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Sachant que 𝑓, une fonction allant de l’ensemble des entiers relatifs à l’ensemble des nombres rationnels, est donnée par 𝑓 de 𝑛 est égal à 𝑛 sur un. Laquelle des affirmations suivantes est vraie à propos de 𝑓 ? Option (A) 𝑓 est indéfinie. Option (B) 𝑓 est injective. Option (C) 𝑓 est surjective. Option (D) 𝑓 est une bijection.
Dans cette question, nous avons une fonction 𝑓 et il faut trouver laquelle des quatre propositions est vraie à propos de cette fonction. Commençons par examiner la fonction donnée 𝑓. 𝑓 est une fonction allant de l’ensemble des entiers relatifs à l’ensemble des nombres rationnels. En particulier, l’ensemble d’arrivée de la fonction est l’ensemble des nombres rationnels. Cela signifie que toutes les valeurs de sortie de la fonction doivent être rationnelles.
Si nous considérons une valeur d’entrée 𝑛, alors 𝑓 de 𝑛 est égal à 𝑛 sur un. Nous considérons cette expression comme un nombre rationnel. Bien sûr, diviser un entier par un ne change pas sa valeur. Nous pouvons donc dire que 𝑓 de 𝑛 est égal à 𝑛. Nous laissons la division par un dans l’expression de la fonction pour rappeler que l’ensemble d’arrivée est l’ensemble de tous les nombres rationnels. Toutefois, il s'agit d'une préférence personnelle.
Examinons maintenant les quatre options données, en commençant par l'option (A). Nous souhaitons vérifier si 𝑓 est définie. Pour vérifier si une fonction est définie, il faut vérifier que 𝑓 est bien définie pour toutes les valeurs d'entrée possibles. Autrement dit, nous devons vérifier deux choses. Nous devons vérifier que tout élément de l'ensemble de départ peut être une valeur d’entrée pour la fonction. Puis, nous devons aussi vérifier que cela nous donnera toujours un élément du domaine d'arrivée.
Nous avons déjà montré que ces deux conditions sont vraies. L'image de n'importe quel entier relatif par 𝑓 est égale au même nombre. Nous savons que cette valeur de sortie est également un nombre rationnel puisque l'ensemble des nombres entiers est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres rationnels. Par conséquent, la fonction est définie, ce qui fait que la réponse n'est pas l'option (A).
Passons maintenant à l'option (B). Il faut vérifier si la fonction 𝑓 est injective. Pour ce faire, nous commençons par rappeler qu'une fonction est injective si chaque élément de l'ensemble image de la fonction correspond à au plus un élément de l'ensemble de définition. Nous allons utiliser ce principe ainsi que l'expression de la fonction 𝑓 pour vérifier si la fonction est injective. Nous vérifierons si deux éléments de l'ensemble image de la fonction peuvent correspondre à deux éléments différents du domaine de définition.
Soient deux éléments égaux de l’ensemble image de la fonction : 𝑓 de 𝑛 et 𝑓 de 𝑚. D’après la définition de 𝑓, nous avons que 𝑓 de 𝑛 est égal à 𝑛 sur un et 𝑓 de 𝑚 est égal à 𝑚 sur un. Puisque la division par un n’affecte pas la valeur de ces entiers, nous pouvons noter que 𝑛 est égal à 𝑚. Par conséquent, nous avons montré que pour que deux éléments quelconques de l’ensemble image de 𝑓 soient égaux, ils doivent être l’image du même élément du domaine de définition. Ainsi, 𝑓 est une fonction injective.
Pour une diligence raisonnable, il faut également vérifier les deux autres options.
L’option (C) affirme que la fonction 𝑓 est surjective. Nous rappelons qu’une fonction est surjective si chaque élément du domaine d’arrivée de la fonction est associé à au moins un élément de l’ensemble de définition de la fonction. Cela revient à dire que l’ensemble image de la fonction est égal à l’ensemble d’arrivée de la fonction. Pour vérifier si 𝑓 est une fonction surjective, vérifions si quelques valeurs du domaine d’arrivée de 𝑓 appartiennent à son ensemble image.
Commençons par vérifier si un demi appartient à l’ensemble image de 𝑓. Pour qu’un demi soit dans l’ensemble image de 𝑓, il doit exister un entier relatif 𝑛 qui correspond à un demi par 𝑓. Ainsi, 𝑓 de 𝑛 doit être égal à un demi. 𝑓 de 𝑛 est égal à 𝑛 sur un. Pour que cela soit égal à un demi, il faut que 𝑛 soit égal à un demi. Cependant, ce n’est pas un entier relatif, cette valeur de 𝑛 n’appartient donc pas à l’ensemble de définition de 𝑓. Par conséquent, un demi n’est pas dans l’ensemble image de 𝑓, mais il est dans l’ensemble d’arrivée de 𝑓. Cela signifie que la fonction 𝑓 ne peut pas être surjective.
Pour la dernière proposition, nous rappelons qu’une fonction est une bijection si elle est à la fois une fonction injective et surjective. Or, nous avons montré que 𝑓 est une fonction injective. Cependant, elle est non surjective. Cela signifie que 𝑓 n’est pas une bijection.
Ainsi, la seule vraie affirmation à propos de 𝑓 est l’option (B), elle est une fonction injective.
