée dans le calcul:𝐼=122,5𝐼=4,8.VΩA

Comme on le voit, la résistance interne de l’ampèremètre est si faible que la résistance équivalente de la portion du circuit en parallèle peut être négligée.

Alors que la résistance équivalente nous permet d’analyser de nombreux circuits mixtes, il y a des circuits qui ne peuvent être résolus en utilisant uniquement une résistance équivalente.

Le circuit illustré dans le schéma suivant ne peut pas être analysé en utilisant uniquement une résistance équivalente.

Puisqu’il y a deux piles, nous ne pouvons pas calculer la résistance équivalente de 𝑅 et 𝑅.

Pour analyser des circuits comme ceux-ci, nous pouvons utiliser les lois de Kirchhoff.

La première loi de Kirchhoff stipule que le courant dans une jonction, ou un nœud, dans un circuit doit être le même que le courant sortant de la jonction, ou du nœud.

Définition: Première loi de Kirchhoff

La première loi de Kirchhoff stipule que la somme des courants dans une jonction/un nœud dans un circuit, 𝐼+𝐼+()()entrantentrant, doit être la même que la somme des courants sortant de la jonction/du nœud, 𝐼+𝐼+()()sortantsortant:𝐼+𝐼+=𝐼+𝐼+.()()()()entrantentrantsortantsortant

Par exemple, supposons que la jonction suivante dans un circuit a des courants 𝐼 et 𝐼 dans la jonction et 𝐼 en dehors de la jonction.

La première loi de Kirchhoff stipule que la somme des courants dans la jonction, 𝐼+𝐼, doit être égale à la somme des courants sortant de la jonction, 𝐼:𝐼+𝐼=𝐼.

La deuxième loi de Kirchhoff nous permet d’analyser la différence de potentiel entre différents points d’un circuit mixte.

La deuxième loi de Kirchhoff stipule que la somme de toutes les différences de potentiel entre les composants d’une boucle doit être nulle.

Le schéma du circuit suivant montre trois résistances en série avec une pile.

Définition: Deuxième loi de Kirchhoff

La somme de la différence de potentiel entre les bornes de chaque composant d’une boucle est égale à zéro:𝑉+𝑉++𝑉=0.

Dans le circuit de l’exemple, la différence de potentiel aux bornes de la pile est égale à 𝑉, et les trois résistances ont une différence de potentiel de respectivement 𝑉, 𝑉 et 𝑉.

La loi de Kirchoff stipule que la somme des différences de potentiel entre tous les composants de la boucle est nulle. C’est-à-dire 𝑉+𝑉+𝑉+𝑉=0.

Dans ce cas, la différence de potentiel aux bornes de la pile est positive et est égale à la différence de potentiel totale aux bornes des trois résistances.

Les lois de Kirchoff peuvent être utilisées pour comparer des circuits. Nous allons travailler maintenant sur un exemple de ce type.

Exemple 3: Analyser plusieurs circuits similaires

Les circuits (a) et (b) se ressemblent beaucoup mais ils sont légèrement différents l’un de l’autre. Quelle est la différence entre le courant total entre le circuit illustré sur le schéma (a) et le circuit illustré sur le schéma (b)?Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.

Réponse

Commençons par analyser le circuit (b).

Nous pouvons utiliser la deuxième loi de Kirchhoff sur la boucle formée par le circuit. Rappelons que la deuxième loi de Kirchhoff stipule que la somme des différences de potentiel entre chaque composant d’une boucle doit être égale à zéro.

Nommons la différence de potentiel aux bornes de la résistance de 800 mΩ, 𝑉, et la différence de potentiel aux bornes de la résistance de 960 mΩ, 𝑉.

Les deux résistances peuvent être converties en une résistance équivalente, que nous allons appeler 𝑅, avec la valeur de résistance suivante:𝑅=880+960𝑅=1840.mΩmΩmΩ

La différence de potentiel aux bornes de cette résistance équivalente est 𝑉 et elle est égale à 𝑉=𝑉+𝑉.

La somme de la différence de potentiel aux bornes de chaque composant du circuit (b) peut être écrite comme suit 2,5+1,4𝑉𝑉=0,VVV ou, compte tenu de la résistance équivalente, 𝑅, cela peut s’écrire 2,5+1,4𝑉=0𝑉=3,9.VVVV

La différence de potentiel aux bornes de cette résistance équivalente est donc égale à 3,9 V.

Le courant dans le circuit (b), 𝐼, peut ensuite être calculé selon la loi d’Ohm, en convertissant d’abord la résistance de milliohms en ohms:𝐼=𝑉𝑅𝐼=3,91,84𝐼=2,12.VΩA

Maintenant, nous allons analyser le circuit (a).

Le circuit (a) est presque identique au circuit (b), sauf que la pile de 1,4 V est dans l’autre sens. Lorsque l’on applique la deuxième loi de Kirchhoff cette fois, cette pile contribue à une différence de potentiel négative à l’équation.

En combinant les résistances en une résistance équivalente, comme nous avons déjà fait, nous pouvons écrire 2,51,4𝑉=0𝑉=1,1.VVVV

Ainsi, la différence de potentiel aux bornes de cette résistance équivalente est 1,1 V.

Le courant dans le circuit (a), 𝐼, peut ensuite être calculée selon la loi d’Ohm, en convertissant d’abord la résistance de milliohms en ohms:𝐼=𝑉𝑅𝐼=1,11,84𝐼=0,60.VΩA

La différence de courant entre les deux circuits est alors 𝐼𝐼=2,120,06𝐼𝐼=1,52.AAA

La différence d’intensité de courant entre le circuit représenté sur le schéma (a) et le circuit représenté sur le schéma (b) est donc 1,5 A arrondie à une décimale près.

Les lois de Kirchhoff peuvent également être utilisées pour analyser les circuits mixtes. Lorsqu’on nous donne un circuit mixte, nous devons identifier les boucles et les jonctions/nœuds.

Par exemple, le schéma du circuit suivant contient plusieurs résistances et plusieurs piles dans différentes boucles d’un circuit.

Nous pouvons identifier deux nœuds dans ce circuit et trois boucles. Ceux-ci sont illustrés sur le schéma suivant.

Maintenant, nous allons travailler sur un exemple de ce type où nous devons utiliser les lois de Kirchhoff pour analyser un circuit mixte.

Exemple 4: Utiliser les lois de Kirchhoff pour analyser les circuits mixtes

Le schéma montre un circuit qui contient plusieurs piles.

  1. Quel est le courant aux bornes de la résistance de 20 Ω?
  2. Quelle est l’intensité du courant à la borne négative de la pile de 5,0 V?
  3. Quelle est l’intensité du courant à la borne négative de la pile de 10,0 V?

Réponse

Partie 1

Commençons par étiqueter le schéma électrique.

Les courants dans chaque branche du circuit sont étiquetés en fonction du nœud au bas du circuit. Le courant de la pile de 10,0 V jusqu’au nœud est marqué 𝐼 et est considéré comme le courant dans le nœud. Le courant du nœud jusqu’à la résistance de 20 Ω est marqué 𝐼 et est considéré comme sortant du nœud. Le courant du nœud jusqu’à la batterie de 5,0 V est marquée 𝐼 et est considéré comme sortant du nœud.

Nous pouvons appliquer la deuxième loi de Kirchhoff à chaque boucle du circuit pour déterminer la différence de potentiel aux bornes de chaque résistance.

En commençant par la boucle contenant 𝑉 et 𝑅, nous avons 𝑉𝑉=0,V, et donc la différence de potentiel aux bornes de 𝑅 est 𝑉=10,0.V

En utilisant la loi d’Ohm, nous pouvons calculer le courant dans 𝑅:𝐼=𝑉𝑅𝐼=10,020𝐼=0,5.VΩA

Il est égal à 𝐼. Le courant dans la résistance de 20 Ω est 𝐼 et il est donc égal à 0,5 A.

Partie 2

Ensuite, nous pouvons regarder la boucle contenant 𝑉, 𝑉 et 𝑅:𝑉+𝑉𝑉=05,0+10,0𝑉=0.VVVV

La différence de potentiel aux bornes de 𝑅 est 𝑉=15,0.V

À partir de la loi d’Ohm, nous pouvons calculer le courant aux bornes de 𝑅:𝐼=𝑉𝑅𝐼=15,015𝐼=1,0.VΩA

Il est égal à 𝐼. Le courant à la borne négative de la pile de 5,0 A est 𝐼 et il est donc égal à 1,0 A.

Partie 3

En utilisant la première loi de Kirchhoff, nous pouvons calculer 𝐼 à partir du noeud en bas du circuit:𝐼=𝐼+𝐼𝐼=1,0+0,5=1,5.A

Le courant à la borne négative de la pile de 10,0 V est 𝐼 et il est donc égal à 1,5 A.

Exemple 5: Utiliser les lois de Kirchhoff pour analyser les circuits mixtes avec des composants inconnus

Dans le circuit illustré, la valeur de l’une des résistances est inconnue. Le courant total dans le circuit est 0,25 A.

  1. Déterminez le courant 𝐼. Donnez votre réponse arrondie à deux décimales près.
  2. Déterminez le courant 𝐼. Donnez votre réponse arrondie à deux décimales près.
  3. Déterminez la différence de potentiel aux bornes de la résistance inconnue. Donnez votre réponse au volt près.

Réponse

Partie 1

Nous allons commencer par étiqueter les composants du circuit.

La première partie de la question nous demande de trouver 𝐼, le courant dans 𝑅. Pour ce faire, nous devons déterminer la différence de potentiel dans la portion du circuit en parallèle.

Nous pouvons convertir portion du circuit en parallèle en une résistance équivalente en utilisant la formule suivante:𝑅=1𝑅+1𝑅.

En utilisant les valeurs 𝑅=2,5Ω et 𝑅=3,2Ω, cela nous donne 𝑅=12,5+13,2𝑅=1,40.ΩΩΩ

Sachant que le courant dans le circuit est de 0,25 A, la différence de potentiel aux bornes de la résistance équivalente peut être calculée en utilisant la loi d’Ohm:𝑉=𝐼𝑅𝑉=0,25×1,40𝑉=0,35.AΩV

Cette différence de potentiel est la même entre les deux branches de la portion du circuit en parallèle. Le courant, 𝐼, peut ensuite être calculé avec la loi d’Ohm:𝐼=𝑉𝑅𝐼=0,352,5𝐼=0,14.VΩA

Partie 2

La deuxième partie de la question nous demande de calculer le courant 𝐼.

Nous avons déjà calculé la différence de potentiel dans la portion du circuit en parallèle, nous pouvons donc appliquer la loi d’Ohm à 𝑅:𝐼=𝑉𝑅𝐼=0,353,2𝐼=0,11.VΩA

Partie 3

La troisième partie de cette question nous demande de calculer la différence de potentiel aux bornes de la résistance inconnue.

Nous pouvons utiliser la deuxième loi de Kirchhoff pour résoudre ce problème. La deuxième loi de Kirchhoff stipule que la somme des différences de potentiel entre chaque composant d’une boucle est égale à zéro. Pour ce circuit, nous écrirons la différence de potentiel aux bornes de 𝑅 comme 𝑉, celle aux bornes de la section parallèle comme 𝑉, et celle aux bornes de 𝑅 comme 𝑉:12𝑉𝑉𝑉=0.V

Nous avons déjà calculé 𝑉=0,35V. 𝑉 peut être calculé en utilisant la loi d’Ohm:𝑉=𝐼𝑅𝑉=0,25×2,2𝑉=0,55.AΩV

Nous pouvons remplacer cela dans l’équation de la deuxième loi de Kirchoff, en nous souvenant que ce sont des chutes de potentiel, elles sont donc négatives:12𝑉0,550,35=0.VVV

Nous pouvons alors réarranger cela pour donner une valeur à la différence de potentiel 𝑅, aux bornes de la résistance inconnue:𝑉=11,1.V

Ainsi, la différence de potentiel aux bornes de la résistance inconnue, au volt près, est 11 V.

Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Dans les circuits mixtes, nous pouvons identifier des portions de circuit en parallèle et en série. Nous pouvons calculer la résistance équivalente de ces portions de circuit pour analyser le circuit mixte.
  • La première loi de Kirchhoff stipule que la somme des courants dans une jonction/un noeud dans un circuit, 𝐼+𝐼+()()entrantentrant, doit être la même que la somme des courants sortant de la jonction/du noeud, 𝐼+𝐼+()()sortantsortant:𝐼+𝐼+=𝐼+𝐼+.()()()()entrantentrantsortantsortant
  • La deuxième loi de Kirchhoff stipule que la somme de la différence de potentiel entre chaque composant, 𝑉,𝑉,𝑉, dans une boucle est égale à zéro:𝑉+𝑉++𝑉=0.
  • Dans les circuits mixtes, nous pouvons identifier les boucles et les nœuds qui nous permettent d’appliquer les lois de Kirchhoff pour analyser le circuit.

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