Transcription de la vidéo
La fonction illustrée par la représentation graphique ci-dessous est-elle une fonction injective ?
Pour commencer, rappelons d’abord la définition générale d’une fonction, puis la définition spécifique d’une fonction injective. Pour qu’une relation soit une fonction, nous exigeons que chaque élément du domaine de définition corresponde exactement à un élément de l’ensemble image. Pour que cette fonction soit définie comme injective, chaque élément de l’ensemble image doit correspondre exactement à un élément de l’ensemble de définition. Nous rappelons que nous pouvons vérifier si un graphique est une fonction en utilisant le test de la ligne verticale. Il s’agit d’une façon visuelle de vérifier que chaque coordonnée 𝑥 d’un point sur la courbe ne peut avoir qu’une seule coordonnée 𝑦. Dans un repère cartésien, la coordonnée verticale représente généralement l’image. Par conséquent, si une droite verticale traverse une courbe en plusieurs points, cela signifie que plusieurs images sont affectées au même antécédent.
Pour qu’une fonction soit injective, elle doit passer le test de la ligne verticale et le test de la ligne horizontale. Étant donné que la coordonnée horizontale représente généralement l’antécédent, s’il y a plus d’une intersection entre la droite horizontale et le graphique de la fonction, cet élément de l’ensemble image est associé à plus d’un élément du domaine de définition. Ainsi, cela ne donnerait pas une fonction injective. Par conséquent, une fonction n’est pas injective s’il existe une droite horizontale qui traverse son graphique plusieurs fois.
On nous dit que ce graphique est une fonction. Seulement, qu’en est-il de la droite verticale 𝑥 égale zéro ? Il semble que le graphique puisse traverser cette droite en plusieurs endroits. Cela peut être expliqué par l’existence d’une asymptote verticale : le graphique s’approche de cette droite mais n’est pas défini en 𝑥 égal à zéro. Vu que ce graphique est une fonction, il passe le test de la ligne verticale. Cependant, nous devons savoir si ce graphique passe également le test de la ligne horizontale.
Sur la figure, nous avons tracé une droite horizontale qui traverse le graphique en trois points distincts. Vu que l’équation de cette fonction ne nous est pas donnée, nous ne pourrions pas connaître les coordonnées exactes de ces trois points. Cependant, nous pouvons dire que la droite horizontale que nous avons tracée peut être approximativement représentée par l’équation 𝑦 est égal à 19. Quelle que soit cette valeur 𝑦, elle coupe la courbe en trois points de coordonnées 𝑥 différentes. Ces coordonnées 𝑥 sont approximativement moins trois, zéro et trois et ces points ont tous la même coordonnée 𝑦. Nous notons que le point du milieu doit être légèrement à droite de zéro, puisqu’il n’y a pas de points définis sur l’asymptote verticale d’équation 𝑥 est égal à zéro.
En conclusion, cette fonction n’est pas injective car elle échoue au test de la ligne horizontale.
