Transcription de la vidéo
Déterminez le vecteur unitaire du vecteur 𝐀 à partir du graphique suivant.
Dans cette question, on nous donne une représentation graphique du vecteur 𝐀 et nous devons déterminer le vecteur unitaire de notre vecteur 𝐀. Donc, la première chose que nous allons devoir faire est de rappeler exactement ce que nous entendons par le vecteur unitaire d’un vecteur 𝐀. Ceci est généralement noté comme 𝐀 chapeau. C’est un vecteur unitaire pointant dans le même sens que le vecteur 𝐀. Et nous avons différentes façons de trouver cela. Par exemple, nous connaissons une formule pour trouver cela pour tout vecteur non nul. 𝐀 chapeau sera égal à un sur la norme de 𝐀 multiplié par le vecteur 𝐀. Et tout ce que cette formule nous dit vraiment, c’est que nous savons que le vecteur 𝐀 pointe dans le même sens que le vecteur 𝐀. Et si nous multiplions cela par un sur la norme de 𝐀, nous aurons maintenant un vecteur unitaire. Et ceci ne changera pas le sens de notre vecteur car la norme de 𝐀 est positive.
Cependant, ce n’est pas la seule façon pour répondre à cette question. Et en fait, parce que nous avons une représentation graphique de notre vecteur 𝐀, nous pouvons essayer de le faire graphiquement. Nous savons que notre vecteur 𝐀 doit pointer dans le même sens que le vecteur 𝐀. Nous pouvons donc commencer notre vecteur 𝐀 chapeau à partir de l’origine. Et nous savons qu’il doit pointer exactement dans le même sens que le vecteur 𝐀.
Cependant, il est important de réaliser que le vecteur 𝐀 chapeau va être un vecteur unitaire. Et rappelez-vous, la norme d’un vecteur représente graphiquement la longueur de ce vecteur. Donc, si nous commençons notre vecteur 𝐀 chapeau à l’origine et que sa norme est égale à un, alors son point final doit se trouver sur le cercle unitaire centré sur l’origine. Et cela suffit pour trouver le vecteur 𝐀 chapeau. Elle pointe dans le même sens que 𝐀 et a une norme de un.
Cependant, cela ne nous donne pas encore la forme exacte de notre vecteur 𝐀 chapeau. Il existe différentes façons de trouver cela à partir de notre diagramme. Cependant, la plupart d’entre elles sont plus compliquées que la formule que nous avons déjà. Nous allons donc utiliser cette formule à la place. On peut voir que, pour utiliser cette formule, nous devons trouver la norme de notre vecteur 𝐀 et nous devons le multiplier par notre vecteur 𝐀.
Commençons donc par trouver une expression pour le vecteur 𝐀. Nous pouvons voir qu’on nous donne graphiquement une image du vecteur 𝐀. Et à partir de là, nous pouvons trouver les composantes horizontale et verticale du vecteur 𝐀. Nous pouvons voir que 𝐀 commence à l’origine et se termine à une valeur de 12 sur l’axe horizontale. Donc, sa composante horizontale est 12. Et 𝐀 commence à l’origine et se termine à une position verticale de cinq. Donc, sa composante verticale va être cinq. Par conséquent, nous pouvons représenter le vecteur 𝐀 comme le vecteur 12, cinq.
Maintenant, nous devons trouver la norme du vecteur 𝐀. Et il y a deux façons différentes de le faire. Nous pourrions utiliser notre formule pour la norme. Cependant, rappelez-vous, graphiquement, la norme d’un vecteur représente sa longueur. Et graphiquement, nous pouvons voir que notre vecteur 𝐀 est l’hypoténuse d’un triangle rectangle de hauteur cinq et de largeur 12. Par conséquent, en utilisant le théorème de Pythagore, nous savons que l’hypoténuse de ce triangle ou la norme du vecteur 𝐀 sera égale à la racine carrée de 12 au carré plus cinq au carré. Et en fait, il s’agit d’un triple pythagoricien. Si nous calculons cela, nous voyons que cela est égal à 13.
Nous sommes maintenant prêts à trouver une expression pour notre vecteur 𝐀 chapeau en utilisant notre formule. Notre vecteur 𝐀 chapeau va être un sur la norme de 𝐀 fois le vecteur 𝐀, qui est un sur 13 fois le vecteur 12, cinq. Et rappelez-vous, pour multiplier un vecteur par un scalaire, nous multiplions toutes nos composantes par notre scalaire. Et ce faisant, nous obtenons le vecteur 12 sur 13, cinq sur 13.
Et il convient de souligner ici que nous pouvons vérifier cela sur notre diagramme. Sur notre diagramme, nous avons déjà trouvé notre vecteur 𝐀 chapeau. Et nous pouvons vérifier ses composantes horizontales et verticales. Sur notre diagramme, il apparaît que la composante horizontale est d’environ 0.9 et la composante verticale d’environ 0.4. Et si nous calculons 12 sur 13 et cinq sur 13, nous voyons que c’est très proche. Cela justifie notre réponse.
Par conséquent, étant donné une esquisse du vecteur 𝐀, nous avons pu déterminer le vecteur unitaire pointant dans le même sens que 𝐀. Nous avons obtenu les composantes de ce vecteur comme étant 12 sur 13 et cinq sur 13.
