Vidéo de la leçon : Vecteur vitesse Physique

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons en apprendre sur le vecteur vitesse. Nous verrons ce qu’est vraiment le vecteur vitesse ainsi que comment il peut servir à comprendre le mouvement d’un objet.

Commençons donc par regarder la définition du vecteur vitesse. Pour ce faire, imaginons que nous ayons cet objet ici, une balle. Et cette balle se déplace en ligne droite vers la droite. Alors disons que pour chaque seconde qui passe, notre balle se déplace d’un mètre vers la droite. Cela signifie que nous pouvons dire que notre balle a une vitesse, 𝑣, d’un mètre par seconde car elle se déplace d’un mètre à chaque seconde. On dirait c’est ne rien de nouveau. Nous avons peut-être déjà étudié le mouvement d’un objet décrit en fonction de la distance qu’il se déplace pendant une certaine période. Et nous pourrions penser : « attendez; N’est-ce pas la vitesse de la balle, et pas son vecteur vitesse? »

Eh bien, commençons par rappeler que la vitesse est définie comme la distance parcourue par un objet divisée par le temps mis par cet objet pour parcourir cette distance. Dans ce cas, on peut dire que la vitesse de notre balle est d’un mètre, car elle se déplace d’un mètre, divisée par une seconde parce qu’elle se déplace d’un mètre en une seconde, ce qui équivaut à un mètre par seconde. Alors, que se passe-t-il ici? Quelle est la différence entre cette quantité, qui correspond à la vitesse de notre balle, et la magnitude du vecteur vitesse, que nous essayons de déterminer plus tôt? Eh bien, il y a en fait quelques différences subtiles. Voyons-les maintenant.

Tout d’abord, rappelons que nous avons dit plus tôt que notre balle se déplaçait en ligne droite de gauche à droite. Ceci est important car le vecteur vitesse d’un objet est définie comme le déplacement de cet objet divisé par le temps nécessaire pour que l’objet pour parcourir ce déplacement. En symboles, nous pouvons écrire ceci comme le vecteur vitesse 𝑣 d’un objet est égale à 𝑠, le déplacement de l’objet, divisé par 𝑡, le temps mis par l’objet pour parcourir ce déplacement. Et nous pouvons également rappeler que le déplacement d’un objet est simplement la distance la plus courte entre les positions initiale et finale de l’objet. Donc, dans ce cas, l’objet que nous considérons est notre balle bleue ici. Et sa position initiale était ici. Et sa position finale est ici.

Maintenant, la distance la plus courte entre ces deux positions est simplement la distance en ligne droite entre elles. Et c’est pourquoi il est important que nous disions que cette balle se déplaçait en ligne droite car pour cette raison, son déplacement est simplement d’un mètre, la distance entre le point de départ et le point d’arrivée. Donc, c’est l’une des différences entre vecteur vitesse, qui est définie comme le déplacement divisé par le temps, et la vitesse, qui est définie comme la distance divisée par le temps. Nous aurions pu, par exemple, envisager une balle bleue qui a suivi un déplacement comme ça pour arriver à son point final, que nous pouvons dire est ici.

Si nous voulions calculer son vecteur vitesse, nous devrions penser à son déplacement, qui est la distance en ligne droite entre son point de départ et d’arrivée, et le diviser par le temps nécessaire pour tout le trajet. Alors que si nous essayions de calculer la vitesse de la balle, nous devions prendre en compte toute la distance parcourue par notre balle. Et il faudrait penser à l’ensemble du parcours de la balle. Voilà donc l’une des différences subtiles entre la vitesse et le vecteur vitesse.

Maintenant, une deuxième différence subtile se résume au fait que le déplacement est une quantité vectorielle. Cela signifie qu’il a à la fois une magnitude ou grandeur et une direction. Alors que la distance est une quantité scalaire, ce qui signifie qu’elle n’a qu’une magnitude ou une intensité. Une conséquence de ceci est que la vitesse, étant une distance divisée par un temps, est aussi une grandeur scalaire. En d’autres mots, la vitesse d’un objet est simplement la distance qu’il parcourt divisée par le temps nécessaire pour parcourir cette distance. La direction vers laquelle elle se déplace n’a pas d’importance.

Cependant, parce que le déplacement est une grandeur vectorielle, ce qui signifie qu’il contient des informations sur la direction dans laquelle, dans ce cas, notre balle se déplace. Cela signifie que le vecteur vitesse doit également être une quantité vectorielle. Parce que le déplacement contient des informations sur la direction selon laquelle la balle se déplace, et donc le vecteur vitesse doit également contenir cette information. Donc, essentiellement, cela signifie que le vecteur vitesse est équivalente au déplacement d’un objet divisé par le temps nécessaire pour que l’objet suive ce déplacement. Ou, en d’autres mots, la distance la plus courte entre ses points de départ et d’arrivée divisée par le temps total de son voyage. Et le vecteur vitesse prend aussi en compte le fait qu’il se déplace, dans ce cas, de gauche à droite.

Et c’est pourquoi il était important que nous disions au début de la vidéo que notre balle bleue se déplace de gauche à droite, et qu’elle se déplace d’un mètre par seconde. Parce que nous pouvons ainsi voir que le vecteur vitesse de notre balle bleue qui a une magnitude d’un mètre par seconde - elle se déplace d’un mètre par seconde - est en fait une quantité vectorielle. Et donc nous devrions inclure le fait qu’il se déplace vers la droite.

D’ailleurs, il y a plusieurs façons de prendre en compte cette information. Une façon consiste à écrire simplement cette affirmation. Nous disons que le vecteur vitesse de notre balle est d’un mètre par seconde vers la droite. Et l’autre consiste à choisir une convention qui dit, par exemple, que tout objet se déplaçant vers la droite se déplace dans le sens positif. Et par conséquent, tout objet se déplaçant vers la gauche se déplace dans le sens négatif. Mais ce n’est pas important pour nous pour le moment. Mais si nous choisissons cette convention, nous pouvons alors dire que la magnitude du vecteur vitesse de notre balle bleue, 𝑣, est égale à plus un mètre par seconde, ce qui signifie qu’elle se déplace dans le sens positif, c’est-à-dire vers la droite. Et elle se déplace d’un mètre vers la droite à chaque seconde.

Eh bien, à ce stade, nous pourrions nous demander que si le déplacement est défini comme la distance la plus courte entre deux points, c’est-à-dire la distance en ligne droite entre ces deux points, cela signifie-t-il que nous ne pouvons parler que des vecteurs vitesses en lignes droites? Pouvons-nous parler du vecteur vitesse d’un objet uniquement s’il se déplace à tout moment dans une seule direction ? Et la réponse à cette question est non. Nous pouvons parler du vecteur vitesse d’un objet également s’il change de direction lorsqu’il se déplace. Mais nous devons prendre en compte que si un objet change de direction, son vecteur vitesse change également. Cela correspond au fait que le vecteur vitesse est une quantité vectorielle.

Si nous imaginons notre balle bleue une fois de plus et que nous disons qu’elle se déplace toujours d’une distance d’un mètre pour chaque seconde qui passe, mais cette fois, notre balle bleue se déplace vers le bas à un mètre par seconde. Alors, le vecteur vitesse de cette balle bleue est différente du vecteur vitesse de la balle bleue originale car la première balle bleue se déplace vers la droite tandis que la seconde se déplace vers le bas. Donc, même si la magnitude du vecteur vitesse de chaque balle est la même, c’est-à-dire, un mètre par seconde, les deux objets ont des différents vecteurs vitesses puisqu’ils se déplacent selon des directions différentes. Et donc, nous comprenons l’importance de l’orientation d’une grandeur vectorielle.

En fait, si nous imaginons cette fois que notre balle se déplace le long d’une trajectoire courbe - disons un arc de cercle le long duquel elle se déplace⁠ - et que cette balle se déplace d’un mètre par seconde. On peut toujours dire que le vecteur vitesse de la balle change constamment car à chaque point du cercle, la balle se déplace selon une direction différente. Maintenant, nous ne considérerons plus le mouvement d’un objet qui se déplace le long d’une trajectoire courbe. Mais au lieu de cela, nous considérerons le mouvement d’un objet qui va et vient le long d’une ligne droite car cela nous permet facilement d’appliquer notre convention que nous avons établie ici. C’est-à-dire, nous avons choisi le sens pour lequel nous pouvons dire que l’objet a un vecteur vitesse positif. Et par conséquent, cela implique que lorsque l’objet se déplaçant dans le sens opposé doit avoir un vecteur vitesse négatif.

Munis de ces informations, réfléchissons à ce qui arrive à notre balle si elle va et vient dans les deux sens, en se déplaçant de gauche à droite, et de droite à gauche. Tout d’abord, considérons simplement la balle qui se déplace vers la droite, mais à des vitesses différentes et à des moments différents. Disons tout d’abord que dans un intervalle de temps de deux secondes, notre balle se déplace de quatre mètres. Et puis, pendant une seconde, la balle s’arrête; elle reste stationnaire. Et puis, la balle se déplace de nouveau, et dans les deux secondes suivantes, la balle parcourt une distance de six mètres. Alors récapitulons. Dans ce cas, la balle se déplace en ligne droite de gauche à droite. Et pendant les deux premières secondes, il s’est déplacé de quatre mètres. Puis, pendant une seconde, il est resté stationnaire là où il était. Et puis, dans les deux dernières secondes, il s’est déplacé de six mètres.

Nous avons donc considéré le mouvement de la balle sur une période de deux plus un plus deux, soit cinq secondes. Et au cours de ces cinq secondes, la balle ne s’est déplacée à vitesse constante car, dans les deux premières secondes, elle s’est déplacée de quatre mètres. Mais pendant la seconde suivante, elle est restée immobile. Et pendant les deux dernières secondes, il s’est déplacé de six mètres. Ainsi, nous pouvons calculer la vitesse de la balle pour chaque étape de son trajet. Commençons donc par trouver le vecteur vitesse de notre balle lors de sa première phase de mouvement. Appelons cela 𝑣 indice zéro à deux parce que c’est la vitesse de la balle entre zéro et deux secondes. Ce sont les deux premières secondes de son trajet.

Eh bien, cette vitesse est vers la droite. Nous utilisons donc la même convention qu’avant qui dit que les vecteurs vitesses vers la droite sont positives. Et par conséquent, nous pouvons dire que le vecteur vitesse de notre balle entre zéro et deux secondes est positif. Et puis, nous pouvons calculer que ce vecteur vitesse est égale à son déplacement. Cela correspond donc à la distance en ligne droite entre son point de départ et son point d’arrivée pour cette étape de son voyage, qui vaut quatre mètres. Et nous divisons cela par le temps nécessaire pour que cette balle suive ce déplacement. Cela fait deux secondes, donc nous mettons deux secondes dans notre dénominateur. Parce que, rappelez-vous, le vecteur vitesse d’un objet est égale à son déplacement ⁠ - nous appellerons cela 𝑠 ⁠ - divisée par le temps pris par l’objet pour suivre ce déplacement. Et bien sûr, comme le vecteur vitesse est un vecteur, nous devons tenir compte du sens selon laquelle elle se déplace, ce que nous avons fait avec notre signe positif.

Donc, le vecteur vitesse de notre balle vaut plus deux mètres par seconde lors de la toute première étape de son mouvement, ce qui signifie que nous pouvons passer au calcul de la vitesse de notre balle dans la prochaine étape de son mouvement quand elle est stationnaire. Et nous appellerons cette vitesse 𝑣 deux à trois parce que c’est la vitesse de la balle entre deux et trois secondes après avoir quitté sa position initiale ici. Maintenant, ce vecteur vitesse s’avère être égale au déplacement de notre balle, qui pendant cette seconde était en fait de zéro mètre car rappelez-vous qu’elle était stationnaire. Elle est restée exactement où elle était. Et parce qu’elle ne se déplace pas du tout, nous ne pouvons pas dire qu’elle a un vecteur vitesse positif ou négatif parce qu’elle ne se déplace pas selon un sens particulier. Et puis, nous prenons le déplacement de la balle et le divisons par le temps, qui était d’une seconde parce que la balle était stationnaire pendant une seconde.

Maintenant, zéro divisé par un autre nombre vaut toujours zéro, ce qui signifie que la vitesse de notre balle entre deux et trois secondes après le début de son trajet est de zéro mètre par seconde. Elle n’était pas en mouvement, un peu comme ce que nous nous attendions à trouver, car si la balle ne bouge pas, alors elle n’aura pas de vitesse. Et puis, nous pouvons calculer la vitesse de la balle entre trois et cinq secondes après le début de son trajet. Eh bien, entre trois et cinq secondes, la balle a parcouru une distance en ligne droite de six mètres, donc son déplacement était de six mètres vers la droite. Maintenant, puisque tout ce qui se déplace vers la droite a un vecteur vitesse et un déplacement positifs, nous commençons par un signe positif. Et puis, nous disons que le déplacement était de six mètres et divisons cela par le temps nécessaire pris par la balle pour suivre ce déplacement, qui était de deux secondes. Nous avons donc mis deux secondes dans notre dénominateur.

Alors, six divisé par deux nous donne une valeur numérique égal à trois. Et l’unité est à nouveau en mètres par seconde, ce qui signifie qu’à ce stade, nous avons trouvé le vecteur vitesse de la balle pour chacune des étapes de son mouvement. Pendant les deux premières secondes de son mouvement, la balle s’est déplacée à deux mètres par seconde vers la droite. Ensuite, pendant la seconde suivante, la balle est restée stationnaire. Et puis, pendant les deux dernières secondes, il s’est déplacé à trois mètres par seconde vers la droite. Donc, à ce stade, nous voyons que nous avons trouvé tous les différents vecteurs vitesses de la balle pour toutes les différentes étapes de son mouvement. Mais parfois, nous voulons simplement connaître le mouvement global de la balle, du moment où elle a commencé à se déplacer au moment où elle a fini de son mouvement. Et dans de telles situations, un concept appelé vecteur vitesse moyenne entre en jeu.

Le vecteur vitesse moyenne d’un objet est simplement défini comme le déplacement total de cet objet sur la totalité de son mouvement divisé par le temps total de ce trajet. Donc, foncièrement, le vecteur vitesse moyenne suppose en quelque sorte que l’objet se déplace à une vitesse constante entre son point de départ et son point d’arrivée et nous donne ce que ce vecteur vitesse constante devrait être. En tenant compte que nous trouvons le déplacement total et le divisons par le temps total du trajet. Imaginons, par exemple, qu’au lieu d’avoir une balle bleue qui se déplace de gauche à droite, nous avons un coureur qui se déplace de gauche à droite. Et il participe à une course assez inhabituelle de 10 mètres. Dans ce cas, ce qui nous importe vraiment, c’est la vitesse moyenne de ce coureur.

Peu nous importe qu’il lui ait fallu deux secondes pour parcourir les quatre premiers mètres et qu’il se soit arrêté pendant la seconde suivante, on ne sait trop pourquoi. Et qu’il a couru très vite pendant les deux dernières secondes parce qu’il a parcouru six mètres. Ce qui nous importe vraiment, c’est son vecteur vitesse moyenne, le vecteur vitesse qu’il aurait eu s’il parcourait la même distance chaque seconde. Il a couru la même distance sur la même période. Eh bien, techniquement, dans le cas du coureur, ce qui nous importe vraiment, c’est le temps pris pour exécuter ce qui est en fait un déplacement fixe. Donc, dans ce cas, l’important c’est que cela lui ait pris deux plus un plus deux – c’est-à-dire cinq secondes - alors que quelqu’un d’autre l’aurait peut-être accompli plus rapidement ou plus lentement.

Néanmoins, cela se tient. Dans de nombreux cas, nous nous intéressons par le vecteur vitesse moyenne de l’objet et non par le vecteur vitesse sur différentes parties de son voyage. Donc, dans ce cas, nous pouvons calculer le vecteur vitesse moyenne de notre balle bleue en disant que 𝑣 indice m - c’est le vecteur vitesse moyenne. Est égale au déplacement total de la balle bleue, qui vaut quatre mètres plus zéro mètre quand elle était stationnaire plus six mètres, divisé par le temps total qui vaut deux secondes plus une seconde plus deux secondes. Et bien sûr, parce que toutes ces vitesses sont vers la droite, nous devons inclure un signe positif pour nous assurer que le vecteur vitesse moyenne est positif.

Donc, en évaluant cette fraction, nous trouvons qu’elle donne plus 10 mètres au numérateur divisée par cinq secondes au dénominateur. Nous trouvons que la valeur numérique vaut 10 divisée par cinq, ce qui est deux. Et l’unité est le mètre divisé par la seconde, soit des mètres par seconde. Et par conséquent, nous constatons que si la balle bleue s’était déplacée à un vecteur vitesse constante en suivant le même déplacement sur le même temps total, elle se serait déplacée à une vitesse de deux mètres par seconde vers la droite. Et comme nous l’avons déjà mentionné, la vitesse moyenne nous donne une idée du mouvement global de notre objet, plutôt que de le décomposer en différentes étapes de mouvement. Et en fait, le vecteur vitesse moyenne devient encore plus utile lorsque nous considérons la vitesse dans un sens négatif.

Disons maintenant que notre balle commence ici. Et disons que pendant les deux premières secondes, il se déplace à nouveau sur une distance de quatre mètres vers la droite. Et puis, encore une fois de nouveau lorsqu’il atteint ce point, pendant une période d’une seconde, la balle reste stationnaire. Elle reste exactement là où elle se trouve. Mais ensuite, pendant les deux secondes qui suivent, la balle inverse le sens de son mouvement. Et disons qu’elle parcourt six mètres vers la gauche cette fois. Et donc, ce que nous disons, c’est qu’il faut encore deux secondes pour parcourir une distance de six mètres vers la gauche, ce qui signifie que notre balle a commencé ici et s’est retrouvée ici.

Maintenant, nous pouvons effectuer la même analyse que précédemment. Où nous trouvons le vecteur vitesse de la balle le long de chacune de ses étapes. Et nous pouvons voir que le vecteur vitesse de la première étape, le vecteur vitesse de zéro à deux secondes, sera le même qu’il était auparavant parce que la balle se déplaçait dans le sens positif vers la droite. Une distance de quatre mètres en deux secondes, ce qui donne un vecteur vitesse positif de deux mètres par seconde. Et la vitesse pendant la phase stationnaire, de deux à trois secondes, sera la même qu’auparavant, zéro mètre par seconde. Mais cette fois, le vecteur vitesse entre trois et cinq secondes sera différente car, maintenant, la balle se déplace vers la gauche. Donc, son vecteur vitesse sera égale à son déplacement, qui est de moins six mètres, divisé par le temps mis pour que ce déplacement se produise, qui était de deux secondes. Et donc son vecteur vitesse dans cette phase serait moins six divisé par deux mètres par seconde ou moins trois mètres par seconde.

Mais si ce qui nous intéresse vraiment, c’est le mouvement global de notre balle, alors l’important est de trouver son vecteur vitesse moyenne, qui est encore une fois égale au déplacement total de la balle divisé par le temps total de son trajet. Alors, quel est le déplacement total de la balle? Eh bien, c’est la distance la plus courte entre son point de départ au début de son voyage et son point final, c’est-à-dire à la fin du trajet. Et nous pouvons nous rappeler qu’elle a commencé ici et est arrivée ici, peu importe le chemin suivi. Dans ce cas, elle est allée d’abord vers la droite, puis est restée stationnaire en ce point, puis est retournée vers la gauche. Le déplacement de la balle est toujours de cette longueur ici et va vers la gauche parce que voilà le début; voilà l’arrivée. Elle a donc dû se déplacer vers la gauche.

Alors cette distance-ci est simplement de six mètres moins quatre mètres, ou techniquement, de quatre mètres plus moins six mètres. Et donc nous pouvons dire que le vecteur vitesse moyenne de notre balle dans ce scénario est égale à son déplacement, qui vaut moins deux mètres - elle s’est déplacée de deux mètres vers la gauche entre le départ et l’arrivée - divisée par le temps mis pour son trajet entier, qui vaut cinq secondes une fois de plus. Car pendant les deux premières secondes, elle s’est déplacée vers la droite. Ensuite, elle est restée stationnaire pendant une seconde. Et puis, elle s’est déplacée à gauche pendant les deux dernières secondes. En tout, cela fait cinq secondes. Et nous trouvons donc que le vecteur vitesse moyenne de notre balle dans cette situation est moins deux cinquièmes mètres par seconde. Ou, sous forme décimale, c’est moins 0,4 mètres par seconde, ce qui nous dit essentiellement que la totalité du mouvement de notre balle est équivalente à si elle venait de se déplacer directement vers la gauche à une vitesse constante de 0,4 mètre par seconde.

Donc, après en avoir appris sur le vecteur vitesse ainsi que le vecteur vitesse moyenne, résumons ce que nous avons vu dans cette leçon. Tout d’abord, nous avons vu que le vecteur vitesse est définie comme le déplacement d’un objet divisé par le temps nécessaire pour que l’objet suive ce déplacement. Nous avons vu que, en symboles, cela peut être s’écrire 𝑣, le vecteur vitesse, est égale à 𝑠, le déplacement, divisé par le temps 𝑡. Nous avons également vu que le vecteur vitesse est une grandeur vectorielle. Il a à la fois une magnitude et une direction. Et enfin, nous avons vu que le vectuer vitesse moyenne était définie comme le déplacement total d’un objet divisé par le temps total de son trajet. Nous avons vu qu’elle sert à analyser le mouvement global des objets qui ne se déplacent pas à une vitesse constante. Et ceci est un résumé du vecteur vitesse