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Les tailles d’un groupe d’élèves sont distribuées suivant une loi normale d'écart type de 20 centimètres. La probabilité que la taille d’un élève soit inférieure ou égale à 180 centimètres est égale à la probabilité qu’une variable suivant une loi normale centrée réduite soit inférieure ou égale à 2,2. Déterminez la taille moyenne du groupe d’élèves.
Nous avons donc des informations sur des données suivant une loi normale. Et il est indiqué que la probabilité que la taille d’un élève soit inférieure ou égale à 180 centimètres est égale à la probabilité qu’une variable suivant une loi normale centrée réduite soit inférieure ou égale à 2,2. Par convention, nous pouvons appeler la taille 𝑋 et la variable suivant la loi normale centrée réduite 𝑍. Nous pouvons ainsi dire que la probabilité que 𝑋 soit inférieure ou égale à 180 est égale à la probabilité que 𝑍 soit inférieure ou égale à 2,2.
Mais, comment cela nous aide-t-il à trouver la moyenne ? Eh bien, pour résoudre des problèmes concernant des données suivant une loi normale, une des premières étapes consiste généralement à trouver la cote 𝑧 associée. Et on utilise pour cela la formule 𝑧 égale 𝑥 moins 𝜇, le tout divisé par 𝜎, où 𝜇 est la moyenne de la série statistique et 𝜎 est son écart-type.
En réalité, nous connaissons déjà la cote 𝑧 associée à la valeur 𝑥 de 180. Nous pouvons donc remplacer les informations que nous connaissons dans cette formule et trouver la moyenne. L’écart-type est de 20. Donc, en substituant 2,2 à 𝑧 et 180 à 𝑥, on obtient 2,2 égale 180 moins 𝜇 sur 20. Et pour commencer à résoudre cette équation, on multiplie les deux membres par 20. Ce qui nous donne 44 égale 180 moins 𝜇. On peut ensuite ajouter 𝜇 aux deux membres. Et on trouve 44 plus 𝜇 égale 180. Enfin, on soustrait 44 aux deux membres. 180 moins 44 égale 136.
Nous pouvons donc conclure que la taille moyenne du groupe d’élèves est de 136 centimètres.
