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Utilisez le graphique pour identifier lequel des points suivants n’est pas une solution à l’ensemble des inéquations données : 𝑦 strictement inférieur à deux 𝑥 plus quatre, 𝑦 supérieur ou égal à moins trois 𝑥, 𝑥 inférieur ou égal à deux. Les possibilités sont A) le point deux, moins six ; B) le point zéro, zéro ; C) le point un, six ; D) le point deux, moins deux et E) le point deux, deux.
Nous avons un système de trois inéquations et une solution du système d’inéquations doit satisfaire chaque inéquation. Le point que nous recherchons est donc l’intrus ; c’est-à-dire le point qui ne satisfait pas une ou plusieurs de ces inéquations et donc qui ne satisfait pas le système d’inéquations.
Nous pourrions remplacer les valeurs de 𝑥 et 𝑦 de chaque point dans chaque inéquation pour voir si elles sont satisfaites, mais on nous dit dans la question qu’il faut utiliser le graphique, faisons donc cela. Que signifie représenter la première inéquation, 𝑦 strictement inférieur à deux 𝑥 plus quatre sur le graphique ? Eh bien, l’ensemble des points pour lesquels 𝑦 est égal à deux 𝑥 plus quatre forment une droite sur ce graphique.
Nous recherchons les points pour lesquels 𝑦 est strictement inférieur à deux 𝑥 plus quatre et ces points doivent donc être situés au-dessous de cette droite. Et vous pouvez vérifier qu’un point situé en dessous de cette droite satisfait bien 𝑦 strictement inférieur à deux 𝑥 plus quatre et qu’un point situé au-dessus de cette droite satisfait bien 𝑦 strictement supérieur à deux 𝑥 plus quatre. Et vous remarquerez aussi que la zone située au-dessous de cette droite est plus sombre que la zone située au-dessus de cette droite et c’est parce que la zone située au-dessous de la droite a été colorée. Pour satisfaire l’ensemble des inéquations, il faut également satisfaire la deuxième inéquation, 𝑦 supérieur ou égal à moins trois 𝑥.
Nous pouvons tracer la droite 𝑦 égale moins trois 𝑥. Tout point de cette droite satisfait l’équation 𝑦 égale moins trois 𝑥 et tout point situé en dessous de cette droite satisfait l’inéquation 𝑦 strictement inférieur à moins trois 𝑥. L’inéquation 𝑦 supérieur ou égal à moins trois 𝑥 est donc satisfaite par tout point qui se trouve sur la droite ou au-dessus de la droite. Et enfin, nous avons l’inéquation 𝑥 inférieur ou égal à deux. Voici la droite 𝑥 égale deux. Tout point situé sur cette droite ou à gauche de cette droite satisfait 𝑥 inférieur ou égal à deux.
L’ensemble admissible est la zone pour laquelle toutes les inéquations sont satisfaites, ce qui signifie que nous devons être en dessous de la droite orange, au-dessus de la droite violette et à gauche de la droite verte. Nous pouvons colorer cette région en bleu maintenant. Rappelons que nous cherchons le point qui n’est pas une solution du système d’inéquations, c’est donc un point qui n’est pas dans la région que nous avons colorée. Regardons le point de coordonnées deux et moins six.
Il s’agit de l’un des sommets de la zone colorée. La question est de savoir s’il se situe dans la zone ou non. Comme les deux droites sur lesquelles se trouve ce point sont toutes les deux continues et pas pointillées, c’est bien le cas. Le fait que ces deux droites soient continues nous indique que les inéquations auxquelles elles correspondent sont inclusives, nous avons donc 𝑦 supérieur ou égal à moins trois 𝑥 et 𝑥 inférieur ou égal à deux. Comme chaque inéquation contient un « ou égal », les points sur ces droites satisfont les inéquations et nous les dessinons avec un trait continu pour le rappeler.
Donc, A se situe dans l’ensemble admissible et il ne convient donc pas. Passons à B. Le point B est le point zéro, zéro, que nous pouvons représenter sur le graphique. Encore une fois, ce point se situe à la limite de l’ensemble admissible, il faut donc réfléchir attentivement pour voir si ce point doit être inclus ou non. Mais comme il se trouve sur une ligne continue et non sur une ligne pointillée, il est inclus. Ce point est clairement en dessous de la droite 𝑦 égal à deux 𝑥 plus quatre, il satisfait donc l’inéquation 𝑦 inférieure à deux 𝑥 plus quatre.
De même, il est très clairement à gauche de la droite 𝑥 égal à deux, il satisfait donc l’inéquation 𝑥 inférieur ou égal à deux. La seule incertitude concerne inéquation 𝑦 supérieur ou égal à moins trois 𝑥. Comme il se trouve sur la droite 𝑦 égal moins trois 𝑥, il satisfait donc les trois inéquations. Nous passons au point un, six, que nous pouvons représenter sur le graphique. Ce point se situe de nouveau à la limite de l’ensemble admissible et la question est donc de savoir s’il satisfait les trois inéquations.
Notons que ce point se trouve sur la droite 𝑦 égal deux 𝑥 plus quatre, qui est en pointillés. Cette droite est en pointillés car elle représente l’inéquation stricte 𝑦 inférieur à deux 𝑥 plus quatre. Comme cette inégalité est stricte, les points sur cette droite ne satisfont pas l’inéquation et nous avons une ligne en pointillés pour le montrer. Et comme ce point se trouve sur cette ligne pointillée, il ne satisfait pas l’inéquation correspondante.
La réponse est donc que le point un, six n’est pas une solution du système d’inéquations car il ne satisfait pas la première des inéquations, 𝑦 strictement inférieur à deux 𝑥 plus quatre. Et nous pouvons simplement vérifier que les deux autres points D, qui est le point deux et moins deux, et E, qui est le point deux, deux, satisfont les trois inégalités. Vous pouvez voir qu’ils se trouvent sur la droite 𝑥 égal à deux et cette droite est continue et fait donc partie de la zone colorée.
