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Deux forces de même intensité 𝐅 newtons, agissent en un même point. L’intensité de leur résultante est égale à 90 newtons. Lorsque le sens de l’un des vecteurs forces est inversé, l’intensité de la nouvelle résultante est de 90 newtons. Déterminez la valeur de 𝐅.
Dans cette question, on nous dit qu’il y a deux forces d’intensité 𝐅 newtons telles que leur résultante est de 90 newtons. Étant donné que les deux forces agissent au même point, nous pouvons tracer nos deux forces. Nous pouvons étiqueter l’angle entre les forces comme 𝜃 et ajouter la force résultante de 90 newtons.
Rappelons que la loi des cosinus pour deux forces, 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux, où l’angle entre 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux est 𝛼 et la résultante de 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux est 𝐑 nous dit que 𝐑 au carré égale 𝐅 indice un au carré plus 𝐅 indice deux au carré plus deux 𝐅 indice un 𝐅 indice deux cosinus 𝛼. Dans notre cas, nous avons 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux qui sont toutes les deux égales à 𝐅. L’angle entre 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux, 𝛼, est égal à 𝜃. Et la force résultante, 𝐑, est égale à 90.
En substituant ces valeurs dans notre formule, nous avons 90 au carré est égal à 𝐅 au carré plus 𝐅 au carré plus deux 𝐅 au carré cosinus 𝜃. En simplifiant et en factorisant cette équation, nous avons que 90 au carré est égal à deux 𝐅 au carré fois un plus cosinus 𝜃.
Maintenant, nous pouvons utiliser les autres informations qui nous sont données dans la question, selon laquelle lorsque le sens de l’une des forces est inversé, l’intensité de la résultante est à nouveau de 90 newtons. Nous avons inversé le sens de la force horizontale. Alors maintenant, nous pouvons voir que l’angle entre les deux forces est de 180 degrés moins 𝜃. Puisque cet angle aurait été le même si nous avions inversé le sens de l’autre force, peu importe la force que nous choisissons d’inverser.
Nous avons encore une fois 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux qui sont toutes les deux égales à 𝐅 et 𝐑 est égal à 90. Mais 𝛼 est égal à 180 degrés moins 𝜃. En substituant ces valeurs dans notre formule, nous avons 90 au carré égale 𝐅 au carré plus 𝐅 au carré plus deux 𝐅 au carré cosinus de 180 degrés moins 𝜃. Nous pouvons simplifier et factoriser cela pour obtenir 90 au carré égal à deux 𝐅 au carré fois un plus cosinus de 180 degrés moins 𝜃. Nous pouvons simplifier davantage cela en utilisant le fait que cosinus de 180 degrés moins 𝜃 est égal à moins cosinus 𝜃. Notre équation simplifiée devient 90 au carré égale deux 𝐅 au carré fois un moins cosinus 𝜃.
Nous pouvons déplacer les deux équations que nous avons trouvées côte à côte afin de pouvoir les comparer. En regardant les deux équations, la seule différence est le signe devant le cosinus 𝜃. Puisque ces deux équations doivent être vraies, il faut que cosinus 𝜃 soit égal à moins cosinus 𝜃. Nous ajoutons cosinus 𝜃 des deux membres et divisons par deux pour obtenir cosinus 𝜃 égal à zéro. Nous savons que 𝜃 sera compris entre zéro degré et 360 degrés. Donc, en résolvant cosinus 𝜃 est égal à zéro, nous avons 𝜃 est égal à 90 degrés ou 270 degrés.
Nous pouvons voir que quel que soit l’angle que nous choisissons pour 𝜃, le diagramme de force sera le même. Choisissons 𝜃 égal à 90 degrés. Nous pouvons mettre à jour notre diagramme de forces pour montrer cet angle de 90 degrés. Et nous pouvons remplacer cette valeur de 90 degrés dans notre équation d’origine pour déterminer la valeur de 𝐅. Nous pouvons simplifier cela en utilisant le fait que cosinus de 90 degrés est égal à zéro.
Ensuite, nous divisons les deux membres par deux. Puis, nous pouvons prendre la racine carrée des deux membres. Nous pouvons ignorer le résultat négatif, puisque 𝐅 est l’intensité de la force, elle doit donc être positive. Cette racine carrée peut être simplifiée de sorte que nous avons 𝐅 est égal à 90 sur la racine carrée de deux. Afin de rendre rationnel le dénominateur de cette fraction, nous multiplions la fraction entière par la racine carrée de deux sur la racine carrée de deux. Enfin, nous simplifions cela pour arriver à notre solution, qui est 𝐅 égale 45 racine deux. Il y a cependant une autre façon qui nous permettrait de résoudre cette question.
Au point où nous avons trouvé nos deux équations dans 𝐅 et 𝜃, si nous additionnons les deux équations ensemble, les termes 𝜃 se simplifient. Libérons de l’espace pour explorer cette méthode.
Nous commençons par additionner les deux équations. Ensuite, nous allons factoriser les deux termes 𝐅 au carré au membre droit. Nous divisons les deux membres de l’équation par deux et simplifions les termes de cosinus 𝜃. Nous nous retrouvons avec 90 au carré est égal à deux 𝐅 au carré, ce qui est la même équation que nous avons trouvée lorsque nous résolvions le problème pour la première fois. Nous simplifions cette équation et prenons la racine carrée des deux membres. Cela se réarrange pour nous donner 45 racine deux, ce qui correspond à la solution originale que nous avons trouvée.
