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Fiche explicative de la leçon : Représentations graphiques des fonctions logarithmiques Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à tracer les courbes représentatives des fonctions logarithmiques de différentes bases et leurs transformations, et à connaître leurs différentes caractéristiques.

Commençons par rappeler la définition d’une fonction logarithmique.

Définition : Fonction logarithmique

Une fonction logarithmique est la réciproque d’une fonction exponentielle. Pour la fonction exponentielle définie par 𝑓(𝑥)=𝑛, 𝑛>0 et 𝑛1, la fonction logarithmique réciproque est définie par 𝑓(𝑥)=𝑥log.

Si le point (𝑥;𝑦) appartient à la courbe représentative de la fonction exponentielle, alors le point (𝑦;𝑥) appartient à la courbe représentative de la fonction logarithmique. C’est-à-dire, si 𝑦=𝑛, alors 𝑥=𝑦log.

Puisqu’une fonction logarithmique est la réciproque d’une fonction exponentielle, et que les courbes représentatives des fonctions réciproques sont les symétriques des courbes représentatives des fonctions par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥, on peut donc tracer la courbe d’équation 𝑦=𝑥log par symétrie d’une courbe représentant une fonction exponentielle.

Représentons la courbe d’équation 𝑦=𝑥log, que nous pouvons aussi écrire sous la forme 𝑦=𝑥log. Pour ce faire, nous commencerons par tracer la courbe représentative de 𝑦=10.

On voit que la fonction exponentielle définie par 𝑓(𝑥)=10 a pour ensemble de définition ];+[ et son ensemble image est ]0;+[. Sa courbe a pour asymptote l’axe des 𝑥 négatifs, et donc aucune partie de la courbe ne se situera au-dessous de l’axe des 𝑥. Cela vient du fait qu’une puissance de 10 ne peut jamais être positive ou 0. La courbe coupe l’axe des 𝑦 en 1, car 𝑓(0)=10=1, et passe par le point (1;10), comme 𝑓(1)=10=10. De plus, notons que la fonction est croissante sur son ensemble de définition et lorsque 𝑥 tend vers l’infini, les images tendent également vers l’infini, car la base, 10, est supérieure à un.

Maintenant, nous pouvons tracer la droite d’équation 𝑦=𝑥 ainsi que le symétrique de la courbe d’équation 𝑦=10 pour obtenir la courbe représentative de la fonction logarithmique d’équation 𝑦=𝑥log (notée aussi, 𝑦=𝑥log).

Le symétrique du point d’intersection avec l’axe des 𝑦, (0;1) par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥 appartenant à la courbe représentative de la fonction exponentielle nous donne un point d’intersection avec l’axe des 𝑥, (1;0) appartenant à la courbe de la fonction logarithmique. On peut aussi construire le symétrique du point (1;10) et remarquer que (10;1) appartient à la courbe de la fonction logarithmique. De même, étant donné que la courbe de la fonction exponentielle a pour asymptote horizontale la partie négative de l’axe des 𝑥, la courbe de la fonction logarithmique aura comme asymptote verticale la partie négative de l’axe des 𝑦, ainsi aucune partie de la courbe ne se situera alors à gauche de l’axe des 𝑦.

L’ensemble de définition d’une fonction et son ensemble image sont respectivement l’ensemble image et le domaine de définition de la fonction réciproque. Ainsi, la fonction logarithmique a pour ensemble de définition ]0;+[ et pour ensemble image ];+[. C’est-à-dire que l’ensemble de définition de la fonction logarithmique est l’ensemble image de la fonction exponentielle et l’ensemble image de la fonction logarithmique est l’ensemble de définition de la fonction exponentielle. Enfin, comme la fonction exponentielle est une fonction croissante, sa réciproque sera également croissante.

Comme la courbe représentative d’une fonction exponentielle a des propriétés similaires si sa base est un nombre strictement supérieur à un, la courbe de la fonction logarithmique aura également une forme similaire. Ainsi, nous pouvons l’utiliser pour déterminer les propriétés des différentes fonctions logarithmiques de la forme 𝑦=𝑥log, 𝑛>1.

Lorsque nous avons tracé la courbe de la fonction exponentielle, nous avons utilisé une base plus grande que 1, pour créer une fonction croissante. La base peut être aussi comprise entre 0 et 1, de sorte que la fonction exponentielle associée soit décroissante.

Traçons la courbe d’équation 𝑦=𝑥log symétrique de la courbe d’équation 𝑦=0,5. Nous allons commencer par tracer la courbe représentative d’équation 𝑦=0,5.

La fonction exponentielle, d’expression 0,5, a pour ensemble de définition ];+[ et pour ensemble image ]0;+[. Sa courbe représentative a pour asymptote l’axe des 𝑥 positifs, de plus, aucune partie de la courbe n’est situé au-dessous de l’axe des 𝑥, car 0,5 élevé à une puissance ne peut jamais être négatif ou 0. La courbe a une intersection avec l’axe des 𝑦 qui vaut 1, car 0,5=1, et passe par le point (1;0,5), comme 0,5=0,5. Notons également que la fonction est décroissante sur son ensemble de définition, et lorsque 𝑥 tend vers l’infini par valeurs négatives, son image tend l’infini, car la base de la fonction exponentielle est comprise entre zéro et un.

On peut alors représenter le symétrique de cette courbe par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥 et obtenir la courbe d’équation 𝑦=𝑥log.

En construisant les images du point d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑦, (0;1) et du point (1;0,5) par symétrie par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥 on trouve le point d’intersection avec l’axe des 𝑥, (1;0) et le point (0,5;1). De même, étant donné que la courbe de la fonction exponentielle se situe au-dessus de l’axe des 𝑥 positifs, ce dernier est une asymptote horizontale de cette courbe, la courbe de la fonction logarithmique sera par conséquent située à la droite de l’axe des 𝑦 qui est ainsi une asymptote verticale.

Encore une fois, la fonction logarithmique a pour ensemble de définition ]0;+[ et pour ensemble image ];+[. C’est-à-dire que l’ensemble de définition de la fonction logarithmique est l’ensemble image de la fonction exponentielle associée et l’ensemble image de la fonction logarithmique est l’ensemble de définition de cette fonction exponentielle. Enfin, comme 0,5 est l’expression d’une fonction décroissante, sa fonction réciproque, log𝑥, est également une fonction décroissante.

Comme la courbe de la fonction exponentielle aura des propriétés équivalentes si sa base est un nombre quelconque entre zéro et un, la courbe de la fonction logarithmique aura également une forme similaire. Ainsi, nous pouvons l’utiliser pour déterminer les propriétés des différentes fonctions logarithmiques de la forme 𝑦=𝑥log, 𝑛>0 et 𝑛1.

Propriétés : Représentation graphique de la fonction logarithmique d’équation 𝑦 = log 𝑛 (𝑥)

Toutes les courbes représentatives des fonctions logarithmiques de la forme 𝑦=(𝑥)log, 𝑛>0 et 𝑛1,

  • n’ont qu’un seul point d’intersection avec l’axe des 𝑥, en 1;
  • passent par le point (𝑛;1);
  • ont une asymptote verticale d’équation 𝑥=0;
  • ont pour ensemble de définition ]0;+[ et pour ensemble image ];+[.

Quand 𝑛>1 ,

  • la fonction est croissante;
  • la courbe représentative de la fonction admet pour asymptote verticale l’axe des 𝑦 negatifs.

Quand 0<𝑛<1,

  • la fonction est décroissante;
  • la courbe représentative de la fonction admet pour asymptote verticale l’axe des 𝑦 positifs.

Cela nous donne suffisamment d’informations pour utiliser les propriétés des fonctions réciproques et ainsi pour tracer les courbes représentatives d’équations 𝑦=𝑥log pour toute valeur positive de 𝑛 différente de un. Voyons quelques exemples.

Exemple 1: Déterminer les images par une fonction logarithmique

Déterminez les valeurs manquantes de (𝑥)=𝑥log.

𝑥212
(𝑥)

Réponse

Il serait possible de saisir simplement les valeurs de 𝑥 dans une calculatrice pour trouver log𝑥 dans chaque cas, mais nous utiliserons plutôt la relation réciproque entre les fonctions logarithmes et les fonctions exponentielle pour répondre à cette question.

Pour la fonction logarithmique définie par (𝑥)=𝑥log, la fonction exponentielle réciproque est (𝑥)=2. Si le point (𝑥;𝑦) appartient la courbe de la fonction logarithmique, alors le point (𝑦;𝑥) appartient à la courbe de la fonction exponentielle. Si on pose 𝑦=(𝑥), on peut dire que 𝑦=𝑥log;alors on peut aussi dire 𝑥=2. Maintenant, nous recherchons des valeurs de 𝑦 qui vérifient cette deuxième équation pour les valeurs de 𝑥 données.

D’abord, en prenant 𝑥=2 on a 2=2.

Nous savons qu’il n’y a aucune puissance, à laquelle on peut élever la base d’une fonction exponentielle, qui va donner 0 ou un nombre négatif. Cela signifie que nous ne pouvons pas trouver une image par la fonction logarithmique en 𝑥=2. Ainsi, (2) est indéfini.

Ensuite, en remplaçant 𝑥=1 dans l’équation 𝑥=2 cela nous donne 1=2.

Rappelons que tout nombre non nul élevé à la puissance 0 est égale à 1. En d’autres termes, puisque 2=1, il s’ensuit que log1=0. Ainsi, (1)=0.

Enfin, en remplaçant 𝑥=2 dans l’équation 𝑥=2 cela nous donne 2=2.

Rappelons qu’un nombre élevé à un exposant 1 est égal lui-même. En d’autres termes, puisque 2=2, il s’ensuit que log2=1. Ainsi, (2)=1.

Par conséquent, après avoir rempli les valeurs manquantes dans le tableau, nous avons ce qui suit:

𝑥212
(𝑥)Indéfini01

Note

Bien que la question ne l’exige pas, nous pouvons tracer la courbe de la fonction logarithmique (𝑥)𝑥log en représentant graphiquement la fonction exponentielle définie par (𝑥)=2 puis la courbe symétrique par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥. Cela vient du fait que les deux fonctions sont réciproques l’une de l’autre. Les deux courbes d’équations 𝑦=(𝑥) et 𝑦=(𝑥) sont représentées ci-dessous.

Nous pouvons voir que la courbe de la fonction logarithmique est en accord avec les réponses que nous avons trouvées.

Ensuite, nous allons traiter un problème dans lequel nous devons identifier la courbe représentative d’une fonction logarithmique pour une base donnée.

Exemple 2: Représentation graphique d’une fonction logarithmique de base donnée

Laquelle des représentations graphiques suivantes correspond à la fonction définie par 𝑓(𝑥)=(𝑥)log?

Réponse

La fonction définie par 𝑓(𝑥)=(𝑥)log est une fonction logarithmique de la forme 𝑓(𝑥)=𝑥log. Rappelons les caractéristiques suivantes pour les courbes de telles fonctions pour toute valeur de 𝑛 supérieure à 0, tel que 𝑛1:

  • La courbe a pour asymptote l’axe des 𝑦, avec aucune partie de la courbe se situant à gauche de l’axe des 𝑦.
  • La courbe coupe l’axe des 𝑥 en 1. Cela est dû au fait que log1=0, ou réciproquement, 𝑛=1.
  • La courbe passe par le point (𝑛;1), comme log𝑛=1. Ici, 𝑛=5, donc cela signifie que la courbe passe par le point (5;1).
  • Si 𝑛>1, la fonction est croissante sur son ensemble de définition. Ici, 𝑛=5, donc c’est le cas..

Nous pouvons voir que toutes les courbes données ont pour asymptote l’axe des 𝑦, avec aucune partie se situant à gauche de l’axe des 𝑦, et les fonctions représentées sont toutes strictement croissantes.

Cependant, une seule des courbes coupe l’axe des 𝑥 en 1 et passe par le point (5;1). La courbe représentative qui correspond à la fonction 𝑓(𝑥)=(𝑥)log est la suivante:

Nous allons maintenant identifier la courbe représentative d’une autre fonction logarithmique. Cette fois, toutes les courbes représentatives possibles seront tracées dans le même repère.

Exemple 3: Reconnaître la courbe représentative d’une fonction logarithmique donnée

Laquelle des courbes représentatives suivantes correspond à l’équation 𝑦=𝑥log?

Réponse

La courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log est la représentation graphique d’une fonction logarithmique de la forme 𝑓(𝑥)=𝑥log. Rappelons les caractéristiques suivantes pour les courbes de telles fonctions pour toute valeur de 𝑛 supérieure à 0, telle que 𝑛1:

  • La courbe a pour asymptote l’axe des 𝑦, avec aucune partie de la courbe se situant à gauche de l’axe des 𝑦.
  • La courbe coupe l’axe des 𝑥 en 1. Cela est dû au fait que log1=0, ou réciproquement, 𝑛=1.
  • La courbe passe par le point (𝑛;1), comme log𝑛=1 ou réciproquement, 𝑛=𝑛. Ici, comme 𝑛=3, cela signifie que la courbe passe par le point (3;1).
  • Si 𝑛>1, la fonction représentée est croissante sur son ensemble de définition. Ici, 𝑛=3, c’est donc le cas.

Nous pouvons voir que toutes les courbes données ont pour asymptote l’axe des 𝑦 avec aucune partie de la courbe se situant à gauche de l’axe des 𝑦;de plus elles coupent toutes l’axe des 𝑥 en 1.

Cependant, seules deux des fonctions représentées sont croissantes sur leur ensemble de définition, et une seule des deux courbes correspondantes passe par le point (3;1). La courbe représentative qui correspond a 𝑦=(𝑥)log est donc la (a).

Nous ne travaillerons pas toujours uniquement avec les fonctions logarithmiques;parfois, nous étudierons des fonctions composées. En nous rappelant des transformations de fonctions, nous pouvons transformer la courbe d’une fonction logarithmique par translation, dilatation et symétrie axiale. Chacune de ces transformations possède un effet différent sur la courbe représentative. Regardons les courbes représentatives obtenues après quelques transformations avec la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥log.

Nous allons commencer par observer les courbes représentatives de 𝑓(𝑥+)=(𝑥+)log quand =2 et quand =2. Rappelons que ce sont des translations horizontales de la courbe représentative de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥log.

Quand =2, nous avons une translation de la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log de 2 unités vers la gauche. Cela translate également l’asymptote verticale et l’intersection avec l’axe des 𝑥 de 2 unités vers la gauche. Rappelons que la base du logarithme est 10, donc la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log passe par le point (10;1), et ce point aussi est translaté de 2 unités vers la gauche. Notez que cette translation a également changé l’ensemble de définition de ]0;+[ à ]2;+[, tandis que l’ensemble image ];+[ reste inchangé.

Quand =2, nous avons une translation de la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log de 2 unités vers la droite. Cela translate également l’asymptote verticale, l’intersection avec l’axe des 𝑥 et le point (10;1) de 2 unités vers la droite. Cela change l’ensemble de définition de ]0;+[ à ]2;+[, tandis que l’ensemble image ];+[ reste inchangé.

Ces propriétés sont généralisées aux translations horizontales des fonctions logarithmiques de la forme log𝑥, 𝑛>1. Il y a des cas analogues pour les translations horizontales où la valeur de la base du logarithme, 𝑛, est telle que 0<𝑛<1. Nous allons examiner brièvement les courbes des fonctions définies par 𝑓(𝑥+)=(𝑥+)log quand =2 et quand =2.

Quand =2, nous avons aussi une translation de la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log de 2 unités vers la gauche. Cela translate également l’asymptote verticale et l’intersection avec l’axe des 𝑥 de 2 unités vers la gauche. La courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log passe par le point (0,5;1), et ce point est également translaté de 2 unités vers la gauche. Notez que cette translation a également changé l’ensemble de définition de ]0;+[ à ]2;+[, tandis que l’ensemble image ];+[ reste inchangé.

Quand =2, nous avons encore une fois une translation de la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log, de l’asymptote verticale, de l’intersection avec l’axe des 𝑥 et du point (0,5;1) de 2 unités vers la droite. Cela change l’ensemble de définition de ]0;+[ à ]2;+[, tandis que l’ensemble image ];+[ reste inchangé.

Ces propriétés sont généralisées aux translations horizontales des fonctions logarithmiques de la forme log𝑥, 0<𝑛<1.

Propriétés : Représentations graphiques de fonctions images par translations horizontales de la fonction logarithmique

En général, pour une fonction, qui représente une translation horizontale de la fonction logarithmique, définie par 𝑓(𝑥+)=(𝑥+)log, 𝑛>0 avec 𝑛1,

  • si >0, alors la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥+) est translatée de unités vers la gauche par rapport à la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log;
  • si <0, alors la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥+) est translatée de || unités vers la droite par rapport à la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log;
  • l’ensemble de définition de log(𝑥) est ]0;+[, mais celui de 𝑓(𝑥+) est ];+[;
  • l’ensemble image de log(𝑥) est ];+[, et c’est également le cas pour l’ensemble image de la fonction 𝑓(𝑥+);
  • si 𝑛>1, alors la fonction 𝑓(𝑥+) est croissante sur son ensemble de définition;
  • si 0<𝑛<1, alors la fonction 𝑓(𝑥+) est décroissante sur son ensemble de définition;
  • la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥+) a une asymptote verticale d’équation 𝑥=;
  • la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥+) a un point d’intersection avec l’axe des 𝑥 en +1;
  • la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥+) passe par le point (𝑛;1).

Considérons maintenant quelques translations verticales de la courbe de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥log. Nous allons observer les courbes représentatives de 𝑓(𝑥)+𝑘=(𝑥)+𝑘log quand 𝑘=2 et quand 𝑘=2.

Quand 𝑘=2, la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log est translatée de 2 unités vers le haut. L’asymptote verticale reste inchangée. L’ensemble de définition ]0;+[ reste inchangé, tout comme l’ensemble image, ];+[.

Quand 𝑘=2, la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log est translatée de 2 unités vers le bas. L’asymptote verticale reste inchangée. L’ensemble de définition ]0;+[ reste inchangé, tout comme l’ensemble image, ];+[.

Ces propriétés se généralisent aux translations verticales pour les courbes des fonctions logarithmiques de la forme log𝑥, 𝑛>1. Une fois de plus, certains cas sont analogues pour les translations verticales où la valeur de la base du logarithme, 𝑛 , est telle que 0<𝑛<1.

Propriétés : Représentations graphiques de fonctions images par translation verticale de la courbe de la fonction logarithmique

En général, avec la translation verticale de la courbe de la fonction logarithmique de la forme 𝑓(𝑥)+𝑘=(𝑥)+𝑘log, 𝑛>0 avec 𝑛1,

  • si 𝑘>0, alors la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥)+𝑘 est translatée de 𝑘 unités vers le haut par rapport à la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log;
  • si 𝑘<0, alors la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥)+𝑘 est translatée de |𝑘| unités vers le bas par rapport à la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log;
  • l’ensemble de définition de log(𝑥) est ]0;+[, et c’est également celui de 𝑓(𝑥)+𝑘;
  • l’ensemble image de log(𝑥) est ];+[, et c’est également celui de 𝑓(𝑥)+𝑘;
  • si 𝑛>1, alors la fonction 𝑓(𝑥)+𝑘 est croissante sur son ensemble de définition;
  • si 0<𝑛<1, alors la fonction 𝑓(𝑥)+𝑘 est décroissante sur son ensemble de définition;
  • la courbe translatée d’équation 𝑦=𝑓(𝑥)+𝑘 a pour asymptote verticale l’axe des 𝑦, la même que pour la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log.
  • la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥)+𝑘 a une intersection avec l’axe des 𝑥 différente de celle de la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log;
  • la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥)+𝑘 passe par le point (𝑛;1+𝑘).

Regardons maintenant les représentations graphiques de 𝑎𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥)log quand 𝑎=0,5 et quand 𝑎=2. Rappelons que ce sont des étirements verticaux de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥log, bien que certaines personnes parlent du premier cas comme d’une compression, car le facteur entraîne la compression de la courbe vers l’axe des 𝑥.

Cette fois, les courbes mettent en évidence que lorsque 𝑎 est 2, nous avons une dilatation verticale de la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log avec un facteur de 2, et que lorsque 𝑎 vaut 0,5, nous avons une dilatation verticale avec un facteur de 0,5.

Ces propriétés se généralisent aux dilatations verticales des fonctions logarithmiques de la forme log𝑥, 𝑛>1, et il y a des cas analogues pour les dilatations verticales où la valeur de la base, 𝑛, du logarithme, vérifie 0<𝑛<1.

Propriétés : Représentations graphiques de dilatations verticales positives de la fonction logarithmique

En général, avec un étirement vertical de la courbe de la fonction logarithmique de la forme 𝑎𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥)log, 𝑎 est positif et 𝑛>0 avec 𝑛1,

  • la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log est étirée verticalement avec un facteur 𝑎 pour produire la courbe d’équation 𝑦=𝑎𝑓(𝑥);
  • l’ensemble de définition de log(𝑥) est ]0;+[, et c’est également celui de 𝑎𝑓(𝑥);
  • l’ensemble image de log(𝑥) est ];+[, et c’est également celui de 𝑎𝑓(𝑥);
  • si 𝑛>1 , alors, puisque 𝑎 est positif, la fonction 𝑎𝑓(𝑥) est croissante sur son ensemble de définition;
  • si 0<𝑛<1, alors, puisque 𝑎 est positif, la fonction 𝑎𝑓(𝑥) est décroissante sur son ensemble de définition;
  • la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log a pour asymptote verticale l’axe des 𝑦, il en est de même pour la courbe dilatée d’équation 𝑦=𝑎𝑓(𝑥);
  • la courbe dilatée d’équation 𝑦=𝑎𝑓(𝑥) a le même point d’intersection avec l’axe des 𝑥, (1;0), comme la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log;
  • la courbe d’équation 𝑦=𝑎𝑓(𝑥) passe par le point (𝑛;𝑎).

Il est également important de noter que si 𝑎 est négatif, la courbe est obtenue par symétrie par rapport à l’axe des 𝑥. Nous pouvons le voir sur les courbes d’équations 𝑦=2(𝑥)log et 𝑦=0,5(𝑥)log représentées ci-dessous.

Propriétés : Représentations graphiques de dilatations verticales négatives de la fonction logarithmique

En général, avec un étirement vertical de la courbe de la fonction logarithmique de la forme 𝑎𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥)log, 𝑎 est négatif et 𝑛>0 avec 𝑛1,

  • la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log est étirée verticalement avec un facteur 𝑎 et son symétrique par rapport à l’axe des 𝑥 donne la courbe d’équation 𝑦=𝑎𝑓(𝑥);
  • l’ensemble de définition de log(𝑥) est ]0;+[, et c’est également celui de 𝑎𝑓(𝑥);
  • l’ensemble image de log(𝑥) est ];+[, et c’est également celui de 𝑎𝑓(𝑥);
  • si 𝑛>1, alors, puisque 𝑎 est négatif, la fonction 𝑎𝑓(𝑥) est décroissante sur son ensemble de définition;
  • si 0<𝑛<1, alors, puisque 𝑎 est négatif, la fonction 𝑎𝑓(𝑥) est croissante sur son ensemble de définition;
  • la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log a pour asymptote verticale l’axe des 𝑦, il en est de même pour la courbe dilatée d’équation 𝑦=𝑎𝑓(𝑥);
  • la courbe dilatée d’équation 𝑦=𝑎𝑓(𝑥) a le même point d’intersection avec l’axe des 𝑥, (1;0), comme la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log;
  • la courbe d’équation 𝑦=𝑎𝑓(𝑥) passe par le point (𝑛;𝑎).

Enfin, regardons les courbes représentatives de le fonction définie par 𝑓(𝑏𝑥)=(𝑏𝑥)log quand 𝑏=0,5 et quand 𝑏=2. Rappelons que ce sont des étirements horizontaux de 𝑓(𝑥)=𝑥log, bien que certaines personnes considèrent ce cas, où le facteur compris entre 0 et 1, comme une compression de la courbe vers l’axe des 𝑦.

Sur le graphique on remarque que lorsque 𝑏=2, on a un étirement horizontal de la courbe représentative de la fonction logarithmique avec un facteur de 0,5, et lorsque 𝑏=0,5, nous avons un étirement horizontal avec un facteur de 2.

Ces propriétés se généralisent aux dilatations horizontales des fonctions logarithmes de la forme log𝑥, 𝑛>1, et il y a des cas analogues pour les dilatations horizontales où la valeur de la base 𝑛 du logarithme, est telle que 0<𝑛<1.

Propriétés : Représentations graphiques de dilatations horizontales positives de la fonction logarithmique

En général, avec un étirement horizontal de la courbe de la fonction logarithmique de la forme 𝑓(𝑏𝑥)=(𝑏𝑥)log, 𝑏 est positif et 𝑛>0 avec 𝑛1,

  • la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log est étirée horizontalement avec un facteur 1𝑏 pour produire la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑏𝑥);
  • tandis que la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log passe par le point (𝑛;1), la courbe d’équation 𝑦=(𝑏𝑥)log passe par le point 𝑛𝑏;1;
  • l’ensemble de définition de log(𝑥) est ]0;+[, il en est de même pour celui de 𝑓(𝑏𝑥);
  • l’ensemble image de log(𝑥) est ];+[, il en est de même pour celui de la fonction 𝑓(𝑏𝑥);
  • si 𝑛>1, alors, puisque 𝑏 est positive, la fonction 𝑓(𝑏𝑥) est croissante sur son ensemble de définition;
  • si 0<𝑛<1, alors, puisque 𝑏 est positive, la fonction 𝑓(𝑏𝑥) est décroissante sur son ensemble de définition;
  • la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log a pour asymptote verticale, l’axe des 𝑦, il en est de même pour la courbe dilatée horizontalement 𝑦=𝑓(𝑏𝑥);
  • la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑏𝑥) coupe l’axe des 𝑥 en 1𝑏, qui est différente (si 𝑏1) du point d’intersection avec l’axe des 𝑥, (1;0) de la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log.

Il est également important de noter que si 𝑏 est négatif, la courbe subit une symétrie axiale par rapport à l’axe des 𝑦. Nous pouvons le voir sur le graphique où sont représentées les courbes d’équations 𝑦=(2𝑥)log et 𝑦=(0,5𝑥)log ci-dessous.

On observe sur ce graphique que lorsque 𝑏=2, nous avons un étirement horizontal de la courbe représentative de la fonction logarithmique avec un facteur de 0,5, mais la courbe est aussi symétrique par rapport à l’axe des 𝑦. Quand 𝑏=0,5, nous avons un étirement horizontal avec un facteur de 2, et encore une fois, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des 𝑦.

Ces propriétés se généralisent aux dilatations horizontales des fonctions logarithmiques de la forme log𝑥, 𝑛>1, et il y a des cas analogues pour les dilatations horizontales où la valeur de la base 𝑛 du logarithme, vérifie 0<𝑛<1.

Propriétés : Représentations graphiques de dilatations horizontales négatives de la fonction logarithmique

En général, avec un étirement horizontal de la courbe de fonction logarithmique de la forme 𝑓(𝑏𝑥)=(𝑏𝑥)log, 𝑏 est négatif et 𝑛>0 avec 𝑛1,

  • la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log est étirée horizontalement avec un facteur 1𝑏 pour obtenir la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑏𝑥);
  • tandis que la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log passe par le point (𝑛;1), la courbe d’équation 𝑦=(𝑏𝑥)log passe par le point 𝑛𝑏;1;
  • la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑏𝑥) est la symétrie par rapport à l’axe des 𝑦 de 𝑦=𝑓(|𝑏|𝑥);
  • l’ensemble de définition de log(𝑥) est ]0;+[, alors que l’ensemble de définition de 𝑓(𝑏𝑥) est ];0[;
  • l’ensemble image de log(𝑥) est ];+[, et c’est également celui de 𝑓(𝑏𝑥);
  • si 𝑛>1 , alors, puisque 𝑏 est négatif, la fonction 𝑓(𝑏𝑥) est décroissante sur son ensemble de définition;
  • si 0<𝑛<1, alors, puisque 𝑏 est négatif, la fonction 𝑓(𝑏𝑥) est croissante sur son ensemble de définition;
  • la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log a pour asymptote verticale l’axe des 𝑦, il en est de même pour la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑏𝑥) dilatée horizontalement;
  • la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑏𝑥) coupe l’axe des 𝑥 en 1𝑏, qui est différent du point d’intersection avec l’axe des 𝑥, (1;0) de la courbe d’équation 𝑦=(𝑥)log.

Il convient également de noter à ce stade qu’avec des transformations de la forme 𝑓(𝑏𝑥)=(𝑏𝑥)log de la fonction logarithmique 𝑓(𝑥)=(𝑥)log, on peut réécrire l’expression de 𝑓(𝑏𝑥) en utilisant les propriétés du produit des logarithmes si 𝑏 est positif:logloglog𝑓(𝑏𝑥)=(𝑏)+(𝑥).

Comme 𝑏 est une constante, on peut poser 𝑘=(𝑏)log et réécrire la fonction transformée comme loglog𝑓(𝑏𝑥)=(𝑥)+𝑘.

On peut donc dire 𝑓(𝑏𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑘.

On rappelle que cela décrit une translation verticale de la fonction d’expression 𝑓(𝑥) de 𝑘 unités. Tout comme l’étirement ou la compression horizontaux de la courbe représentative de la fonction logarithmique, une translation verticale garde l’ensemble de définition, l’ensemble image et l’asymptote verticale de la fonction inchangés, et la fonction est croissante sur tout son ensemble de définition, mais l’intersection avec l’axe des 𝑥 change. C’est une caractéristique de la fonction logarithmique que ces transformations soient équivalentes.

Maintenant, utilisons ces propriétés sur les fonctions logarithmiques transformées et leurs courbes pour résoudre d’autres problèmes.

Dans notre prochain problème, nous avons la courbe d’une fonction logarithmique et on nous demande de déterminer quelle est la fonction qui correspond à cette courbe. Nous verrons que nous pouvons utiliser la notion de transformations pour trouver la bonne réponse.

Exemple 4: Reconnaitre les différences entre les transformations des courbes représentatives des fonctions logarithmiques

Laquelle des fonctions suivantes correspond à la courbe représentative suivante?

  1. 𝑓(𝑥)=(2𝑥)log
  2. 𝑓(𝑥)=(𝑥)log
  3. 𝑓(𝑥)=(2𝑥)log
  4. 𝑓(𝑥)=(𝑥)log
  5. 𝑓(𝑥)=(𝑥)log

Réponse

Nous pouvons observer que la courbe semble avoir la forme de celle d’une fonction logarithmique. Il y a une asymptote verticale en 𝑥=0;aucune partie de la courbe n’est à gauche de l’asymptote;et la fonction est croissante. L’ensemble de définition semble être ]0;+[ et l’ensemble image semble être ];+[. En effet, en examinant les options données pour la réponse, on nous demande de déterminer quelle est la transformation d’une fonction logarithmique qui est représentée sur le graphique.

Si cette fonction était de la forme 𝑓(𝑥)=(𝑥)log, avec 𝑛>0 et 𝑛1, alors la courbe couperait l’axe des 𝑥 en 1 et passerait par le point (𝑛;1). Cependant, l’intersection avec l’axe des 𝑥 est en 12, donc on dirait qu’il s’agit d’une transformation d’une fonction logarithmique simple.

Du fait que l’asymptote verticale reste en 𝑥=0, cela peut être l’une des transformations suivantes:

  • un étirement (ou une compression) horizontal de la forme 𝑓(𝑥)=(𝑏𝑥)log auquel cas l’intersection avec l’axe 𝑥 serait en 1𝑏, et la courbe passerait par le point 𝑛𝑏;1;
  • une translation verticale de la forme 𝑓(𝑥)=(𝑥)+𝑘log.

Cela ne pourrait pas être une translation horizontale, car cela changerait la position de l’asymptote verticale. Cela ne peut pas non plus être un étirement (ou une compression) vertical de la forme 𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥)log, car cela aurait toujours une intersection avec l’axe des 𝑥 en 1. Cependant, il est possible que la transformation soit une combinaison d’un étirement vertical avec soit un étirement horizontal, soit une translation verticale ou les deux. En regardant les données de la question, nous n’avons pas besoin de considérer de telles combinaisons de transformations.

La courbe qui nous a été donnée coupe l’axe des 𝑥 en 12 et passe par le point (2;1). S’il s’agit d’un étirement horizontal de la forme 𝑓(𝑥)=(𝑏𝑥)log puis, étant donné l’intersection, on peut dire que 1𝑏=12.

Cela signifie que 𝑏=2. De plus, en considérant l’abscisse 𝑥 quand 𝑦=1, on peut dire que 𝑛𝑏=2, mais nous savons que 𝑏=2, de sorte que nous pouvons remplacer cette valeur dans l’équation ci-dessus et réécrire pour trouver que 𝑛=4.

Cela rendrait notre fonction logarithmique transformée, 𝑓(𝑥)=(2𝑥)log.

Cette fonction peut aussi être présentée comme une translation verticale, en utilisant les propriétés du produit des logarithmes:loglogloglog(2𝑥)=(2)+(𝑥)=(𝑥)+12.

Une autre façon de présenter notre fonction logarithmique transformée est 𝑓(𝑥)=(𝑥)+12log.

En regardant les courbes données, nous voyons que la fonction qui satisfait aux conditions est la A, d’expression, 𝑓(𝑥)=(2𝑥)log.

Enfin, regardons un exemple dans lequel nous devons déterminer les valeurs de plusieurs expressions logarithmiques à partir de la courbe représentative d’une fonction exponentielle. Nous devrons garder à l’esprit que toute fonction logarithmique est la réciproque d’une fonction exponentielle.

Exemple 5: Déterminer les valeurs d’un logarithme à l’aide d’un graphique

Utilisez la courbe d’équation 𝑦=10 pour trouver les valeurs de log pour 𝑛=2,,6 au centième près. Par exemple, on lit que log20,30.

Réponse

On rappelle qu’une fonction logarithmique est la réciproque d’une fonction exponentielle. Si le point (𝑥;𝑦) appartient à la courbe représentative de la fonction exponentielle, alors le point (𝑦;𝑥) appartient à la courbe représentative de la fonction logarithmique. Cela signifie que comme on nous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle d’expression 𝑦=10, on doit lire la valeur obtenue sur l’axe des 𝑦 qui correspond à la valeur de 𝑛 dans l’expression log𝑛 et non pas sur l’axe des 𝑥. (Rappelons que, dans l’expression log𝑛, on suppose que la base est 10, et on peut l’écrire sous la forme log𝑛).

Par exemple, nous pouvons repérer le point de la courbe dont l’ordonnée 𝑦 est 2 puis trouver ensuite son abscisse 𝑥 d’une valeur d’environ 0,3 pour l’expression log2. De même, on trouve les valeurs approximatives de log3, log4, log5 et log6.

Premièrement, on cherche la valeur de log3 en plaçant sur la courbe le point ayant une ordonnée, 𝑦 qui vaut 3 et ensuite on lit son abscisse sur l’axe des 𝑥.

Comme l’abscisse, 𝑥 vaut environ 0,48, on peut dire que c’est la valeur de log3 au centième près.

Ensuite, trouvons la valeur approchée de log4 en plaçant sur la courbe le point dont l’ordonnée, 𝑦 est 4 et puis on lit son abscisse, 𝑥.

L’abscisse 𝑥 vaut environ 0,60, donc nous savons que c’est la valeur de log4 au centième près.

Maintenant, nous allons trouver la valeur approchée de log5 en plaçant sur la courbe le point dont l’ordonnée 𝑦 est 5 et ensuite, on lit son abscisse 𝑥.

Comme l’abscisse 𝑥 vaut 0,70, nous savons que c’est la valeur de log5 au centième près.

Enfin, trouvons la valeur approchée de log6 en plaçant sur la courbe le point dont l’ordonnée 𝑦 vaut 6 puis en lisant son abscisse 𝑥.

L’abscisse 𝑥 vaut 0,78, donc nous savons que c’est la valeur de log6 au centième près.

En résumé, les valeurs de log𝑛 pour 𝑛=2,,6 au centième près sont 0,30, 0,48, 0,60, 0,70 et 0,78.

Maintenant, terminons en récapitulant certains points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Une fonction logarithmique est la réciproque d’une fonction exponentielle. Pour la fonction exponentielle définie par 𝑓(𝑥)=𝑛, 𝑛>0 et 𝑛1, la fonction logarithmique réciproque a pour expression 𝑓(𝑥)=𝑥log. Si le point (𝑥;𝑦) appartient à la courbe de la fonction exponentielle, alors le point (𝑦;𝑥) appartient à la courbe de la fonction logarithmique.
  • Les courbes représentatives d’une fonction exponentielle et de sa fonction logarithmique réciproque sont symétriques par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥.
  • La courbe d’une fonction logarithmique peut être translatée, étirée ou obtenue par symétrie.
  • Pour tout nombre réel 𝑛 supérieure à 0, telle que 𝑛1, la courbe d’équation 𝑔(𝑥)=𝑥log a pour asymptote l’axe des 𝑦 et coupe l’axe des 𝑥 en 1, avec aucune partie de la courbe se situant à gauche de l’axe des 𝑦.
  • Pour tout nombre réel 𝑛 supérieure à 0, telle que 𝑛1, la courbe d’équation 𝑔(𝑥)=𝑥log passe par le point (𝑛;1). C’est-à-dire log𝑛=1.
  • Si 0<𝑛<1 pour la fonction définie par 𝑔(𝑥)=𝑥log, la fonction est décroissante sur son ensemble de définition, et si 𝑛>1, la fonction est croissante sur son ensemble de définition.

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