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Quelle est la propriété qui montre que 𝑐 multiplié par le vecteur 𝐚 plus le vecteur 𝐛 est égal à 𝑐 multiplié par le vecteur 𝐚 plus 𝑐 multiplié par le vecteur 𝐛 ?
Sur le côté gauche de notre équation, nous multiplions le scalaire 𝑐 par la somme de deux vecteurs 𝐚 et 𝐛. Puisque cela est égal à 𝑐 multiplié par le vecteur 𝐚 plus 𝑐 multiplié par le vecteur 𝐛, il s’agit d’un exemple de la propriété distributive de la multiplication scalaire sur l’addition de vecteurs. Nous distribuons le scalaire sur les deux vecteurs. En rappelant la propriété de distributivité de la multiplication, nous pouvons multiplier 𝑥 plus 𝑦 par deux en répartissant les deux à l’intérieur parenthèses. Cela nous donne deux 𝑥 plus deux 𝑦.
Si nous posons le vecteur 𝐚 de composantes 𝑎 indice 𝑥 et 𝑎 indice 𝑦 et le vecteur 𝐛 de composantes 𝑏 indice 𝑥 et 𝑏 indice 𝑦, nous pouvons voir comment cela fonctionne aussi pour les vecteurs. En multipliant la somme de ces vecteurs par 𝑐, nous avons 𝑐 multiplié par 𝑎 indice 𝑥, 𝑎 indice 𝑦 plus 𝑏 indice 𝑥, 𝑏 indice 𝑦. Nous savons que pour ajouter deux vecteurs, nous ajoutons les composantes correspondantes. Cela signifie que nous avons 𝑐 multiplié par 𝑎 indice 𝑥 plus 𝑏 indice 𝑥, 𝑎 indice 𝑦 plus 𝑏 indice 𝑦. Ensuite, pour multiplier le vecteur par scalaire 𝑐, nous multiplions chaque composante par 𝑐, ce qui nous donne 𝑐 multiplié par 𝑎 indice 𝑥 plus 𝑏 indice 𝑥, 𝑐 multiplié par 𝑎 indice 𝑦 plus 𝑏 indice 𝑦.
Ensuite, nous savons que la multiplication est distributive sur l’addition, ce qui nous donne le vecteur 𝑐𝑎 indice 𝑥 plus 𝑐𝑏 indice 𝑥, 𝑐𝑎 indice 𝑦 plus 𝑐𝑏 indice 𝑦. Cela peut être réécrit comme le vecteur 𝑐𝑎 indice 𝑥, 𝑐𝑎 indice 𝑦 plus le vecteur 𝑐𝑏 indice 𝑥, 𝑐𝑏 indice 𝑦. En factorisant le scalaire 𝑐 à partir de nos deux vecteurs, nous avons 𝑐 multiplié par 𝑎 indice 𝑥, 𝑎 indice 𝑦 plus 𝑏 multiplié par 𝑏 indice 𝑥, 𝑏 indice, ce qui équivaut à 𝑐 multiplié par le vecteur 𝐚 plus 𝑐 multiplié par le vecteur 𝐛. Voici la propriété de distributivité de la multiplication scalaire sur l’addition de vecteurs.
