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Quelle fonction correspond à la représentation graphique suivante ?
On nous propose cinq fonctions logarithmiques à considérer. 𝑓 de 𝑥 est égal au logarithme de base trois de 𝑥. 𝑓 de 𝑥 est égal au logarithme de base trois de trois 𝑥. 𝑓 de 𝑥 est égal au logarithme de base trois de 𝑥 plus trois. 𝑓 de 𝑥 est égal au logarithme de base 10 de 𝑥 plus trois. 𝑓 de 𝑥 est égal au logarithme de base trois de moins 𝑥 plus trois.
Une première observation du graphique nous montre que la courbe ressemble à celle d'une fonction logarithmique. Le graphique nous permet également de voir que cette fonction a une abscisse du point d’intersection avec l’axe des 𝑥 en moins deux et une ordonnée à l'origine 𝑦 en un. La fonction a une asymptote verticale en 𝑥 est égal à moins trois. De plus, nous remarquons que la fonction est croissante et qu'aucune partie de la courbe ne se trouve à gauche de l'asymptote.
En regardant les fonctions proposées, on nous demande de déterminer les transformations d'une fonction logarithmique représentée sur le graphique. Si la fonction était de la forme 𝑓 de 𝑥 est égal au logarithme de base 𝑛 de 𝑥, alors la courbe aurait une abscisse du point d’intersection avec l’axe des 𝑥 égale à un et passerait par le point 𝑛, un.
Une fonction logarithmique de cette forme aurait également une asymptote verticale d’équation 𝑥 est égal à zéro. Puisque la fonction donnée dans l'option (A) est de cette forme, avec 𝑛 est égal à trois, nous nous attendons à ce qu'elle passe par les points un, zéro et trois, un. En traçant ces points dans le repère, nous remarquons qu'ils n'appartiennent pas au graphe. Par contre, si nous déplaçons ces points et l'asymptote verticale de trois unités vers la gauche, ils correspondent exactement au graphique. Nous éliminons donc l'option (A).
Il nous faut maintenant déterminer laquelle des fonctions qui restent est une translation horizontale de trois unités vers la gauche de cette première fonction. En toute confiance, nous pouvons éliminer l'option (D), puisqu'elle n'est pas de base de trois. Une fonction logarithmique de base 10 est plus plate qu'une fonction logarithmique de base de 3.
Il ne reste donc que les options (B), (C) et (E) à considérer. Nous remarquons que la fonction (B) est de la forme logarithme de base de trois de 𝑏 fois 𝑥. Cette forme représente un étirement horizontal par un facteur d'échelle de un sur 𝑏. Ainsi, l'option (B) représente un étirement horizontal d'un facteur d'échelle d'un tiers. Cependant, nous cherchons la fonction qui translate horizontalement la courbe de trois vers la gauche.
Nous éliminons donc l'option (B) et passons à l'option (C), qui est de la forme logarithme de base de trois de 𝑥 plus ℎ. Ce type de transformation fait que la fonction logarithme de base trois de 𝑥 se translate ou se décale de moins ℎ horizontalement. Puisque ℎ est égal à trois, cette transformation décale la fonction logarithme de base trois de moins trois, autrement dit de trois vers la gauche. Cela correspond à la translation horizontale indiquée dans la figure.
Pour vérifier notre réponse, nous évaluons la fonction aux deux points que nous avons trouvés dans le graphique. Nous évaluerons 𝑓 de moins deux et 𝑓 de zéro pour confirmer que les points de coordonnées moins deux, zéro et zéro, un, sont donnés par le logarithme de base trois de 𝑥 plus trois.
L’évaluation de 𝑓 de moins deux pour la fonction de l’option (C) nous donne logarithme de base trois de un. Sachant qu’un logarithme est l’inverse d’une exponentielle, nous montrons que logarithme de base trois de un est égal à zéro. En effet, trois à la puissance zéro est égal à un. Nous pouvons également vérifier que 𝑓 de zéro est égal à un parce que trois à la puissance un est égal à trois.
Nous allons conclure en vérifiant ces deux points pour la fonction donnée par l’option (E). Dans ce cas, 𝑓 de moins deux est égal au logarithme de base trois sur cinq, ce qui est différent de zéro. Nous notons que 𝑓 de zéro égale un, mais nous avons suffisamment de preuves pour éliminer l’option (E) parce que nous avons montré qu’elle ne contient pas le point moins deux, zéro.
En conclusion, la fonction qui représente la courbe logarithmique donnée est 𝑓 de 𝑥 est égal au logarithme de base trois de 𝑥 plus trois.
