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Deux voitures font la course sur une piste droite. La voiture gagnante a un vecteur vitesse moyen de 180 mètres par seconde, tandis que l’autre voiture a un vecteur vitesse moyen de 144 mètres par seconde et atteint la ligne d’arrivée cinq secondes après le vainqueur. Trouvez la longueur de la piste.
Pour commencer, ce serait une bonne idée de faire un schéma pour aider à montrer ce qui se passe dans cette question. Ici, nous avons les deux voitures et leurs vecteurs vitesse respectifs. Nous appellerons la voiture gagnante, la voiture numéro un, et l’autre, plus lente, la voiture numéro deux. Maintenant, pour répondre à cette question, il serait utile de rappeler que le vecteur vitesse, 𝑣, d’un objet est lié au déplacement, Δ𝑠, de l’objet dans un intervalle de temps, Δ𝑡, par la formule 𝑣 égale Δ𝑠 divisé par Δ𝑡. Rappelons également que le déplacement est la distance en ligne droite d’un point à un autre point.
Comme on nous dit que les voitures font la course sur une piste droite et ne changent donc pas de direction, nous savons que le déplacement des voitures est simplement la longueur de la piste. Comme c’est la grandeur que nous cherchons, faisons du déplacement, Δ𝑠, le sujet de l’équation. Nous pouvons le faire en multipliant les deux côtés de l’équation par Δ𝑡. Donc, ce terme s’annule au numérateur et au dénominateur du côté droit, laissant seulement Δ𝑠. Nous pouvons maintenant écrire cette équation comme Δ𝑠 égale 𝑣 fois Δ𝑡.
Appliquons cette équation à chaque voiture. Pour rester organisé, nous utiliserons les indices un et deux pour les voitures numéro un et deux afin d’avoir deux équations distinctes qui relient le vecteur vitesse de chaque voiture à son déplacement. Δ𝑠 indice un est égal à 𝑣 indice un fois Δ𝑡 indice un et Δ𝑠 indice deux est égal à 𝑣 indice deux fois Δ𝑡 indice deux. Notons également que la longueur de la piste 𝑑 est la même pour les deux voitures. Donc, Δ𝑠 indice un et Δ𝑠 indice deux sont tous les deux égaux à 𝑑.
Voyons maintenant la voiture un et son équation en premier. Nous pouvons appeler 𝑡 le temps mis par la première voiture pour atteindre la ligne d’arrivée. On nous a dit que la voiture un avait une vitesse moyenne de 180 mètres par seconde, c’est donc la valeur de 𝑣 indice un. Maintenant, en utilisant ces valeurs dans l’équation, Δ𝑠 indice un est égal à 𝑣 indice un fois Δ𝑡 indice un, nous constatons que la longueur de la piste 𝑑 est égale à 180 mètres par seconde fois 𝑡. Nous ne connaissons pas encore la valeur de 𝑡, mais pas d’inquiétude ; nous pourrons le trouver après avoir résolu l’équation de la voiture deux.
Alors considérons maintenant la voiture deux. On nous dit que la voiture deux atteint la ligne d’arrivée cinq secondes après la voiture un. N’oubliez pas que nous avons appelé 𝑡 le temps mis par la première voiture pour atteindre la ligne d’arrivée. Ainsi, le temps mis par la voiture deux pour atteindre la ligne d’arrivée, qui est Δ𝑡 indice deux, doit être 𝑡 plus cinq secondes. On nous a également dit que la voiture deux avait un vecteur vitesse moyen de 144 mètres par seconde, c’est donc la valeur de 𝑣 indice deux. Maintenant, en nous souvenant que Δ𝑠 indice deux égale 𝑑 et en utilisant ces valeurs dans l’équation Δ𝑠 indice deux égale 𝑣 indice deux fois Δ𝑡 indice deux, nous constatons que la longueur de la piste 𝑑 est égale à 144 mètres par seconde fois 𝑡 plus cinq secondes.
Alors nous avons des équations qui contiennent toutes les informations qui nous sont données dans la question, mais que faire ensuite ? Nous devons trouver 𝑑. Mais notez que nous avons toujours une variable inconnue, c’est le temps 𝑡, dans chacune des formules. Cela signifie que la prochaine chose à faire est de trouver une valeur pour 𝑡. Et une fois que nous aurons fait cela, nous serons en mesure de le remplacer dans l’une des équations du déplacement et de trouver la réponse finale à cette question. Pour ce faire, il faut noter que nous avons deux équations pour la longueur de la piste 𝑑. Nous pouvons donc résoudre ces équations simultanément.
Puisque nous savons que ces deux expressions sont égales à 𝑑, nous pouvons dire qu’elles sont égales entre elles. Ce faisant, nous avons que 180 mètres par seconde fois 𝑡 est égal à 144 mètres par seconde fois 𝑡 plus cinq secondes. Essayons maintenant de trouver 𝑡 en plaçant ce terme seul sur un côté de l’équation. Tout d’abord, sur la droite, nous allons multiplier pour distribuer les termes qui sont actuellement factorisés. Ainsi, nous avons 144 mètres par seconde fois 𝑡 plus 144 mètres par seconde fois cinq secondes. Ensuite, pour obtenir 𝑡 sur un seul côté de l’équation, nous soustrayons ce terme, 144 mètres par seconde fois 𝑡, des deux côtés. Ensuite, en simplifiant le côté gauche, nous avons 36 mètres par seconde fois 𝑡 égale à 144 mètres par seconde fois cinq secondes.
Ensuite, pour obtenir 𝑡 seul, nous divisons les deux côtés par 36 mètres par seconde, de sorte que le terme s’annule sur le côté gauche. Ainsi, nous avons 𝑡 est égal à 144 mètres par seconde fois cinq secondes divisé par 36 mètres par seconde. Notez que les mètres par seconde s’éliminent du numérateur et du dénominateur sur le côté droit. Alors maintenant, les seules unités associées à cette expression sont les secondes, ce qui est bon signe, puisque nous cherchons une valeur de temps pour le moment. Pour simplifier, nous calculons 144 fois cinq divisé par 36, ce qui donne 20. Par conséquent, nous avons déterminé que 𝑡 est égal à 20 secondes. C’est le temps mis par la première voiture pour atteindre la ligne d’arrivée.
Maintenant que nous avons trouvé 𝑡, nous pouvons l’utiliser dans l’une des deux équations que nous avons pour le déplacement 𝑑. Nous pourrions utiliser l’une ou l’autre équation pour obtenir notre réponse finale. Mais pour l’instant, choisissons l’équation de la première voiture : 𝑑 est égal à 180 mètres par seconde fois 𝑡. En utilisant 𝑡 égale 20 secondes, nous constatons que la longueur de la piste est égale à 180 mètres par seconde fois 20 secondes, ce qui est égal à 3 600 mètres. Ceci est notre réponse finale. Nous avons déterminé que la longueur de la piste est de 3 600 mètres.
