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Vidéo de la leçon : Graphes des fonctions logarithmes Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à tracer les courbes représentatives des fonctions logarithmiques de différentes bases et leurs transformations, et à connaître leurs différentes caractéristiques.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à tracer les courbes représentatives des fonctions logarithmiques de différentes bases et leurs transformations, et à connaître leurs différentes caractéristiques. Commençons donc par rappeler ce que sont les fonctions logarithmes.

Une fonction logarithme est la réciproque d’une fonction exponentielle. Elle est de la forme 𝑓 de 𝑥 égale log de base 𝑛 de 𝑥, où 𝑛 est supérieur à zéro et différent de un. On dit que si le point de coordonné (x,y) appartient à la courbe de la fonction exponentielle, alors le point de coordonné (y,x) appartient à la courbe de la fonction logarithme. Savoir que les fonctions exponentielles et logarithmes sont réciproques les unes des autres est très utile lorsqu’il s’agit de les tracer. Nous verrons ça plus en détail un peu plus loin dans cette vidéo. Pour l’instant, commençons par étudier la forme de la courbe d’une fonction logarithme.

Trouvez les valeurs manquantes du tableau pour ℎ de 𝑥 est égal à log de base deux de 𝑥.

Voilà un tableau avec trois valeurs manquantes. Alors, qu’est-ce qu’un logarithme? Les fonctions logarithmes sont les réciproques des fonctions exponentielles. Prenons l’expression suivante. Elle se lit log de base 𝑏 de 𝑎 égale 𝑐. 𝑏 est la base, 𝑐 est l’exposant dans cette expression, et 𝑎 s’appelle l’argument. C’est une écriture équivalente à la relation entre 𝑎, 𝑏 et 𝑐 donnée par b puissance 𝑐 égale 𝑎. Donc, sachant cela, prenons la fonction log de base deux de 𝑥, et choisissons notre première valeur de 𝑥, moins deux.

En remplaçant 𝑥 par moins deux dans la fonction de ℎ de 𝑥, on trouve que ℎ de moins deux est égal à log de base deux de moins deux. Mais il faut déterminer la valeur de ℎ en moins deux. Appelons-la 𝑐 un. En écrivant la relation équivalente deux puissance 𝑐 un égale moins deux, on voit qu’il faut trouver la valeur de 𝑐 un qui vérifie cette équation. Mais il n’existe pas de puissance de deux dont le résultat est moins deux. On ne pourrait l’obtenir que si la base elle-même était négative. 𝑐 un n’est donc en fait pas défini. Alors, on dit que ℎ de moins deux est indéfini.

Passons maintenant à 𝑥 égale un. ℎ de un dans notre tableau sera la valeur de log de base deux de un. En posant cette fois ℎ de un égale 𝑐 deux, on peut écrire la relation équivalente deux puissance de 𝑐 deux égale un. Pour résoudre cette équation, il faut se demander : quelle puissance de deux donne un ? Eh bien, la seule façon que ce soit vrai est de prendre 𝑐 deux égal à zéro. Tout nombre réel non nul élevé à la puissance zéro vaut toujours un. Donc, ℎ de un, la deuxième valeur de notre tableau, vaut zéro.

Recommençons avec 𝑥 égale deux. ℎ de deux égale log de base deux de deux. En posant ℎ de deux égale 𝑐 trois, on voit qu’on peut réécrire cette relation deux puissance 𝑐 trois égale deux. Encore une fois, il faut se demander, quelle puissance de deux donne deux ? La seule puissance de deux qui donne deux est un. Donc 𝑐 trois, c’est-à-dire ℎ de deux, est égal à un. Nous avons donc trouvé les valeurs manquantes de notre tableau ; ce sont, respectivement, indéfini, zéro et un.

Essayons maintenant de tracer la courbe de cette fonction. Pour ce faire, il faut déterminer quelques valeurs supplémentaires. On pourrait bien sûr utiliser la même méthode que précédemment. Sinon, on pourrait simplement les taper sur une calculatrice. Prenons 𝑥 égale quatre. Log de base deux de quatre est égal à deux. De même, si 𝑥 égale huit, on obtient log de base deux de huit, ce qui est égal à trois.

Par contre, ℎ de moins deux est indéfinie. En fait, la fonction est indéfinie pour tout 𝑥 inférieur ou égal à zéro. Donc on a ici une asymptote, une asymptote à la droite 𝑥 égale zéro ou l’axe des 𝑦. Ainsi, le graphique de notre fonction ℎ de 𝑥 égale log de base deux de 𝑥 ressemble à ça. Le domaine de définition, qui est l’ensemble des valeurs de 𝑥 dont on peut calculer h de x, est ici l’ensemble des réels strictement positifs c'est à dire 𝑥 strictement supérieur à zéro ou 𝑥 appartient à l’intervalle ouvert zéro, plus ∞. Nous observons également que la courbe traverse l’axe des 𝑥 en 𝑥 égale un. Ces deux propriétés peuvent se généraliser aux graphiques des fonctions logarithmes.

Considérons les graphiques de la forme 𝑦 égale log de base 𝑛 de 𝑥, où 𝑛 est supérieur à zéro et différent de un. Ils coupent une seule fois l’axe des 𝑥. Ils coupent l’axe des 𝑥 en un. En fait, ils passent également par le point 𝑛, un. Dans notre dernier exemple, le graphique de 𝑦 égale log de base deux de 𝑥 passe par le point deux, un. Ces graphiques ont tous une asymptote verticale qui est l’axe des 𝑦, d’équation 𝑥 égale zéro. Enfin, ces fonctions ont un domaine de définition où 𝑥 appartient à l’intervalle ouvert de zéro à plus ∞, et leurs images, les valeurs de 𝑦, appartiennent à l’intervalle ouvert de moins ∞ à plus ∞. Donc, ça ressemble à ça.

De plus, tout comme pour les fonctions exponentielles, la valeur de 𝑛 nous informe sur la fonction. Si 𝑛 est supérieur à un, alors la fonction est croissante. Et si 𝑛 est supérieur à zéro et inférieur à un, la fonction est décroissante. D’ailleurs, on pourrait même chercher à comparer le graphique de cette fonction à celui de sa réciproque, 𝑦 égale 𝑛 puissance 𝑥. La courbe de 𝑦 égale 𝑛 puissance 𝑥 ressemble à ceci. Si on trace la courbe d’une fonction et de sa réciproque, elles seront comme prévu symétriques l’une de l’autre par rapport à la droite d’équation 𝑦 égale 𝑥. C’est très utile à savoir si on ne se rappelle plus à quoi ressemble l’un ou l’autre graphique. Maintenant, passons à une question qui demande d’identifier le graphique d’une fonction logarithme.

Lequel de ces graphiques représente la fonction 𝑓 de 𝑥 égale log de base cinq de 𝑥?

Nous avons le choix entre cinq graphiques. Commençons donc par examiner la fonction proposée. C’est une fonction logarithme, et elle a la forme générale de la fonction logarithme 𝑓 de 𝑥 égale log de base 𝑛 de 𝑥 où 𝑛, qui bien sûr ici vaut cinq, est différent de un et supérieur à zéro. On connaît l’une des caractéristiques de cette fonction : elle traverse l’axe des 𝑥 en un, mais elle passe également par le point 𝑛, un. On cherche donc un graphique qui passe par un, zéro et cinq, un. On sait aussi que l’axe des 𝑦, c’est-à-dire la droite d’équation 𝑥 égale zéro, est une asymptote de ce graphique. Autrement dit, le graphique de la fonction se rapproche de l’axe des 𝑦 mais sans jamais l’atteindre. Et on sait que lorsque 𝑛 est supérieur à un, la courbe est croissante partout. Elle est croissante sur la totalité de son domaine de définition.

Mais à y regarder de plus près, tous les graphiques sont croissants et ont pour asymptote l’axe des 𝑦. Il faut donc identifier laquelle des courbes passe par le point un, zéro et cinq, un. Or, si on trace ces deux points sur chaque graphique, on voit qu’un seul d’entre eux passe par les deux points. Le graphique correct est donc (A). C’est le graphique (A) qui est associé à la fonction 𝑓 de 𝑥 égale log de base cinq de 𝑥.

Identifions maintenant le graphique d’une autre fonction logarithme.

Laquelle de ces courbes a pour équation 𝑦 égale log de base trois de 𝑥?

Et voilà un plan contenant quatre graphiques. Alors, on a ici une fonction logarithme, une fonction de la forme log de base 𝑛 de 𝑥, où 𝑛 est positif et différent de un. L’une des propriétés de cette fonction est que sa courbe contient le point un, zéro et le point 𝑛, un. Donc, puisque 𝑛 est égal à trois, notre graphique doit passer par le point un, zéro et le point trois, un. On sait également que si 𝑛 est supérieur à un, alors le graphique est croissant sur tout son domaine de définition.

C’est très utile car ça permet d’éliminer immédiatement les propositions (c) et (d). On voit que ces graphiques, bien qu’ils contiennent le point un, zéro, sont décroissants sur leur domaine de définition. Ainsi, ils pourraient être une réflexion d’une fonction logarithme, ou être une fonction logarithme à base fractionnaire. Mais ils ne sont certainement pas la courbe d’équation 𝑦 égale log de base trois de 𝑥. Enfin, on sait que toutes ces courbes ont pour asymptote la droite d’équation 𝑥 égale zéro, c’est-à-dire l’axe des 𝑦. Or, tous les graphiques ont cette asymptote. On observe que les courbes semblent se rapprocher de l’axe des 𝑦 mais sans jamais l’atteindre.

Donc, il faut trouver la courbe qui passe par les points un, zéro et trois, un. On a déjà vu que toutes les courbes passaient par le point un, zéro ; mais la seule courbe qui passe également par le point trois, un est la courbe (a). Ainsi, c’est la courbe (a) qui a pour équation 𝑦 égale log de base trois de 𝑥.

Jusqu’ici, on a donc vu comment trouver des couples de coordonnées à l’aide d’un tableau de valeurs d’une fonction, et on a identifié quelques graphiques logarithmiques. Cependant, on ne sera bien sûr pas toujours amenés à ne manipuler que des fonctions logarithmes pures. Parfois, on aura affaire à des fonctions composées, c’est-à-dire des fonctions d’une fonction. Dans ce cas, il est utile de faire quelques rappels sur les transformations de fonctions afin de savoir identifier le bon graphique. Passons donc à un exemple de transformation.

Quelle fonction correspond au graphique suivant? Est-ce (A), 𝑓 de 𝑥 égale log de base quatre de deux 𝑥? (B), 𝑓 de 𝑥 égale log de base quatre de 𝑥. Est-ce (C), 𝑓 de 𝑥 égale log de base deux de deux 𝑥? Est-ce (D), 𝑓 de 𝑥 égale log de base deux de 𝑥? Ou est-ce (e), 𝑓 de 𝑥 égale log en base huit de 𝑥?.

Commençons par examiner le graphique de la fonction. Il ressemble en effet à une fonction logarithme. Il a une asymptote verticale, l’axe des 𝑦. Le graphique semble se rapprocher de cette droite sans jamais l’atteindre ; et la fonction est croissante. Le domaine de définition est constitué des valeurs de 𝑥 supérieures à zéro, et leur image semble être les nombres réels. Il est donc probable que notre fonction soit de la forme 𝑓 de 𝑥 égale log de base 𝑛 de 𝑥. D’ailleurs, toutes les équations proposées sont de cette forme, bien que certaines d’entre elles aient pour argument deux 𝑥.

Donc, ce qu’on sait de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale log de base 𝑛 de 𝑥, pour des valeurs positives de 𝑛 autres que un, est qu’elle passe par les points un, zéro et 𝑛, un. En traçant le point un, zéro sur la courbe de notre fonction, on voit qu’elle ne passe pas par ce point. En fait, elle passe par le point un demi, zéro, il pourrait donc s’agir d’une transformation de la fonction d’origine. Rappelons que pour une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, la fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑛𝑥, où il ne faut pas confondre 𝑛 avec la base d’un logarithme de base 𝑛, donne une compression horizontale de facteur un sur 𝑛.

Donc, si on a la fonction 𝑓 de 𝑥 égale log de base 𝑛 de 𝑥, la fonction 𝑓 de 𝑥 égale log de base 𝑛 de deux 𝑥 représente une compression de facteur un demi dans la direction horizontale. Ce qui signifie que notre graphique est soit (A), soit (C). Il peut s’agir du logarithme en base quatre de deux 𝑥 ou en base deux de deux 𝑥. Choisissons un point de la courbe pour en déduire si c’est 𝑓 de 𝑥 égale log de base quatre de deux 𝑥 ou 𝑓 de 𝑥 égale log de base deux de deux 𝑥. On voit que notre courbe contient les points huit, deux et deux, un. Par précaution, on va vérifier ces deux couples de coordonnées pour chaque fonction.

Pour 𝑥 égale deux, la première fonction (A) donne 𝑓 de deux égale log de base quatre de deux fois deux. C’est le logarithme en base quatre de quatre, qui est égal à un. Donc, ce point appartient à la fonction 𝑓 de 𝑥 égale log quatre de deux 𝑥. Ensuite, 𝑓 de huit vaut log quatre de deux fois huit. C’est le logarithme en base quatre de 16. Or, on sait que quatre au carré est égal à 16, donc le résultat est deux. Encore une fois, notre deuxième point huit, deux appartient à cette fonction, on peut donc en déduire que la fonction est 𝑓 de 𝑥 égale log de base quatre de deux 𝑥.

Vérifions quand même en calculant les images de deux et de huit par la deuxième fonction. Pour 𝑥 égale deux, la fonction est log de base deux de quatre, ce qui donne deux. Et pour 𝑥 égale huit, la fonction est log de base deux de 16, ce qui est égal à quatre. Aucun des points deux, deux et huit, quatre n’appartient au graphique proposé, ce qui confirme qu’il ne correspond pas à la proposition (C); il faut choisir (A) .

Nous avons vu comment identifier et tracer des graphiques de fonctions logarithmes, et examiné leurs différentes transformations. Pour conclure, récapitulons quelques points clés de la leçon. Dans cette leçon, nous avons vu que la fonction logarithme était la réciproque de la fonction exponentielle. Elle est de la forme 𝑓 de 𝑥 est égal à log de base 𝑛 de 𝑥, où 𝑛 est positif et différent de un. Les courbes logarithmes passent par le point un, zéro et 𝑛, un. Elles ont pour asymptote l’axe des 𝑦, qui est la droite d’équation 𝑥 égale zéro ; et la valeur de 𝑛 donne une indication sur leur forme. Si 𝑛 est supérieur à un, le graphique croît sur tout son domaine de définition. Si 𝑛 est compris entre zéro et un, il décroît.

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