Fiche explicative de la leçon : Résoudre des systèmes d’inéquations linéaires Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des systèmes d'inéquations linéaires en les représentant graphiquement et à identifier les régions représentant la solution.

Un système d’inéquations (représenté par <;;> et ) est un ensemble de deux ou plusieurs inéquations linéaires avec plusieurs variables, il est utilisé lorsqu’un problème possède un ensemble de solutions et qu’il y a plus d’une contrainte sur ces solutions.

Dans un graphique représentant un système d’inéquations, le fait de colorier au-dessus signifie plus grand que alors que colorier en-dessous signifie plus petit que. De plus, nous devons également prendre en compte la limite de la région, où une ligne continue signifie égal à, tandis qu’une ligne en pointillés signifie non égal à.

Des inégalités de la forme 𝑥>𝑎 ou 𝑥<𝑎 sont représentées avec une droite verticale en pointillés d’équation 𝑥=𝑎 (parallèle à l’axe des ordonnées 𝑦) car la droite elle-même n’est pas incluse dans la région représentant l’inéquation, et la région coloriée est soit à droite, avec 𝑥>𝑎, soit à gauche, avec 𝑥<𝑎. Il en va de même pour 𝑥𝑎 ou 𝑥𝑎, mais maintenant la région inclut également la droite 𝑥=𝑎, qui est représentée par une ligne continue, cependant la partie coloriée resterait la même.

De même, les inégalités de la forme 𝑦>𝑏 ou 𝑦<𝑏 sont représentées par une ligne horizontale en pointillés d’équation 𝑦=𝑏 (parallèle à l’axe des abscisses 𝑥) car la droite elle-même n’est pas incluse dans la région représentant l’inéquation et la région coloriée sera soit au-dessus, avec 𝑦>𝑏, soit au-dessous, avec 𝑦<𝑏, de la droite 𝑦=𝑏. Il en va de même pour 𝑦𝑏 ou 𝑦𝑏, mais maintenant, la région inclut également la droite 𝑦=𝑏, qui serait représentée par une ligne continue, cependant la partie de coloriée resterait la même.

Par exemple, considérons les inégalités 𝑥3 et 𝑦<5 représentées sur un graphique:

L’inégalité 𝑥3 induit une ligne continue d’équation 𝑥=3, puisque nous avons . Par conséquent, la droite elle-même est incluse dans la région et la région coloriée est à droite de la droite, elle représente toutes les valeurs de 𝑥 supérieures à 3. Si on avait 𝑥>3, on aurait la même chose, mais la droite d’équation 𝑥=3 serait en pointillés car elle ne serait elle-même pas incluse dans la région. Pour 𝑥3 ou 𝑥<3, la partie coloriée serait sur la gauche, elle représenterait tous les nombres inférieurs à 3, et la droite serait respectivement tracée en trait continu ou en traits pointillés, selon que cette droite d’équation 𝑥=3 est incluse ou non dans la région.

L’inégalité 𝑦<5 est représentée par une ligne en pointillés d’équation 𝑦=5, puisque nous avons <. Par conséquent, la droite elle-même n’est pas incluse dans la région et la région coloriée est au-dessous de la droite, représentant toutes les valeurs de 𝑦 inférieures à 5. Si on avait 𝑦5, on aurait la même chose, mais la ligne d’équation 𝑦=5 serait continue car elle-même serait incluse dans la région. Pour 𝑦5 ou 𝑦>5, la partie coloriée serait au-dessus, représentant tous les nombres supérieurs à 5, et la ligne serait respectivement continue ou en pointillés, selon que la droite 𝑦=5 est incluse ou non dans la région.

L’intersection des régions de chacune des inéquations d’un système est la zone où se situe l’ensemble des solutions, car cette région satisfait chaque inéquation du système. Nous incluons uniquement les valeurs d’intersections des bords s’il y a deux lignes continues, car en ces points toutes les inégalités doivent être satisfaites donc une inégalité stricte, représentée par une ligne en pointillés, exclut ces points de l’ensemble des solutions. Pour l’exemple ci-dessus, les deux droites se coupent au point (3;5), mais celui-ci est exclu de l’ensemble des solutions car il ne satisfait pas l’inégalité stricte 𝑦<5.

Le premier quadrant peut être représenté par des valeurs positives de 𝑥 et 𝑦 soit par la région où 𝑥0 et 𝑦0. Considérons un exemple, pour voir comment cela est interprété visuellement sur un graphique.

Exemple 1: Déterminer le système d’inéquations représenté graphiquement

Indiquez le système d’inéquations dont la solution est représentée par le graphique suivant.

Réponse

La zone coloriée représente toutes les valeurs positives de 𝑥 et 𝑦, ce qui peut se traduire par les inégalités 𝑥0,𝑦0.

Pour voir cela, considérons chaque inégalité séparément et voyons où elles se chevauchent. 𝑥0, qui correspond à toutes les valeurs positives de 𝑥 y compris l’axe des ordonnées 𝑦, est coloriée dans les premier et quatrième quadrants.

De même, 𝑦0, qui correspond à toutes les valeurs positives de 𝑦 y compris l’axe des abscisses 𝑥, est coloriée dans les premier et deuxième quadrants.

La région où les deux inégalités se chevauchent se situe dans le premier quadrant, elle est représentée par la zone de chevauchement des régions coloriées de chaque inéquation.

La région de chevauchement est exactement la solution représentée sur le graphique donné.

On peut avoir plusieurs inégalités de cette forme, qui limitent les valeurs au-dessus et/ou au-dessous. Par exemple, si nous avions le système d’inéquations 2<𝑥6,2𝑦<7, où la deuxième inéquation représente toutes les valeurs de 𝑦 entre 2 et 7, cette dernière peut aussi s’écrire séparément avec 𝑦2 et 𝑦<7. Ce système d’inéquations peut être représenté comme suit:

À présent, il y a une ligne continue d’équation 𝑦=2 et une ligne en pointillés d’équation 𝑦=7, ce qui signifie que 𝑦=2 est inclus dans la région, tandis que 𝑦=7 ne l’est pas, comme indiqué en bleu dans le graphique ci-dessus. Encore une fois, l’ensemble des solutions pour le système d’inéquations est celui où les régions coloriées représentant les inégalités se croisent.

Il y a quatre points d’intersection en (2;7), (2;2), (6;7), et (6;2) sur les bords des régions. Cependant, seul le point (6;2) est inclus dans l’ensemble des solutions, car les autres points ne satisfont pas aux inégalités strictes.

On peut aussi écrire des inéquations issues de l’équation d’une droite. Par exemple, une inégalité de la forme 𝑦𝑚𝑥+𝑐 est représentée par une ligne continue, où la région coloriée sera au-dessus de la droite d’équation 𝑦=𝑚𝑥+𝑐, alors que l’inégalité 𝑦>𝑚𝑥+𝑐 a la même région coloriée mais la limite est représentée par une ligne en pointillés. De même pour 𝑦𝑚𝑥+𝑐 ou 𝑦<𝑚𝑥+𝑐, mais dans ce cas la région coloriée serait au-dessous de la droite. Par exemple, la région représentant 2𝑥+3𝑦>30, qui équivaut à 𝑦>23𝑥+10 sous la forme ci-dessus, serait la suivante:

Alors que la région pour 2𝑥+3𝑦30 ou 𝑦23𝑥+10 serait coloriée ci-dessous avec une ligne continue. S’il y a plusieurs inégalités (c’est-à-dire un système d’inéquations), alors les solutions possibles sont à l’intersection des régions coloriées pour toutes les inégalités.

Considérons un exemple où l’on cherche le système d’inéquations représenté graphiquement.

Exemple 2: Déterminer le système d’inéquations représenté graphiquement

Indiquez le système d’inéquations dont la solution est représentée par le graphique suivant.

Réponse

Rappelons que, dans un graphique représentant un système d’inéquations, colorier au-dessus ou à droite signifie plus grand que, tandis que colorier au-dessous ou à gauche signifie plus petit que une droite particulière définie par 𝑥=𝑎, 𝑦=𝑏, ou la droite générale 𝑦=𝑚𝑥+𝑏. De plus, nous devrions également prendre en compte la limite de la région, où une ligne continue signifie égal à, tandis qu’une ligne en pointillés signifie non égal à.

S’il y a un tel système d’inéquations, alors les solutions possibles se trouveront dans l’intersection des régions coloriées pour toutes les inéquations du système. Nous n’incluons les sommets des intersections de toutes les inégalités dans l’ensemble de solutions que si nous avons une ligne continue pour les deux droites, car toutes les inégalités doivent être satisfaites et une inégalité stricte, représentée par une ligne en pointillés, de l’un ou des deux côtés exclut le sommet de l’ensemble des solutions.

La région coloriée est dans le premier quadrant pour toutes les valeurs positives de 𝑥 et 𝑦, ce qui peut se traduire par les inégalités 𝑥0,𝑦0.

Les droites verticales parallèles à l’axe des ordonnées 𝑦 sont 𝑥=3 et 𝑥=6. Puisque la limite à gauche de la région rouge, en 𝑥=3, est représentée par une ligne continue et la limite à droite de la région rouge, en 𝑥=6, est représentée par une ligne en pointillés, nous avons les inégalités 𝑥3 et 𝑥<6, ce qui est équivalent à 3𝑥<6.

De même, les droites horizontales parallèles à l’axe des abscisses 𝑥 sont 𝑦=2 et 𝑦=6. Étant donné que les lignes des deux côtés de la région bleue sont continues, nous avons les inégalités 𝑦2 et 𝑦6, ce qui est équivalent à 2𝑦6.

L’équation de la droite qui passe par les points (8;0) et (0;8) est donnée par 𝑦=8𝑥, qui est représentée graphiquement par une ligne continue. Étant donné que la région coloriée, en jaune, est au-dessous de cette ligne, nous avons l’inégalité 𝑦8𝑥, qui peut être réarrangée comme 𝑥+𝑦8.

Ainsi, le système d’inéquations représenté graphiquement est 𝑥0,𝑦0,3𝑥<6,2𝑦6,𝑥+𝑦8.

Maintenant, considérons un autre système d’inéquations qui inclut l’équation générale d’une droite. Considérez le système d’inéquations 𝑥>3,𝑦6,𝑥+𝑦10.

L’inégalité 𝑥>3 est représentée par une ligne en pointillés d’équation 𝑥=3 et une région coloriée (en rouge) à droite, et l’inégalité 𝑦6 est représentée par une ligne continue d’équation 𝑦=6 et une région coloriée (en bleu) au-dessous. Enfin, l’inégalité 𝑥+𝑦10 est représentée par une ligne continue d’équation 𝑦=10𝑥 et une région coloriée au-dessous (en vert).

La zone où toutes les régions coloriées se croisent est celle où toutes les inéquations du système sont satisfaites;toutes les solutions se trouvent dans cette zone.

Considérons un exemple dans lequel nous déterminons une inéquation de ce type à partir d’un graphique donné et de la région coloriée qui représente l’ensemble des solutions.

Exemple 3: Déterminer l’inéquation représentée par un graphique donné

L’aire coloriée qui représente l’ensemble des solutions des inéquations 𝑦3 et 𝑥0 est .

  1. 2𝑦+𝑥+80
  2. 2𝑦+𝑥80
  3. 𝑦+2𝑥80
  4. 𝑦+2𝑥+88

Réponse

L’équation de la droite qui passe par (0;4) et (8;0) est donnée par 2𝑦=8𝑥. Étant donné que la région coloriée se situe au-dessous de cette ligne, cela représente la région 𝑦412𝑥, qui est équivalent à l’inéquation 2𝑦+𝑥80.

C’est l’option B.

Maintenant, regardons quelques exemples d’applications afin d’approfondir notre compréhension de la résolution des systèmes d’inéquations linéaires en les représentant graphiquement et en identifiant les régions représentant la solution.

Dans les premiers exemples, il faut déterminer le système d’inéquations à partir de la région représentée graphiquement. L’exemple suivant fait intervenir une région délimitée par deux droites.

Exemple 4: Déterminer le système d’inéquations représenté graphiquement

Indiquez le système d’inéquations dont la solution est représentée par le graphique suivant.

Réponse

Rappelons que, dans un graphique représentant un système d’inéquations, colorier au-dessus signifie plus grand que, alors que colorier au-dessous signifie plus petit que la droite générale définie par 𝑦=𝑚𝑥+𝑏. De plus, nous devrions également prendre en compte la limite de la région, où une ligne continue signifie égal à, tandis qu’une ligne en pointillés signifie non égal à.

S’il y a un tel système d’inéquations, alors les solutions possibles se trouvent dans l’intersection des régions coloriées pour toutes les inéquations du système. Nous n’incluons les sommets des intersections de toutes les inégalités dans l’ensemble de solutions que si les deux lignes sont continues, car toutes les inégalités doivent être satisfaites et une inégalité stricte, représentée par une ligne en pointillés, de l’un ou des deux côtés exclut le sommet de l’ensemble des solutions.

L’équation de la droite qui passe par les points (0;3) et (1;0) est 𝑦=3𝑥+3, qui est représentée graphiquement par une ligne continue. Étant donné que la région coloriée, en jaune, est au-dessus de cette ligne, nous avons l’inégalité 𝑦3𝑥+3.

De même, l’équation de la droite qui passe par les points (0;8) et (4;4) est 𝑦=3𝑥8, qui est représentée graphiquement par une ligne en pointillés. Étant donné que la région coloriée, en rouge, est au-dessus de cette ligne, nous avons l’inégalité 𝑦>3𝑥8.

Ainsi, le système d’inéquations représenté graphiquement est donné par 𝑦3𝑥+3,𝑦>3𝑥8.

Dans l’exemple suivant, nous déterminerons le système d’inéquations qui décrit graphiquement une région délimitée par trois droites.

Exemple 5: Écrire un système d’inéquations décrivant une région dans un graphique

Déterminez le système d’inéquations qui forme le triangle représenté sur le graphique.

Réponse

Rappelons que, dans un graphique représentant un système d’inéquations, colorier au-dessus signifie plus grand que, alors que colorier au-dessous signifie plus petit que la droite générale définie par 𝑦=𝑚𝑥+𝑏. De plus, nous devons également prendre en compte la limite de la région, où une ligne continue signifie égal à, tandis qu’une ligne en pointillés signifie non égal à.

S’il y a un tel système d’inéquations, alors les solutions possibles se trouvent dans l’intersection des régions coloriées pour toutes les inéquations du système. Nous n’incluons les sommets des intersections de toutes les inégalités dans l’ensemble de solutions que si les deux lignes sont continues, car toutes les inégalités doivent être satisfaites et une inégalité stricte, représentée par une ligne en pointillés, de l’un ou des deux côtés exclut le sommet de l’ensemble des solutions.

L’équation de la droite qui passe par l’origine et coupe les autres droites en (2;2) et (2;2) est 𝑦=𝑥, est représentée graphiquement par une ligne continue. Étant donné que la région coloriée est au-dessus de cette ligne, nous avons l’inégalité 𝑦𝑥.

De même, l’équation de la droite de coefficient directeur positif qui coupe les autres droites en (1;8) et (2;2) est 𝑦=2𝑥+6, est représentée graphiquement par une ligne en pointillés. Étant donné que la région coloriée est au-dessous de cette ligne, nous avons l’inégalité 𝑦<2𝑥+6.

Enfin, l’équation de la droite de coefficient directeur négatif qui coupe les autres droites en (1;8) et (2;2) est 𝑦=10𝑥+18, est représentée graphiquement par une ligne continue. Étant donné que la région coloriée est au-dessous de cette ligne, nous avons l’inégalité 𝑦10𝑥+18.

Ainsi, le système d’inéquations représenté graphiquement est 𝑦<2𝑥+6,𝑦𝑥,𝑦10𝑥+18.

A présent, regardons quelques exemples où nous identifions certaines régions représentées graphiquement à partir d’un système d’inéquations au lieu de le déterminer graphiquement. Dans l’exemple suivant, nous identifierons la région qui représente la solution d’une seule inéquation.

Exemple 6: Identifier des régions qui représentent les solutions d’un système d’inéquations

Lesquelles des régions représentées graphiquement contiennent les solutions de l’inéquation 𝑦2𝑥4?

Réponse

Rappelons que, dans un graphique représentant un système d’inéquations, colorier au-dessus signifie plus grand que, alors que colorier au-dessous signifie plus petit que la droite générale définie par 𝑦=𝑚𝑥+𝑏. De plus, nous devrions également prendre en compte la limite de la région, où une ligne continue signifie égal à, tandis qu’une ligne en pointillés signifie non égal à.

S’il y a un tel système d’inéquations, alors les solutions possibles se trouvent dans l’intersection des régions coloriées pour toutes les inéquations du système. Nous n’incluons les sommets des intersections de toutes les inégalités dans l’ensemble de solutions que si les deux lignes sont continues, car toutes les inégalités doivent être satisfaites et une inégalité stricte, représentée par une ligne en pointillés, de l’un ou des deux côtés exclut le sommet de l’ensemble des solutions.

Sur le graphique, il y a trois droites distinctes représentant les frontières des régions indiquées. Deux des lignes sont en pointillés, tandis que l’une est continue. Il y a deux droites ayant un coefficient directeur positif dont une qui passe par l’origine et une troisième droite qui a un coefficient directeur négatif.

L’inégalité 𝑦2𝑥4 peut être représentée avec une ligne continue, étant donné que la limite de la région, 𝑦=2𝑥4, est incluse dans la région et la zone coloriée sera la région au-dessus de la droite en raison de l’inégalité . Cette dernière est la ligne continue qui passe par les points (0;4) et (2;0) de coefficient directeur positif, comme indiqué sur le graphique.

Ainsi, graphiquement, les régions qui contiennent les solutions de l’inéquation 𝑦2𝑥4 sont A, B, C et D.

Maintenant, considérons un exemple où nous identifions les régions qui représentent des solutions d’un système d’inéquations, défini cette fois par deux droites.

Exemple 7: Identifier les régions qui représentent les solutions d’un système d’inéquations

Quelles régions du graphique contiennent des solutions qui satisfont les deux inégalités 𝑦<𝑥,𝑦2𝑥4?

Réponse

Rappelons que, dans un graphique représentant un système d’inéquations, colorier au-dessus signifie plus grand que, alors que colorier au-dessous signifie plus petit que la droite générale définie par 𝑦=𝑚𝑥+𝑏. De plus, nous devrions également prendre en compte la limite de la région, où une ligne continue signifie égal à, tandis qu’une ligne en pointillés signifie non égal à.

S’il y a un tel système d’inéquations, alors les solutions possibles se trouvent dans l’intersection des régions coloriées pour toutes les inéquations du système. Nous n’incluons les sommets des intersections de toutes les inégalités dans l’ensemble de solutions que si les deux lignes sont continues, car toutes les inégalités doivent être satisfaites et une inégalité stricte, représentée par une ligne en pointillés, de l’un ou des deux côtés exclut le sommet de l’ensemble des solutions.

L’inégalité 𝑦<𝑥 peut être représentée avec une ligne en pointillés, étant donné que la limite de la région, 𝑦=𝑥, n’est pas incluse dans la région et la zone coloriée sera la région au-dessous de la droite en raison de l’inégalité <. Cette dernière est la ligne en pointillés qui passe par l’origine dont le coefficient directeur est positif.

De même, l’inégalité 𝑦2𝑥4 peut être représentée avec une ligne continue, étant donné que la limite de la région, 𝑦=2𝑥4, est incluse dans la région et la zone coloriée sera la région au-dessus de la droite en raison de l’inégalité . Cette dernière est la ligne continue qui passe par les points (0;4) et (2;0), comme indiqué sur le graphique.

Ainsi, les régions sur le graphique qui contiennent les solutions du système d’inéquations 𝑦<𝑥 et 𝑦2𝑥4 sont C et D.

Enfin, considérons un exemple où nous identifions la région qui représente les solutions d’un système d’inéquations représenté par trois inéquations.

Exemple 8: Identifier les régions qui représentent les solutions d’un système d’inéquations

Quelle région sur le graphique contient les solutions de l’ensemble des inéquations 𝑦>2,𝑦𝑥,𝑥<1?

Réponse

Rappelons que, dans un graphique représentant un système d’inéquations, colorier au-dessus ou à droite signifie plus grand que, tandis que colorier au-dessous ou à gauche signifie plus petit que une droite particulière définie par 𝑥=𝑎, 𝑦=𝑏, ou la droite générale 𝑦=𝑚𝑥+𝑏. De plus, nous devrions également prendre en compte la limite de la région, où une ligne continue signifie égal à, tandis qu’une ligne en pointillés signifie non égal à.

S’il y a un tel système d’inéquations, alors les solutions possibles se trouvent dans l’intersection des régions coloriées pour toutes les inéquations du système. Nous n’incluons les sommets des intersections de toutes les inégalités dans l’ensemble de solutions que si les deux lignes sont continues, car toutes les inégalités doivent être satisfaites et une inégalité stricte, représentée par une ligne en pointillés, de l’un ou des deux côtés exclut le sommet de l’ensemble des solutions.

L’inégalité 𝑦>2 peut être représentée avec une ligne en pointillés, étant donné que la limite de la région, 𝑦=2, n’est pas incluse dans la région et la zone coloriée sera la région au-dessus de la droite en raison de l’inégalité >. Cette dernière est la ligne en pointillés parallèle à l’axe des abscisses 𝑥, comme le montre le graphique.

De même, l’inégalité 𝑦𝑥 peut être représentée avec une ligne continue, étant donné que la limite de la région, 𝑦=𝑥, est incluse dans la région et la zone coloriée sera la région au-dessus de la droite en raison de l’inégalité . Cette dernière est la ligne continue qui passe par l’origine et dont le coefficient directeur est négatif.

Enfin, l’inégalité 𝑥<1 peut être représentée avec une ligne en pointillés, étant donné que la limite de la région, 𝑥=1, n’est pas incluse dans la région et la zone coloriée sera la région au-dessous de la droite en raison de l’inégalité <. Cette dernière est la ligne en pointillés parallèle à l’axe des ordonnées 𝑦, comme illustré sur le graphique.

La région qui satisfait toutes les inégalités sera l’intersection de toutes les régions coloriées pour chacune des inégalités.

Ainsi, la région sur le graphique qui contient les solutions au système d’inéquations 𝑦>2;𝑦𝑥;𝑥<1 est D.

Points Clés

  • Le coloriage à droite signifie plus grand que, tandis que le coloriage à gauche signifie plus petit que une droite particulière parallèle à l’axe des ordonnées 𝑦 définie par 𝑥=𝑎.
  • Le coloriage au-dessus signifie plus grand que, tandis que le coloriage au-dessous signifie plus petit que une droite parallèle à l’axe des abscisses 𝑥 définie par 𝑦=𝑏.
  • Le coloriage au-dessus signifie plus grand que, tandis que le coloriage au-dessous signifie plus petit que la droite générale définie par 𝑦=𝑚𝑥+𝑏.
  • La droite elle-même n’est pas incluse dans la région coloriée si nous avons une inégalité stricte.
  • S’il y a un tel système d’inéquations, alors les solutions possibles se trouvent dans l’intersection des régions coloriées pour toutes les inéquations du système.
  • De plus, nous devons également prendre en compte la limite de la région, où une ligne continue signifie égal à, tandis qu’une ligne en pointillés signifie non égal à.
  • L’intersection des limites n’est incluse dans l’ensemble des solutions que si les deux lignes sont continues (c’est-à-dire qu’elles ne contiennent aucune inégalité stricte).

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